Помощь в учёбе, очень быстро...
Работаем вместе до победы

Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций

Диссертация: Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Основные результаты диссертации опубликованы в работах-, и докладывались на международной конференции «Системы компьютерной математики и лингвистики» (Смоленск, 2000 г.), на V Казанской международной летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2001 г.), на международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2001 г… Читать ещё >

Содержание

  • ВВЕДЕНИЕ
  • ГЛАВА. Г. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ, И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
    • 1. 1. Основные обозначения и понятия
    • 1. 2. Некоторые вспомогательные краевые задачи типа Римана и типа Гильберта в классах аналитических и бианалитических функций
    • 1. 3. Краткий обзор литературы по краевым задачам для бианалитических и полианалитических функций
  • ГЛАВА II. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ТРЕХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ
    • 2. 1. Точная постановка первой основной трехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций
    • 2. 2. Решение задачи GRu в общем случае
    • 2. 3. Решение задачи GRu в вырожденном случае
    • 2. 4. Решение задачи GR2 в полувырожденном случае
    • 2. 5. Решение второй основной трехэлементной краевой задачи типа Римана
  • ГЛАВА III. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ТРЕХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ
    • 3. 1. Решение задачи GjRi2 в общем случае
    • 3. 2. Об одном частном случае, когда задача GR% решается эффективно
    • 3. 3. Решение задачи GRyi в вырожденном случае
    • 3. 4. О решении второй основной трехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций в общем случае

Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

В настоящее время теория линейных краевых задач в классах аналитических функций комплексного переменного благодаря фундаментальным работам Б. В. Боярского [11], И. Н. Векуа [12], Н. П. Векуа [13]-[14], Ф. Д. Гахова [20], Э. И. Зверовича [24], Г. С. Литвинчука [33]—[35], Н. И. Мусхелишвшш [40] и многих других известных математиков, в основном, приняла уже завершенный вид.

В то же время, за последние годы как в России, так и за ее пределами (Китай, КНДР, Украина, ФРГ, Югославия и др.) интенсивно изучаются различные краевые задачи в классах функций более общих, чем класс аналитических функций комплексного переменного.

Данная диссертация посвящена исследованию трехэлементных ли-, нежных краевых задач (типа Римана) в классах бианалитических функций.

Определение 0.1. Функция F (z) = U (x, y) + iV (x, y) называется бианалитической в области Т плоскостикомплексного переменного 2 = хf iy. если она в Т имеет непрерывные частные производные по х и у до второго порядка включительно (т.е. F{z) 6 С2(Т)) и удовлетворяет там уравнению d2F{z)/dz2= 0, (0.1) где djdz = {д)дх + id/dy)/2 — дифференциальный оператор Кощи-Римана.

Действительная и мнимая части бианалитической в области Т функции F{z) = U (x, y) +iV (x, у) являются бигармоническими в этой области, т. е.

AAU{x, y) = 0 и AAV (x, y) = 0, д2 д2 где, А = + оператор Лапласа (см., например. [8], [20]). дх1 dyL.

Изучение многоэлементных ' краевых задач для аналитических функций комплексного переменного началось с работ А. И. Маркушевича [36]- и Н. П. Векуа [13]. Большой вклад в развитие теории многоэлементных краевых задач для аналитических функций внесли Б. В. Боярский [11], И. Н. Векуа [12], Р. С. Исаханов [25], Г'.С.Литвинчук [33]—[35], Л. Г. Михайлов [37]-[38], К. М. Расулов [51], И. Х. Сабитов [57]-[59], Н. Б. Симоненко [60], Э. Г. Хасабов [66] и др.

Одним из естественных обобщений многоэлементных краевых задач для: аналитических функций являются задачи с похожей структурой в более широких классах функций (полианалитических, ме-тааналитических и др.). Интерес к такого рода задачам в течение последних тридцати лет постоянно растет. Это связано с тем, что многоэлементные краевые задачи в классах аналитических, полианалитических, метааналитических функций находят приложения в таких разделах математической физики, как теория бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны [12], в теории плоских кавитационных течений идеальной жидкости pi плоской теории упругости [39].

Исследованию таких задач в классах бианалитических и полианалитических функций посвящены работы С. В. Левинского [30]-[32], Б. Дамяновича [69]-[70]. Однако в указанных работах рассматривались задачр1 так называемого треугольного вида (см., например, [50], с. 19), которые по самой постановке сводятся к решению нескольких хорошо изученных краевых задач в классах аналитических функций. Тогда как наиболее важные многоэлементные краевые задачи общего (т.е. не треугольного) вида в классах бианалитических функций до настоящего времени оставались не исследованными. К таким задачам относятся следующие две трехэлементные краевые задачи.

