Теория вероятностей Вариант 5

Вариант № 5

Задача 1. В лотерее участвует 100 билетов, 15 из них выигрышные. Какова вероятность выигрыша, если приобретен один билет. Какова вероятность того, что хотя бы один билет выигрышный, если приобретено два билета.

Решение:

вероятность выигрыша, если приобретен один билет:

;

вероятность того, что хотя бы один билет выигрышный, если приобретено два билета:

Задача 2. В первой урне 20 белых шаров и 15 черных шаров, во второй урне 15 белых шаров и 18 черных шаров. Не глядя, достали по одному шау из каждой урны. Какова вероятность того, что:

а) оба шара белые;

b) оба шара черные;

с) шары разного цвета.

Решение:

а) вероятность того, что из первой урны вынули белый шар:

вероятность того, что из второй урны вынули белый шар:

тогда по теореме умножения вероятностей двух несовместных событий, искомая вероятность того, что оба шара белые:

;

b) вероятность того, что из первой урны вынули черный шар:

вероятность того, что из второй урны вынули черный шар:

тогда по теореме умножения вероятностей двух несовместных событий, искомая вероятность того, что оба шара черные:

;

с) вероятность того, что шары разного цвета, найдем как вероятность события противоположному событию, состоящему в том, что оба шара белые или оба шара черные:

.

Задача 3. Вероятность того, что при составлении бухгалтерского баланса допущена ошибка, равна 0,3. Аудитору на проверку предоставлены несколько балансов. Найти вероятность того, что:

а) из 8 проверенных балансов в трех выявлены ошибки;

b) из 150 проверенных балансов в 50 выявлены ошибки;

c) из 100 проверенных балансов менее 40 содержат ошибки.

Решение:

а) для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли:

итак, имеем, тогда, тогда вероятность того, что из 8 проверенных балансов в трех выявлены ошибки:

;

b) т.к. при неограниченном возрастании числа испытаний n биномиальный закон распределения нормированной частоты в пределе превращается в нормальный, тогда искомая вероятность:

т. е. имеем ;

c) вероятность того, что из 100 проверенных балансов менее 40 содержат ошибки:

.

Задача 4. У акционера три пакета акций. Вероятность получить доход по первому пакету акций 0,5; по второму — 0,6; по третьему 0,7. Х число пакетов акций, по которым их владелец получит доход.

Для случайной величины Х построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения. Найти ее математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение.

Решение:

Х число пакетов акций, по которым их владелец получит доход. Тогда значения, которые может принимать данная случайная величина:

соответствующие вероятности:

;

;

;

следовательно, ряд распределения: