Синтез рекурсивных цифровых фильтров методами оптимизации на основе полиномиальной аппроксимации

В состав современных вычислительных устройств, обрабатывающих информацию технологических процессов, часто входят блоки программно или аппаратно реализованных цифровых фильтров. По виду переходного процесса ЦФ делятся на КИХ (с конечной импульсной характеристикой) и БР1Х (с бесконечной импульсной характеристикой) фильтры. По виду разностного уравнения КИХ фильтры называют нерекурсивными, а БРГХ фильтры рекурсивными. Методы проектирования KPDC фильтров достаточно хорошо разработаны и рассмотрены в работах Голда Б./21/, Рэйдера Ч./22/, Рабинера Л./63/, Кайзера Д./23/, Ремеза Е.Я./62/, Хемминга Р./80/. Они основаны на теории рядов Фурье, методах линейного программирования, задачах чебышевской аппроксимации. Методы синтеза рекурсивных фильтров приведены в работах Брофи Ф., Салазара А./92/, Штейглица К./106/, Дечки А./105/, Бандлера Д./89/, Рабинера Л./63/. Типовые БИХ фильтры обычно проектирз^ются по аналоговым фильтрам с использованием билинейного преобразования. Наиболее универсальными методами расчета таких фильтров можно считать оптимизационные алгоритмы /62/, которые минимизируют согласно некоторому критерию функцию ошибки между заданной идеальной и полученной реальной характеристикой фильтра. Одним из общих методов расчета коэффициентов цифровых фильтров является алгоритм минимизации L2p ошибки, который при различных значениях параметра-показателя степени р соответствует другим оптимизационным методам /62/. В качестве оптимизационной процедуры, применяемой при реализации алгоритма L2p, можно использовать любой метод минимизации вещественной функции нескольких переменных. Наиболее распространенным, обладающим высокой скоростью сходимости, является метод Ньютона. Однако данный метод разрабатывался в предположении, что функционал является унимодальным и начальная точка поиска находится вблизи искомого решения. Функция ошибки в алгоритме Ьгр в общем случае является неунимодальной относительно искомых коэффициентов фильтра, к тому же достаточно сложно подобрать начальную точку вблизи оптимума, также недостатком метода является его вычислительная сложность, т.к. на каждом шаге поиска необходимо производить обращение квадратной матрицы и на практике вместо алгоритма Ньютона используют квазиньютоновские процедуры ДФП (Давидона-Флетчера-Пауэлла) /81/, Мак-Кормика /100/, Фиакко и Мак-Кормика /79/, Гольдфарба, Гринстада, Пирсона, Бройдена /94/ и др. Теоретически минимум функционала ошибки в алгоритме Ьгр стремиться к нулю, следовательно, для его реализации можно применять процедуры нахождения корня уравнения. Метод Ньютона решения нелинейного уравнения включает только первую производную целевой функции, поэтому скорость его сходимости может оказаться недостаточно высокой. Необходимо разработать такие оптимизационные алгоритмы для определения коэффициентов фильтров, которые основаны на методе Ньютона поиска корня уравнения, но имеют по сравнению с ним большую область и скорость сходимости за счет использования матрицы вторых производных целевой функции и не включают трудоемкую операцию обращения этой матрицы. Получить такие алгоритмы оптимизации можно на основе методики полиномиальной аппроксимации, в которой при линеаризации учитываются высшие члены ряда Тейлора /33/.Цель работы: разработка алгоритмов синтеза цифровых рекурсивных минимальнофазовых фильтров по заданной амплитудной частотной характеристике с помощью методов оптимизации, включающих вторую производную целевой функции, но имеющих меньшие вычислительные затраты и лучшие показатели сходимости по сравнению с классическими. Для достижения поставленной цели должны быть решены следующие основные задачи: 1) разработаны методы безусловной оптимизации функций нескольких переменных с применением полиномиальной аппроксимации- 2) построен рекуррентный алгоритм определения коэффициентов цифровых фильтров на основе алгоритмов второго порядка- 3) проведен сравнительный анализ разработанных методов между собой и с классическими