Исследование уравнения Шредингера для кристаллической поверхности с нелокальным потенциалом

Начало двадцатого столетия ознаменовалось появлением квантовой механики. В последние десятилетия математиками активно изучается уравнение Шредингера, одно из основных уравнений квантовой физики:

А + У{х))ф = Еф, феЬ2{Кп) — здесь, А — оператор Лапласа, Е — спектральный параметр, V{x) — вещественная функция (потенциал). Оператор Я = —А + V (x) является оператором энергии микрочастицы (обычно он самосопряжен), Щ = —А и V (x) — это операторы кинетической и потенциальной энергий соответственно [1], [2]. Основные математические результаты, относящиеся к уравнению Шредингера, полученные до конца восьмидесятых годов двадцатого века собраны в монографиях [3] - [9]. Обзор последующих результатов имеется в [10]. Изначально рассматривались, в основном, достаточно быстро убывающие на бесконечности потенциалы.

Физиками уже достаточно давно и интенсивно (в том числе в связи с потребностями разного рода технологий) исследуются проблемы, относящиеся к периодическому (возможно, возмущенному) оператору Шредингера, являющемуся оператором энергии электрона в бесконечном кристалле, а также к оператору Шредингера, отвечающему кристаллической пленке или кристаллической поверхности. Периодический случай исследован математически в |6], [11]. В работе [12] для оператора Шредингера, отвечающего кристаллической пленке, строится его разложение в прямом интеграле пространств (см. ниже подобную конструкцию), а также исследуется полнота волновых операторов. В статье [13] найден существенный спектр «пленочного» оператора Шредингера. В статье [14] изучается одномерный оператор Шредингера для полубесконечного кристалла в нестационарном подходе. Спектральные свойства оператора Н = —d?/dx2 + eV на оси, где V является оператором довольно общего вида, а е — малый параметр, были изучены P.P. Гадылыпиным в статье [15]. В работах Ю. П. Чубурина [16] - [20] исследуются спектральные свойства и асимптотика собственных функций (класса L00) оператора Шредингера с потенциалами, отвечающими кристаллической пленке, полуограниченному кристаллу или слоистой структуретакже изучается связь между такими операторами. Такого рода операторы занимают промежуточное положение между хорошо изученными операторами Шредингера для уединенного атома и для бесконечного кристалла.

Прямая задача рассеяния на потенциале для оператора Шредингера (нахождение амплитуды рассеяния и других характеристик рассеяния по потенциалу) изучается, например, в книгах [5], [8]. Обратная задача рассеяния (определение потенциала по амплитуде и другим спектральным характеристикам оператора Шредингера) исследуется в монографиях [21] - [25], а так же (на физическом уровне строгости) в [26].

Перечислим теперь работы, наиболее близкие по тематике к диссертации. В работе [27] была решена задача рассеяния для уравнения Шредингера.

— у" + и (х)у = к2у, jGR, где для с ^ 0 и N ^ 1 потенциал v{x) такой, что v{x) вещественнозначная функция, определенная на R и удовлетворяющая условию.

J v (x) — (?в{х) (1 + dx < 00. R.

Спектральные свойства оператора Шредингера с малым потенциалом типа возмущенной ступеньки в трехмерном случае были изучены Ю.П. Чу-буриным в работе [16].

В статье [28] одномерный оператор Шредингера с локальным потенциалом типа возмущенной ступеньки изучается с точки зрения нестационарной теории рассеяния. В частности, исследуется время задержки частиц потенциальным барьером.

Почти во всех математических работах потенциал представляет собой оператор умножения на функцию (называемых в физической литературе локальными потенциалами). Вместе с тем, в физике активно используются нелокальные потенциалы (см., например [2], [29], [30]), что связано, во первых, с относительно простотой расчетов с теми нелокальными потенциалами, которые являются конечномерными операторами (в физической литературе они называются сепарабельными потенциалами) — во вторых, с тем обстоятельством, что операторы потенциальной энергии, изначально не являются локальными (см. [2], [30]). Наконец, рассмотрение операторов Шредингера с нелокальными потенциалами достаточно интересно с математической точки зрения [15], [31], в то время как внимание математиков к таким операторам явно недостаточно. Кроме упомянутых статей, математические свойства подобных операторов изучались, например, в работах [32], [33], а также в монографии [23].