Пусть Т+ - конечная односвязная область на плоскости комплексного переменного z — х + iy, ограниченная простым гладким замкнутым контуром L, уравнение которого имеет вид: t = x (s) + iy (s), 0 < s < I, где s — натуральный параметр. Для определенности будем считать, что начало координат принадлежит Т+, Через Т~ обозначим дополнение Т+ U L до полной комплексной плоскости.

Требуется найти все кусочно-бианалитические функции F (z) = = {F+(z), F~(z)}, исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие при t? L следующим краевым условиям:

Задача I. ' дх gx дх — ffi (t), (0.2).

G2"(t)^ + G2lW^ + G22W" = 52W- (0.3).

Задача II.

GlQ (t)F+(t) + Gn (t)F~(t) + Gn (t)F-(t) = 9l (t)4 (0.4) где д/дп+ (djdnJ) ~ производная no внутренней (внешней) нормали к контуру LGkj (t), 9k{i) [к = 2- j — 0, 1, 2) — заданные на L функции класса H{L) (Гельдера).

Отметим, что впервые граничные задачи вида I и II были сформулированы К. М. Расуловым в монографии [50] в качестве естественных и важных обобщений основных краевых задач типа Римана для биа-налитических функций, поставленных Ф. Д. Гаховым в его известной книге [20].

Важно заметить, что в частном случае, когда Gio (?) = G^{t) = 0 и Gki (t) = Gki{t) = 1 (к — 1, 2) задачи I и II представляют собой основные классические задачи теории бигармонических функций, называемые соответственно первой основной бигармонической задачей и второй" основной бигармонической задачей [29], [39], [64] и имеющие многочисленные приложения в математической физике и механике. Поэтому в дальнейшем задачи I и II будем называть первой и второй основными трехэлементными краевыми задачами для биа-налитических функций.

В случае, когда, в равенствах (0.2)—(0.5) выполняются условия.

G1Q (t)=G2Q (t) = l и Gii (f)#0, G2i (t)? 0, teL, (*) и.

G12(t) = G22(t)=0, teL, (**) задачи I и II представляют собой основные двухэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций, подробно исследованные в работах [46]—[47], [50].

Однако в случае, когда выполняются (-*) и не выполняются, условия (**), задачи I и II представляют собой основные трехэлементные краевые задачи типа Римана, в дальнейшем называемые, для краткости, задачами GRu и GR?2 соответственно.

Поскольку задачи GR2 и GR22 до сих пор оставались не исследованными, то разработка методов их решения на сегодняшний день является актуальной проблемой.

Целью настоящей работы являетсяразработка методов решения: основных трехэлементных краевых задач типа Римана (задач GR4 pi G-R22) в классах бианалитических функций, построение теории их разрешимости, исследование их на нетеровость, а также выявление случаев, когда эти задачи допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах).

Перейдем к краткому изложению содержания работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7], [52] и докладывались на международной конференции «Системы компьютерной математики и лингвистики» (Смоленск, 2000 г.), на V Казанской международной летней школе-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, 2001 г.), на международной конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2001 г.), на международной конференции «Геометрическая теория функций и краевые задачи» (Казань, 2002 г.), на семинаре по математическому анализу при РГПУ им. А. И. Герцена (руководитель — профессор В. Д. Будаев), на семинаре при кафедре математического анализа МГУ (руководительпрофессор И. X. Сабитов), на Минском городском семинаре по математическому анализу и его приложениям (руководитель — профессор Э. И. Зверович) и неоднократно на научно-исследовательском семинаре по краевым задачам комплексного анализа и их приложениям при Смоленском госпедуниверситете (руководитель — профессор К. М. Ра-сулов).

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 72 наименования. Нумерация формул сквозная в каждой главе. Например, (2.1) (или теорема 2.1) означает первую формулу (теорему) во второй главе. Общий объем работы составляет 1−20 страниц, подготовленных с использованием издательской системы LATEX.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю К. М. Расулову за постановку задач и помощь, оказанную при выполнении данной работы.

Глава I.

