Методы приближенного синтеза оптимального управления для дискретных систем

Актуальность проблемы.

Дискретные динамические модели управляемых систем — это весьма важный в теоретическом и практическом отношении класс математических моделей, позволяющий охватить очень широкий круг реальных объектов и соответствующих им задач управления. Они возникают как вполне естественные при моделировании дискретных процессов, таких как конвейерная сборка, обработка и передача информации цифровыми электронными устройствами, либо опосредованно — при дискретизации непрерывных моделей для практических расчётов или с целью учёта неоднородности их поведения, либо чисто искусственным путём при организации различных итерационных вычислительных процедур.

К настоящему времени разработаны многочисленные точные и приближённые методы решения задач оптимального управления. Подавляющее их большинство относится к системам с непрерывным временем. Для общих систем с дискретным временем, в особенности нелинейных, их арсенал оказывается значительно беднее. Однако в литературе им уделяется значительно меньше внимания, чем непрерывным моделям. Отчасти это объясняется сложившимися традициями исследований по теории управления, берущими начало из классической механики и аналоговой электроники, а отчасти тем обстоятельством, что наиболее распространённые математические методы гораздо хуже адаптированы к дискретным моделям, чем к непрерывным, наделённым хорошими теоретико-функциональными свойствами. Основная же причина такого положенияотсутствие в общем случае дискретного аналога принципа максимума Понтрягина для непрерывных систем, вокруг которого долгое время группировались в основном теоретические работы в области оптимального управления, основанные на методе вариаций и необходимых условиях оптимальности. Об этом свидетельствуют известные работы по дискретным системам А. Г. Болтянского (1973), Р. Габасова, Ф. М. Кирилловой и Б. Ш. Мордуховича (1973), А. И. Пропоя (1973), и немногочисленные работы последних лет, в которых развиваются оригинальные подходы к оптимизационным и родственным им задачам для дискретных систем А. Б. Куржанского и В. Д. Фурасова (2000), В. Г. Жуковского и А. Р. Айдиняна (1998), М. П. Дымкова (1997), В. А1е55апс1го (1998). Показано, что аналог принципа максимума имеет место лишь для специального класса дискретных систем с выпуклой векторграммой. В общем же случае в качестве необходимого условия 1 -го порядка имеет место лишь аналог уравнения Эйлера-Лагранжа, т. е. условия стационарности.

Значительно более продвинутыми оказываются результаты, основанные на принципе оптимальности Беллмана (Ь. А1рт§, 1997) и общих достаточных условиях оптимальности Кротова. К ним относятся условия локальной оптимальности, итерационные методы улучшения и метод кратных максимумов В. И. Гурмана (1985, 1997) и серия опирающихся на них работ. В то же время разработано мало эффективных методов синтеза оптимального управления для нелинейных дискретных систем, аналогичных развитым в работах В. Ф. Кротова (1964), В. З. Букреева (1998), М. М. Хрусталёва (1995, 1996).

Данная работа посвящена приближённым методам синтеза законов оптимального управления на основе принципа оптимальности Кротова и глобальных оценок, которые не требуют априори хороших аналитических свойств исследуемых моделей.

Цель работы.

Цель данной работы — построение методов приближённого синтеза оптимального управления для дискретных динамических систем на основе принципа оптимальности Кротова и их апробация на ряде представительных прикладных задач.

Научная новизна.

Научная новизна работы заключается в разработке новых методов приближённого синтеза оптимального управления: метода полиномиальной аппроксимации решения уравнения Беллманаметода траекторного восстановления функции цены.

Практическая ценность работы.

Практической ценностью работы является разработка теории, алгоритмов и программного обеспечения для решения ряда практических задач. Практические аспекты и приложения предложенных методов рассматриваются применительно к важным прикладным задачам: задача о доходности инвестицийзадача об оптимизации затрат на осуществление образовательных программзадача об оптимальной стратегии устойчивого развитиязадача оптимизации пространственного манёвра вертолёта.

Содержание работы.

Работа содержит кроме введения, три главы, заключение и приложение.

Первая глава посвящена дискретным моделям и их методическим преобразованиям в самом общем виде и содержит элементы общей теории оптимального управления, включая точный синтез управления. Дана общая постановка дискретной вариационной задачи, приведены подходы, применяемые для приближённой оптимизации на основе принципа оптимальности Кротова.

