Задача № 1. Линейная производственная задача.
Предприятие может выпускать четыре вида продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известны технологическая матрица, А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли
4 0 8 7 316
А= 3 2 5 1 В= 216 С=(31, 10, 41, 29)
5 6 3 2 199
Найти производственную программу (х1, х2, х3, х4), максимизирующую прибыль
z=31×1+10×2+41×3+29х4
Затраты ресурсов 1-го вида на производственную программу
4х1+0×2+8×3+7х4≤316
Затраты ресурсов 2-го вида на производственную программу
3х1+2×2+5×3+х4≤216
Затраты ресурсов 3-го вида на производственную программу
5х1+6×2+3×3+2х4≤199
Имеем
4х1+0×2+8×3+7х4≤316
3х1+2×2+5×3+х4≤216 (1)
5х1+6×2+3×3+2х4≤199
где по смыслу задачи х1≥0, х2≥0, х3≥0, х4≥0. (2)
Получена задача на нахождение условного экстремума. Для ее решения систему неравенств (1) при помощи дополнительных неизвестных х5, х6, х7 заменим системой линейных алгебраических уравнений
4х1+0×2+8×3+7×4+х5=316 (I)
3х1+2×2+5×3+ х4+х6=216 (II) (3)
5х1+6×2+3×3+2×4+х7=199 (III)
где дополнительные переменные имеют смысл остатков соответствующих ресурсов, а именно
х5 остаток сырья 1-го вида, х6 остаток сырья 2-го вида, х7 остаток сырья 3-го вида.
Среди всех решений системы уравнений (3), удовлетворяющих условию неотрицательности
х1≥0, х2≥0, х3≥0, х4≥0, х5≥0, х6≥0, х7≥0 (4)
надо найти то решение, при котором функция
z=31×1+10×2+41×3+29х4
будет иметь наибольшее значение