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Основные понятия и обозначения
  2. Всюду в дальнейшем класс бианалитических в области Т функции будем обозначать через А<2(Т), а через А (Т) класс аналитических (голоморфных) в Т функций.
  3. Во всех рассуждениях, где значения показателей Гелъдера ц и v не играет роли, вместо H^{L) и H{™j (L х L) будем писать H{L),
  4. H^mL) и H^mL х L) соответственно.
  5. Пусть функция ip (z) является аналитической в некоторой области Т~, содержащей бесконечно удаленную точку.
  6. Определение 1.1. Число га будем называть порядком функции p (z) в точке z — оо и обозначать ZT{(/?, oo}, если разложение в ряд функции ip (z) в окрестности этой точки имеет вид11
  7. Cm— + 0^!-^ + ., Ст ф 0. (1.2)о а/
  8. Как известно 8., [33], [50], всякую однозначную бианалитическую в области Т+ функцию F+(z) можно представить в виде1. F+(z)=^(z)+z>pt (^ (1.3)где z = х — iy, a (г = 0, 1) однозначные аналитические функции в Т+.
  9. Аналогично всякая бианалитическая в Т функция представима в виде
  10. F-(z)=2.
  11. При этом кусочно-бианалитическую функцию F (z) будем называть исчезающей на бесконечности, если > 1.
  12. F+(t) = Gi (t) • F~(t) + G2{t) ¦ F4t) + g (t), t e L, (1.6)где G (t), G2(t), g (t) заданные на L функции класса H{L), причем Gi{t) uaL.
  13. Ниже приводятся формулировки основных результатов 51., которые будут использованы при исследовании основных краевых задач типа Римана для бианалитических функций.
  14. F~(t)+ JN{t1T)F-(T)dT = Q (t) + X-{t)PIB-l{t), teL, Lx-it)2т{т!{а))'1. Г a1. G2(t) G2(t) X±® X+(t1. G2(t)1т — tr-t f-t1. X+(t2Gi (t2m 'L Х+(т) r — f {Х+(.г), Х~(.г)} каноническая функция задачи Римана вида:1. F+(t)=G1(t)F~(t).
  15. При выполнении этих условий общее решение задачи (1.6) определяется по формулам: т — z1. F+(z) =1. X+(z) fG2(T)F-(T)+g{r) dr2m1. Х+(т)т —1. X+(z)P^.где F (t) находится по формуле:
  16. F~(t) = Q{t) + /7(f, T) Q®dr + F0~(t), zeT~, (1.9) г e T+, (1.10)1.11)здесь 7(i, т) обобщенная резольвента ядра уравнения (1.8), a F0 (t) — общее решение интегрального уравнения
  17. F~(t)+ J N{t, r) F-{r)dr = X-^P^t). (1.12)L
  18. Общее решение задачи (1.6) при эе > О линейно зависит от / = 2se + и — г+ произвольных действительных постоянных v > г+).
  19. Если же ге < 0 (см., например, 51.), то для разрешимости краевой задачи (1.6) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия вида:
  20. Re J Q (t)cjj{t)dt = 0, j = l, 2,., z/, (1.13)Lгде u>i (t),., ujv (t) полная система линейно независимых (над полем R) решений однородного уравнения, союзного с (1.8), и совместности системы алгебраических, уравнений вида: V
  21. Y, Bjkh mj, j = 1,., -ж, (1.14)iгде Bjk, rrij числа, определенным образом выражающиеся через заданные функции G{t), G-i{t), gt).
  22. При выполнении этих условий общее решение задачи (1.6) задается формулами (1.9)—(1.10), где F~ (t) определяется по формуле:
  23. F-{t) = Q{t)+ J7(t, T) Q®dr + F’i (t), (1.15)Lгде 7(t, т) обобщенная резольвента ядра уравнения (1.8), a Ff (t) -общее pemeHPie однородного уравнения
  24. F~(t) + J N (t, r) F~®dT = 0. (1.16)L
  25. Ait, г), B (t, r), D (t, r), E (t, т) G H*(L x L).
  26. Пусть ае = IndGit) < 0. Тогда решение задачи (1.17) будем искать в виде (см., например, 50., с. 42):г) =-L/ifilldT, г 6 Т+, (1.18)all j т ~ z1 / l-L (T) dr ^ /2тп JL &-{т) т — zгде fi (t) пока неизвестная комплекснозначная функция, n (t) G Н (Ь).