Во второй главе разработан метод приближённого синтеза оптимального управления как одного из способов задания функции Кротова на основе аппроксимации решения уравнения Беллмана интерполяционным полиномом. Метод проиллюстрирован решением двух практических задач экономического характера, представляющих самостоятельный интерес благодаря их актуальности.

Третья глава посвящена описанию и приложениям второго метода приближённого синтеза, основанного на восстановлении так называемой функции цены — зависимости минимизируемого функционала от начальных условий, которая определяет точно или приближённо функцию Кротова-Беллмана и тем самым приближённый синтез оптимального управления с оценкой точности. Описывается приложение данного метода к актуальной задаче оптимизации стратегии устойчивого стратегии на агрегированной эколого-экономической модели, и к задачам улучшения и локально-оптимального синтеза управлений, реализующих характерные маневры вертолета.

В заключении приведены основные выводы и результаты.

Приложение содержит блок-схему разработанного программного обеспечения.

Заключение

.

Выполненная работа содержит исследования, направленные на решение проблемы синтеза оптимального управления для дискретных систем и ориентированные на автоматизацию выработки стратегии поведения для технических, технологических, промышленных, экономических и других системных объектов в различных условиях.

Работа включает в себя следующие основные результаты:

1. Проанализированы основные методы и подходы, используемые для синтеза оптимального управления для дискретных систем и способы оценки его точности.

2. Разработан метод приближённого синтеза оптимального управления с обратной связью применительно к дискретным системам, процессам и объектам с использованием принципа оптимальности Кротова на основе интерполяции разрешающей функции степенным полиномом по фазовым координатам.

3. Разработан метод приближённо-оптимального синтеза на основе траекторного восстановления и аппроксимации функции цены, как разрешающей, по дискретному набору её значений.

4. Разработаны рекомендации по построению процедуры численного решения практических задач с использованием предложенных методов и способы повышения эффективности соответствующих алгоритмов.

5. С помощью разработанных методов решён ряд актуальных задач: об оптимальном распределении инвестиций по объектам и затрат на реализацию образовательных программ, об оптимальной стратегии устойчивого развития, об оптимальных пространственных манёврах вертолёта.

6. Разработано программное обеспечение для численного решения рассмотренных и аналогичных задач экономического характера.

Список публикаций по теме диссертации:

1. Ухин М. Ю. Определение оптимального управления вертолёта при выполнении разворота на висении. В сборнике «Системный анализ, информатика и оптимизация». Сборник научных трудов «В мире науки» Международной академии информатизации. Москва, РосЗИТЛП, 1999 год. С. 100−110.

2. Букреев В. З., Ухин М. Ю. Модели дискретных управляемых систем. В сборнике «Аэронавигационное обеспечение полётов воздушных судов». Сборник научных трудов Международной академии информатизации, Москва, ГосНИИ «Аэронавигация», 1999 год. С. 154−158.

3. Букреев В. З., Ухин М. Ю. Некоторые задачи принципа оптимальности при синтезе оптимального управления для дискретных систем. В сборнике «Аэронавигационное обеспечение полётов воздушных судов». Сборник научных трудов Международной академии информатизации, Москва, ГосНИИ «Аэронавигация», 1999 год. С. 146−149.

4. Никифорова Л. Н., Ухин М. Ю. и др. Метод формирования траекторий перелёта вертолёта на основе теории оптимального управления. В журнале «Вертолёт», № 5, 1999 год.

5. Никифорова Л. Н., Ухин М. Ю. Оптимизация траектории маловысотного полёта по данным цифровой карты местности. В сборнике «Теоретические и прикладные проблемы программных систем». Москва, «Наука», Физматлит, 1999 год.

6. Никифорова J1.H., Ухин М. Ю., Феофилов Е. Б. Оптимизация пространственных траекторий полёта вертолёта. В сборнике «Системный анализ, информатика и оптимизация». Сборник научных трудов Международной академии информатизации. Москва, РосЗИТЛП, 1999 год. С. 58−68.

7. Ухин М. Ю., Шевчук Е. В. Оптимальная стратегия устойчивого развития. В сборнике «Системный анализ, информатика и оптимизация». Сборник научных трудов «В мире науки» Международной академии информатизации. Москва, РосЗИТЛП, 1999 год. С. 86−99.