алгоритмами оптимизации- 4) составлена программа синтеза цифровых фильтров и приведены рекомендации по их расчету. Научная новизна работы заключается в следующем: 1) получены алгоритмы безусловной оптимизации функций нескольких переменных на основе методики полиномиальной аппроксимации- 2) определены свойства алгоритмов и область их применения- 3) разработан алгоритм и программа расчета цифровых БИХ фильтров методом минимизации с применением методики полиномиальной аппроксимации. Для решения поставленных задач использовались методы оптимизации, теория матриц и цифровой обработки сигналов. Моделирование примеров проводилось на ЭВМ с использованием инструментальных средств автоматизации математических и инженерных вычислений MatLab. Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетной НИР «Разработка и исследование автоматизированных методов идентификации, управления и обработки информации в технических системах» (1995 г. J№ FP 01.9.30 001 868, 1996;1999 г. г. № ГР 01.9.60 000 794), проводимой в Омском государственном университете путей сообщения (ОмГУПС).Результаты работы используются в Федеральном Государственном Унитарном предприятии «Омский научно-исследовательский институт приборостроения» при проектировании цифровых устройств обработки дискретных сигналов. Теоретические результаты и программное обеспечение используются в учебном процессе ОмГУПС при проведении занятий и выполнении курсовых работ по дисциплинам «Математические основы теории систем» и «Передача данных в информационно-управляющих системах» для студентов специальности 2101 — Управление и информатика в технических системах. Внедрение результатов подтверждается соответствующими актами, приведенными в приложении. На защиту выносятся: 1) методы безусловной оптимизации функций нескольких переменных на основе методики полиномиальной аппроксимации- 2) результаты сравнения классических оптимизационных схем с разработанными методами полиномиальной аппроксимации- 3) алгоритм и результаты синтеза цифровых рекурсивных фильтров. Результаты диссертации обсуждались на 1-й, П-й и 111-й международных конференциях «Динамика систем, механизмов и машин «(ОГТУ, Омск, 1995 г., 1997 г., 1999 г.) — международной научно-технической конференции «Проблемы оптимизации и экономические приложения» (ИИТПМ, Омск, 1997 г.), Всероссийской конференции «Проблемы оптимизации и экономические приложения» и научно-техническом семинаре «Синтез цифровых фильтров» (ОФИМ им. Л. Соболева СО РАН, Омск, 2003 г.).По теме диссертации опубликовано 5 статей, 5 тезисов докладов и оформлено 4 отчета по НИР. Диссертационная работа состоит из четырех глав и приложения. В первой главе рассмотрены методы проектирования рекурсивных и нерекурсивных фильтров, представлены расчетные формулы для реализации этих методов. Даны рекомендации по использованию методов синтеза цифровых фильтров. Во второй главе показаны недостатки классических методов оптимизации, получены формулы алгоритмов полиномиальной аппроксимации, проведен сравнительный анализ на тестовых примерах различных методов оптимизации. Показана область применения алгоритмов полиномиальной аппроксимации. В третьей главе приведен алгоритм синтеза рекурсивных фильтров. Рассчитаны типовые цифровые фильтры методом минимизации L2p ошибки с применением алгоритмов оптимизации на основе полиномиальной аппроксимации. Приведены зависимости ошибки аппроксимации и времени определения коэффициентов фильтра от параметров фильтра, метода Ьгр, точности оптимизационной процедуры. Представлены частотные характеристики синтезированных фильтров. В четвертой главе приведены результаты внедрения разработанных алгоритмов и программ в комплекс по моделированию систем цифровой обработки сигналов, разрабатываемый в «Омском НИИ приборостроения» .Рассчитаны эталонные многополосные фильтры, приведены их временные и частотные характеристики. В заключении отображены основные результаты и выводы по диссертационной работе. В приложении приводятся акты внедрения результатов работы и тексты программ на языке MatLab.

4.2 Выводы.

1. Рассмотрено устройство цифровой обработки сигналов и аппаратно-программный комплекс для его отладки. Приведено описание цифрового сигнального процессора фирмы Analog Devices, составляющего основу устройства. В отладочном комплексе выделен блок эталонного фильтра, коэффициенты которого предполагается определять методами оптимизации на основе полиномиальной аппроксимации.

2. Приведено сравнение метода Давидона-Флетчера-Пауэлла с алгоритмом полиномиальной аппроксимации первого порядка при проектировании типовых идеальных фильтров нижних, верхних частот, полосового фильтра и цифрового дифференциатора. Показано увеличение области и скорости сходимости метода первого порядка по сравнению с алгоритмом Давидона-Флетчера-Пауэлла.

3. Представлены коэффициенты и амплитудно-фазо-частотные характеристики многополосных фильтров, рассчитанные двухступенчатым методом полиномиальной аппроксимации по характеристикам идеальных фильтров. Приведены спектры сигналов с выхода эталонного фильтра отладочного комплекса, полученные от предприятия ФГУП «Омский научно-исследовательский институт приборостроения» .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Содержанием настоящей работы является проектирование цифровых БИХ фильтров методами оптимизации с помощью разработанных алгоритмов полиномиальной аппроксимации, реализованных по многошаговой и двухступенчатой схеме. По содержанию работы можно сделать следующие выводы:

1. Рассмотрены математические модели и методы проектирования цифровых фильтров. Наиболее общими методами синтеза фильтров с произвольными частотными характеристиками являются алгоритмы минимизации, основу которых составляют оптимизационные процедуры. Показано, что зависимости функционала ошибки аппроксимации АЧХ от коэффициентов фильтра являются в общем случае неунимодальными функциями. Применение эффективных классических методов оптимизации для определения коэффициентов фильтра сопряжено со значительными вычислительными затратами и требует задания близких к решению начальных значений:

2. Предложено использовать для синтеза цифровых фильтров рекуррентные алгоритмы оптимизации, полученные на основе методики полиномиальной аппроксимации, позволяющей сократить объем вычислений и учитывать квадратичные члены разложения нелинейной целевой функции в ряд Тейлора.

3. Получены одна форма алгоритма полиномиальной аппроксимации первого порядка и три возможные формы второго порядка, из которых работоспособными являются только две. На основе предложенных форм алгоритмов разработаны двухступенчатые и многошаговые процедуры поиска решения.

4. Проведен сравнительный анализ вычислительных схем полиномиальной аппроксимации путем моделирования, на основе которого был выбран наилучший метод, им является двухступенчатая процедура второго порядка, реализованная по первой форме. Аналитически подтверждена сходимость разработанных методов и оценена скорость их сходимости.

5. Приведено сравнение на тестовых примерах алгоритмов полиномиальной аппроксимации с классическими методами Ньютона и наискорейшего спуска. Определен класс функций, для которых разработанные методы имеют лучшие показатели по области и скорости сходимости.

6. Приведен алгоритм синтеза цифровых минимальнофазовых рекурсивных фильтров, получены расчетные формулы для производных целевой функции, необходимые для реализации оптимизационных процедур данного алгоритма. Рассмотрено влияние параметров метода расчета на время вычислений и ошибку аппроксимации заданной частотной характеристики фильтра. Приведены рекомендации по выбору этих параметров при расчете БИХ фильтров с произвольной частотной характеристикой.

7. Составлена программа с использованием инструментальных средств автоматизации математических и инженерных вычислений Ма1: ЬаЬ по расчету коэффициентов рекурсивных цифровых фильтров на основе заданных частотных характеристик, которая используется в ФГУП «Омский научно-исследовательский институт приборостроения» при проектировании цифровых устройств обработки дискретных сигналов.

8. Теоретические результаты и программное обеспечение используются в учебном процессе ОмГУПС при проведении занятий и выполнении курсовых работ по дисциплинам «Математические основы теории систем» и «Передача данных в информационно-управляющих системах» для студентов специальности 2101 — Управление и информатика в технических системах.