  27. Нетрудно проверить, что ядра Ki (t, r), K-2(t, r) принадлежат H,{L x ?).
  28. Наоборот, если ju (t) решение интегрального уравнения (1.20), то пара функций cp+(z) и cp~(z), определяемая через fi (t) по формулам (1.18)—(1.19), образует решение задачи (1.17). Введем в рассмотрение однородное уравнение:
  29. К’фЩ = ф (1) + / A"i (r, ?)'0®
  30. K/z)(f) = //(0 + J Ki (t, r) ft{r)dr + J K-2(t. t) fi®dT = 0. (1.23)1. Z L
  31. Тогда, как известно (см., например, 40., с. 372), для разрешимости неоднородного уравнения (1.20) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
  32. Re J Q (t)ipj (t)dt — 0, j — 1,. z/q, (1.24)Lгде ф (£),., ipUo{t) полная система линейно независимых (над полем R) решений союзного уравнения (1.22).
  33. А- = 1, о) произвольные действительные постоянные.
  34. Заметим, что при эе < 0 число щ линейно независимых (над полем R) решений однородного уравнения (1.23), вообще говоря, не совпадает с числом I линейно независимых (над R) решений однородной задачи (1.17). Из формулы (1.21) видно, что / = z/0 2|зэ.
  35. Наконец, подставляя в (1.18)-(1.19) вместо /j (t) ее выражение, найденное по формуле (1.25), с учетом сделанного выше замечания получим:
  36. Итак, справедлива следующая теорема.
  37. Рассмотрим подробно случай, когда зе > 0. В этом случае решение задачи (1.17) будем искать в виде (см., например, 50., с. 42):
  38. P+(z) /dT +? ckzk, z е Т+, (1.28)2тгг т-z к=0-(1 / dT r-rp- /т oml/где n{t) пока неизвестная комплекснозначная функция, ск — произвольные комплексные постоянные.
  39. Наоборот, если /z (0 решение уравнения (1.30) (при некоторыхзначениях параметров ai,., cv2ae) i то пара функций ^(z) и определяемая по формулам (1.28)—(1.29), дает решение задачи (1.17).
  40. Согласно теории интегральных уравнений типа Фредгольма (см., например, 40.), уравнение (1.30) разрешимо тогда и только тогда, когда выполняются условия:
  41. ReJQ (f) Е = 0, j = l,., z/0, (1.32)где (?),.,^2/(0 полная система линейно независимых над полем R решений уравнения (1.22).
  42. Условия (1.32) можно переписать в виде:2эе
  43. Ajkak = Bj, j = l,., z/0, (1.33)i=lгде Ajk = ReJ qk (t)ij>j{t)dt, Bk = Re J Q (t)^j (t)dt.1.L
  44. Пусть r = rank\Ajk\, причем 0 < r < min (z/o, 2se). Известно 28., что система (1.33) совместна тогда и только тогда, когда г = г, где f ранг расширенной матрицы. А это равенство, в свою очередь, означает:
  45. Re J Q{t)j>j{t)dt ± 0, j = l,.,.z/0−7v (1.34)Lгдеj (i) (j — 1, Щ — т) ~ некоторые линейно независимые решения уравнения (1.22).
  46. Заметим, что при ае > 0 число гп = 2as-f l>o — г линейно независимых (над полем R) решений уравнения (1.30) совпадает с числом I линейно независимых (над R) решений однородной задачи (1.17) {Q{t) = 0), т. е. I = 2ае + щ — г.
  47. Следовательно, общее решение задачи (1.17) будет задаваться формулами (1.2б)-(1.27), где / = 2as + щ — г.
  48. Таким образом, в этом случае справедлива следующая теорема.
  49. Далее рассматривается следующая краевая задача.
  50. Требуется найти все кусочно-аналитические функцииo (z) = {
  51. J A (t, r)
  52. B{t:T)^p-(T)dr + J D{t, T)'^)dT + Q (t), (1.36)l lгде Gk{t) (k = 1, 2), Q (t) заданные на контуре L функции класса Гельдера, причем G{t) ф 0 на L- функции A (t, r), B{t, r), D (t, r), E (t, T) — заданные фредгольмовы ядра. т. е.