Отметим, что при рассмотрении кристаллических пленочных наноструктур знание зависимости энергий резонансных (квазистационарных) электронных состояний от параметров наноструктур, в частности, от величины потенциального барьера, открывают принципиальную возможность с помощью внешних воздействий управлять электронным прохождением и, в связи с этим может найти практическое применение при создании микроэлектронных устройств с использованием современных нанотехно-логий (см. [34]).

Из сказанного вытекает как математическая, так и, в какой-то мере, физическая актуальность изучения спектральных свойств, резонансов и рассеяния для операторов Шредингера, отвечающих полубесконечному кристаллу с нелокальным потенциалом, зависящим от параметров. Для функций ф (х) таких, что ф-^еЬК) {j = l ,., п) (0.1) введем обозначение.

Ф, з (х)dx (i = !"• • •"n)R.

Основной объект, который рассматривается в диссертации (для различных классов функций) — это уравнение Шредингера вида Уов (х)ф (х) + = Еф (х). (0.2) з=1.

Здесь Vo = const < 0 (данное предположение не уменьшает общности), в (х) — функция Хевисайда, 0 ф Xj G R для всех j = 1,., п. Относительно (комплекснозначных) функций 0- далее функции, удовлетворяющие неравенствам вида (0.3), будем называть экспоненциально убывающими.

Уравнение (0.2) относится к интегро-дифференциальным уравненип ям, «нелокальная» часть Лj{-,<pj)ipj потенциала п 3=1 представляет собой интегральный оператор с вырожденным ядром в L2{R) — это самосопряженный оператор конечного ранга. Потенциал V моделирует поверхность твердого тела.

Далее, положим.

Р п.

Нп = + +? Wfo j=i и.

Пользуясь введенными обозначениями, уравнение (0.2) можно записать в виде.

Нпф = Еф (0.4) или п я — ед = -? Ш v>i)v>j- (°-5).

3=1.

Ненулевые решения ф (х) уравнения Шредингера (0.4), удовлетворяющие условию (0.1), назовем (обобщенными, если ф (х)? b2®) собственными функциями оператора Нп.

Введем обозначение для резольвенты оператора Я, полагая.

R{E) = (Я — Я/)" 1.

В дальнейшем ядро резольвенты (являющейся интегральным оператором), вообще говоря, продолженное по параметру Е на второй лист соответствующей римановой поверхности, будем для краткости называть функцией Грина оператора Я и обозначать G{x, y, Е, Vq).

При условии Е? [Vo, +00) приведем уравнение (0.5) к интегральному виду ф (х) = j{il>, ч>5) jG (x, у, Е, УоЫу) dy. (0.6) j=1 R.

Введем обозначение.

Е, Vo) = JG (z, у, Е, V&dy, (0.7) R тогда интегральное уравнение (0.6) можно записать как п.

Функция Грина оператора Я имеет ветвление вокруг двух точек Е = 0, Е = Vo (см. ниже). Соответственно, резонансы следует определять в двух вариантах (ср. [20], [35], [36]).

Определение 0.1. Под резонансом оператора Нп будем понимать такое Е на втором листе римановой поверхности функции G (x, y, Е, Vo) в окрестности нуля с lm^/Ё < 0 (или в окрестности точки.

Vo с lm/E — Vo < 0), для которого существует ненулевое решение уравнения (0.6), удовлетворяющее условию (0.1).

Легко видеть (см. также теорему 2.3), что решения уравнения (0.6) из указанного класса являются также решениями и уравнения Шредин-гера (0.2). Если Е — резонанс, то соответствующее решение в силу асимптотики интеграла в правой части и (0.6) экспоненциально возрастает (см. лемму 3.5). Такие решения отвечают квазистационарным (распадающимся) электронным состояниям.

