Вычисления собственных чисел и собственных функций возмущенных операторов

Вычисление собственных чисел и собственных функций операторов не перестаёт быть актуальным, во-первых потому что общего (единого) алгоритма их вычисления нет, а во-вторых потому что эти числа имеют большую значимость в задачах прикладного характера.

В связи с этим целью исследования является нахождение и обоснование алгоритмов вычисления собственных чисел и собственных функций. При этом можно сформулировать задачу работы как задачу определения собственных чисел и собственных функций не на основе теории возмущений, а на основе применения численных методов решения дифференциальных уравнений.

В теории возмущений для определения собственных чисел и собственных функций возмущенного оператора С=А+*В используется разложение этих величин (собственных чисел и собственных функций) в ряды по степеням *, и при этом применение данной теории ограничивается достаточно малыми значениями *. В данной работе рассматривается подход, обеспечивающий приближенное вычисление первых собственных чисел и собственных функций как решения дифференциальных уравнений первого порядка, в которых производная берётся по *. Однако решения дифференциальных уравнений находятся не точно, а с использованием групп методов Рунге-Кутта, в частности метода Эйлера.

Впервые данный подход был рассмотрен академиком А. А. Дороднициным в пятидесятых годах двадцатого века для конечномерного оператора. А. А. Дородницин в статье [] высказал предположение об обобщении рассматриваемого подхода на случай бесконечномерных самосопряженных операторов, вопрос о сходимости для которых подлежит специальному рассмотрению.

Новизна работы заключается в обобщении результатов А. А. Дородницина на бесконечномерный случай и обосновании сходимости решений полученных дифференциальных уравнений к искомым собственным числам и собственным функциям возмущенного оператора.

В работе используется сквозная нумерация формул, лемм и теорем.