  53. A (t, r), B (t, r), D{t, r). Et, r) 6 x L).
  54. Перепишем краевое условие (1.36) в виде: р+(*) + J A (t, T) v+{r)dr + jE (t, T) v4yjdT = G (t)ip-(t)+1.L
  55. J B{t1T)if'{r)dr + J + (1.37)1.Lгде
  56. Q1(t) = Q (t)+G2(t)^{t). (1.38)
  57. Временно считая Q{t) известной функцией, равенство (1.37) можно рассматривать как краевое условие вспомогательной задачи вида (1.47).
  58. Re /(Q (t) + G2{t)9-(t))4>j{t)dt = 0, j = 1 ,., i/0, (1.41а-Lгде 4'j (t) (j = полная система линейно независимых (над
  59. R) решений однородного уравнения вида (1.22).
  60. Если же sei > 0. то при выполнении щ — г условий вида:
  61. Re J (Q{t) + G2(t)J{t)dt = 0, j = 1, г/Q — г, (1.416)Lобщее решение задачи (1−37) также задается формулами (1.39)—(1.40), где /о = 2eei 4- щ — г.
  62. Mv~){t) =
  63. M^r) = -J^(t, T) G2(ry} r'2(a) G2(t) G2(f)?^2тггr ff t1. Ri (t, T) G2®
  64. Q'2{t) = -f / ~zdT + / Ri (t, r) Q{r)dr + J R2(t, r) Q®dr.1.T L L
  65. Нетрудно проверить, что Mi (t, r), M2(t, r) фредгольмовы ядра. Следовательно, уравнение (1−43) представляет собой интегральное уравнение типа Фредгольма (см., например, 40.). Таким образом, справедлива следующая лемма.
  66. Введем в рассмотрение однородное уравнение: (MVi)"(f) =^i (f)+ /Mi (r, t)0i®dr + J М2{т^)щ (т)с1т = Q, (1.44)1.Lсоюзное с уравнением1. MvO (t)=0. (1.45)
  67. Известно (см., например, 40., с. 272), что для разрешимости неоднородного уравнения (1−43) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
  68. Re J (Q2(t) +? 5kdk{tmu (t)dt =.0, j = (1.46)1.k=lгде ibij (t) (j = l,., i/i) полная система линейно независимых (над R) решений уравнения (1.44).
  69. Перепишем условия (1.46) в виде: о
  70. J2 $kCkj = Dj, j = l,., z/b (1.47k= 1где C’kj = Re J Dj = ~Re J Q2{^ij (t)dt.1.L
  71. Пусть aei > 0 и r+ = rank\Ckj\, причем 0 < r+ < min (/o,^i). Известно 28., что система (1.47) совместна тогда и только тогда, когда г+ = г~ЛГ, где г^Г ранг расширенной матрицы. В свою очередь, равенство r+ = г^Г означает:
  72. Re J Q2(t)^lj (t)dt = 0, j = 1,., z/. — r+, (1.48)Lгде 4'ij{t) ~ некоторые линейно независимые (над R) решения уравнения (1.44).
  73. Если система (1.47) совместна, то общее решение интегрального уравнения (1.43) находится по формуле: i?-t) = Q2{t)+hl (t, T) Q2(T)dT+ 72 (t, r) Q2®dr+? PtftW, 1. L *=11.49)lo +Vl-r+где E РкФк^) ~ общее решение интегрального уравнения вида: *=iк=1
  74. Подставляя вместо (p~(t) ее выражение из (1.49) в левую часть (1.41Ь), получим систему алгебраических уравнений относительно параметров /Зк:
  75. Е Alj/3- = B*, j = l,., v0-r, (1.50)к= iгде A*kj, Bj определенные числа, выражающиеся через заданные функции.
  76. Заметим, что часть из этих уравнений будут удовлетворены за счет выбора произвольных постоянных (Зк.
  77. Далее, подставляя найденную функцию
  78. Замечание 1.2. Отметим, что в случае, когда
  79. Рассмотрим краевые условия, полученные из (1.52)—(1.53) переходом к комплексно сопряженным значениям: d$-(t) y^-jTv d$-(t)1. Gi (t) —r^ + Qiit). (1.54дх дхd$~(t) т^ттт^Ф ~(t)1. G2(t)~^-iQ2(t). (1.55)ду dyдФ-it)
  80. Исключая —-- из (1.52) и (1.54), а из (1.53) и (1.55) функциюдФ-it), получим равенства: ду
  81. IGiWI2) ^^ = + Q{t), (1.56)1 G2(t)2) = +