Определение 0.2. Уровнем Е оператора Нп будем называть собственное значение или резонанс данного оператора, а также соответствующее Е число к = у/Ё (или н = у/Е — Vo).

Известно (см. например, [29]), что электронные состояния, отвечающие резонансам оператора Шредингера, а также собственным значениям, близким к нулю, играют важную роль в рассеянии электронов на атомах. В частности, наличие резонансов, вообще говоря, может увеличить интенсивность прохождения электронов через кристаллическую структуру [35].

Диссертационная работа состоит из введения и двух глав (восьми параграфов). Третий параграф разбит на пункты. Нумерация параграфов сквозная. Нумерация теорем и лемм сквозная (теорема 3.5 — это пятая теорема в работе, находящаяся в параграфе 3). Нумерация определений, замечаний и формул отдельная по параграфам (определение 3.1 — это первое определение в 3-м параграфе).

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1974. 752 с.

2. Фаддеев Л. Д., Якубовский О. А. Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. 200 с.

3. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 360 с.

4. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.2. Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978. 396 с.

5. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. З. Теория рассеяния. М.: Мир, 1982. 446 с.

6. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 428 с.

7. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М.: Мир, 1982. 488 с.

8. Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 392 с.

9. Цикон X., Фрезе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.: Мир, 1990. 408 с.

10. Simon В. Schrodinger operators in the twentieth century // Journal of mathematical physics, vol. 4, num. 6, 3523−3555 (2000).

11. Скриганов М. И. Геометрические и арифметические методы спектральной теории многомерных периодических операторов. Труды Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 171. JI.: Наука, 1985. 122 с.

12. Davies Е. В. Scattering from infinite sheets. Proc. Cambridge Philos. Soc. 82 (1977), 327−334.

13. Herczynski Y. On the spectrum of the Schrodinger operator. Bull. Acad. Pol. sci: Ser. sci. math, 1981, T. 29 № 1−2, c. 73−77.

14. Davies E. В., Simon B. Scattering theory for systems with different spatial asymptotics on the left and right. Comrnun. Math. Phys. 63 (1978), 277 301.

15. Гадылыпин P. P. О локальных возмущениях оператора Шредингеря на оси // Теор. и матем. физика. 2002. Т. 132, С. 97−104.

16. Чубурин Ю. П. Об операторе Шредингера с малым потенциалом типа возмущенной ступеньки // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 120, № 2. С. 277−290.

17. Чубурин Ю. П. Об аппроксимации «пленочного» оператора Шредингера «кристаллическим» // Матем. заметки. 1997. Т. 62. Вьдп. 5.С. 773−781.

18. Чубурин Ю. П. О рассеянии для оператора Шредингера в случае кристаллической пленки // Теор. и матем. физика. 1987. Т. 72, № 1.С. 120−131.

19. Чубурин Ю. П. О решениях уравнения Шредингера в случае полуограниченного кристалла // Теор. и матем. физика. 1994. Т. 98, 1.С. 38−47.

20. Chuburin Yu. P. On levels of a weakly perturbed periodic Schrodinger operator. Commun. Math. Phys. V. 249, 497−510 (2004).

21. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма Лиувилля. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 240 с.

22. Агранович З. С., Марченко В. А. Обратная задача теории рассеяния. Харьков.: Изд-во Харьковского ун-та, I960. 268 с.

23. Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния. М.: Мир, 1980. 408 с.

24. Юрко В. А. Обратные спектральные задачи и их приложения. Саратов: Издательство Саратовского педагогического института, 2001. 499 с.

25. Рамм А. Г. Многомерные обратные задачи рассеяния: Пер. с англ. М.: Мир, 1994. 494 с.

26. Захарьев Б. Н, Сузько А. А. Потенциалы и квантовое рассеяние: Прямая и обратная задачи. М.: Энергоатомиздат, 1985. 224 с.

27. Cohen A., Kappeler Т. Scattering and inverse scattering for steplike potentials in the Schrodinger equation // Indiana Univ. Math, journal, Vol. 3, 127−180 (1985).