  82. Для полного исследования рассмотрим три различных случая: Случай 1. Пусть хотя бы для одного значения параметра к (к — 1, 2) выполняется условие Gk{t) = 1, но Gk{t)Qk{t) + Qk (t) Ф О, teL. Тогда задача (1.52)—(1.53) не разрешима.
  83. Случай 2. Пусть выполняются условия |G'fc (t)| ф 1 (к = 1, 2), t € L. Тогда равенства (1.56)—(1.57) можно переписать в виде: дФ~{*. =qi (t), teL, (1.58)дхдф-Ш дуiq2(t), teL, (1.59)
  84. Учитывая (1.4), а также соотношения (0.8), равенствам (1.58) и (1.59) можно придать вид: fM + t-M + yr (t) = gi (t), teL. at at1.60)at at
  85. Вычитая из (1.60) равенство (1.61), будем иметь: teL. (1.62)где1. Фг 0) = (1.62а)
  86. Если выполняется условие (1.63), то решение задачи (1.62) можно представить в следующем виде:1. Ф-Ы = -L / mdT. (L64)2ттг JL т — ~
  87. Учитывая обозначения (Г!62а), найдем функцию (г):
  88. Далее, подставив вместо r (t)/dt)-rt (t). (1.66а)
  89. Для разрешимости задачи (1.66) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:1. JJ
  90. При выполнении условия (1−67) общее решение задачи (1.66) дается формулой:1.
  91. Учитывая обозначения (1.66а), из формулы (1.68) можно найти функцию d (pQ (z)/dz:zer. (i.69)az 2ттг J т — z1.
  92. И, наконец, из равенства (1.69) с учетом Ф~(со) = 0 интегрированием по г найдем функцию1. Уо (г) = У dz dz>где Г~ произвольная гладкая кривая, соединяющая точки ^ и оо.
  93. Тогда если выполняются оба условия (1.63) и (1.67), задача (1.52)-(1.53) имеет единственное решение, которое определяется по формуле:
  94. Если же хотя бы одно из’условий (1.63) или (1−67) не выполнено, то задача (1.5*2)—(1.53) не разрешима.
  95. Случай 3. Рассмотрим наиболее важный случай, когда выполняются следующие условия:
  96. Gk (t) = 1 и Gk{t)Qk (t) + Qk (t) = 0, teL, к = 1, 2. (1.71)
  97. В дальнейшем числа = IndGk (t) (к = 1, 2) будем называть частичными индексами задачи (1.52)-(1.53). Известно 33., что nppi выполнении равенства (1.71) числа ззк четные, т. е. эе^. = 2тк.
  98. Учитывая (1.4), а также соотношения (0.8), перепишем краевые условия (1.52)—(1.53) в следующем виде:1.72)cvo («)+1 vnt)=Gi{t) Щй+шп. ^ -+Qs (t).dt dt
  99. Введем обозначения: -d (fi (t)dt1. Qo{t) = ~itdtв^Щр- + tGi (t)ifi (t) + tQ^t).dt1. V^o M = G0(t) =dztG^t)1.74)
  100. Тогда краевое условие (1.72) примет вид:
  101. Pt{t) = G0(t)w (t) + Q0(t). (1.75)
  102. Покажем, что при выполнении условий (1.71) верны тождества:
  103. GQ (t) = l и G0{t)Q0{t) + Q0{t) = 0, tel. Действительно, учитывая обозначение (1.74), будем иметь:1. Go (t) =tG{t)1*1|G!(0l = i-tGi{t)
  104. Временно считая Qo (t) известной функцией, равенство (1.75) можно рассматривать как краевое условие обычной задачи Гильберта относительно аналитической в области Т~ функции исчезающей на бесконечности.
  105. Мро)(t) = -Mt) + I M (t, T) w (T)dT = гъ, (1.77)i 1 Ао Кг) яг, ч 1/1 т’Ца M (t, т) =2тп т — t т — t Если же ski > 0, то в формуле (1.76) следует положить1. Зо = А = =Й12 = 0.
  106. В этом случае задача (1.52)—(1.53) имеет единственное решение при выполнении сё. -Ь 1 действительных условий разрешимости:1. Ь = ImL у -= 0, L
  107. Re j nQ®Tj-ldr = 0, (1.78)l'1. j! л0(т)т' Чт = 0, j = 1, ., тпьгде yjQ (t) общее решение союзного уравнения (MVo)(0 = 0.
  108. Подставляя вместо fio (t) ее значение из (1.79) в равенство (1.76), получим:1. Щ (-) =zmiXo{z) f Q0{r) dr2m1. Ruiz, г1. Qo{1.76')где
Заполнить форму текущей работой

Пора сдавать?