28. Amrein W.O., Jacquet Ph. Time deley for one-dimensional quantum systems with steplike potentials. Preprint mparc/06−157. 2006.

29. Демков Ю. H., Островский В. H. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975.

30. В. Хейне, М. Коэн, Д. Уэйр Теория псевдопотенциала. М.: Мир, 1973. 560 с.

31. Сметанина М. С., Чубурин Ю. П. Об уравнях оператора Шредингера для кристаллической пленки с нелокальным потенциалом // Теор. и матем. физика. 2004. Т. 140, № 2. С. 297−302.

32. Chadan К., Kobayashi R. The absence of positive energy bound states for a class of nonlocal potentials // LANL e-print arXiv: math-ph/409 018.

33. Сметанина M. С., Чубурин Ю. П. Об уравнении Шредингера для кристаллической пленки с нелокальным потенциалом // Вестник Удмуртского университета. Математика. Ижевск. 2003. № 1. С. 19−31.

34. Вольф Г. В., Чубурин Ю. П. Резонансные явления в рассеянии низкоэнергетических электронов на плпнарных кристаллических наноструктурах // Физика твердого тела. 2006. Т.48. Вып. 9. С. 1704−1709.

35. Альбеверио С., Гестези Ф., Хёэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. М.: Мир, 1991. 568 с.

36. Гатауллин Т. М., Карасев М. В. О возмущении квазиуровней оператора Шредингера с комплексным потенциалом // Теор. и матем. физика. 1971. Т. 9, № 2. С. 252−263.

37. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многоих комплексных переменных. М.: Мир, 1969. 395 с.

38. Плетникова Н. И. Об одномерном уравнении Шредингера с нелокальным потенциалом типа возмущенной ступеньки // Известия ИМИ. № 1(29). 2004. Ижевск: Изд-во УдГУ. С. 95−108.

39. Плетникова Н. И. Об уровнях оператора Шредингера на границе непрерывного спектра // Известия ИМИ. № 1(31). 2005. Ижевск: Изд-во УдГУ. С. 107−112.

40. Плетникова Н. И. Задача рассеяния для уравнения Шредингера с потенциалом типа возмущенной ступеньки // Известия ИМИ. N® 1(35). 2006. Ижевск: Изд-во УдГУ. С. 89−97.

41. Плетникова Н. И. Об уровнях оператора Шредингера с возмущенным ступенчатым потенциалом // Вестник Удмуртского университета. Математика. Ижевск. 2005. К0- 1. С. 155−166.

42. Плетникова Н. И. Об операторе Шредингера с нелокальным поверхностным потенциалом // Материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения XV». Воронеж. 2004. С. 168.

43. Плетникова Н. И. О поведении собственного значения (резонанса) оператора Шредингера вблизи границы непрерывного спектра // Материалы ВВМШ «Понтрягинские чтения — XVI». Воронеж. 2005.С. 124−125.

44. Плетникова Н. И. Обратная задача рассеяния для возмущенной ступеньки // Материалы 13-ой зимней Саратовской школы. Саратов. 2006. С. 139.

45. Плетникова Н. И. Исследование уровней оператора Шредингера на границе непрерывного спектра // Известия ИМИ. № 2(36). 2006. Ижевск: Изд-во УдГУ. С. 91−94.

46. Коробейников А. А., Плетникова Н. И. О вычислении уровней энергии и резонансов электронных состояний в случае кристаллической поверхности // Вестник Ижевского государственного технического университета. № 4. 2006. Ижевск. С. 63−68.

47. Плетникова Н. И. Асимптотика собственных функций оператора Шредингера с нелокальным потенциалом // Вестник Удмуртского университета. Математика. Ижевск. 2007. № 1. С. 109−120.

48. Меркурьев С. П, Фаддеев Л. Д. Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц. М.: Наука, 1985. 400 с.

49. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 512 с.

50. Шабат Б. В.

Введение

в комплексный анализ. 4.2. М.: Наука, 1982. 400 с.

51. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я.

Введение

в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев: изд-во Штиинца, 1973. 428 с.