Линейное и динамическое программирование

Линейное программирование.

Задача линейного оптимального планирования — один из важнейших математических инструментов, используемых в экономике. Рассмотрим предприятие, которое из m видов ресурсов производит n видов продукции.

Примем следующие обозначения:

i — номер группы ресурса (i=1,2, …, m);

j — номер вида продукции (j=1,2, …, n);

aij — количество единиц i-го ресурса, расходуемое на производство одной единицы j-го вида продукции;

bij — запасы i-ro ресурса ;

xi планируемое количество единиц j-й продукции;

cjприбыли от реализации одной единицы j-го вида продукции;

X=(x1, x2, xn) — искомый план производства, называется допустимым если имеющихся ресурсов достаточно. называется допустимым если имеющихся ресурсов достаточно.

Рассматриваемая задача состоит в нахождении допустимого плана, дающего максимальную прибыль из всех допустимых решения подобных задач, называемых задачами линейного программирования.

Предположим, что предприятие может выпускать четыре вид продукции, используя для этого три вида ресурсов. Известна технологически матрица, А затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор В объемов ресурсов и вектор С удельной прибыли

48 30 29 10 удельные прибыли

нормы расхода 3 2 4 3 198

2 3 1 2 96

6 5 1 0 228

запасы ресурсов Обозначим х1, х2, х3, х4 — число единиц 1-й, 2-й, 3-й, 4-й продукции, которые планируем произвести. При этом можно использовать только имеющиеся запасы ресурсов. Целью является получение максимальной прибыли. Получаем следующую математическую модель оптимального планирования:

L (x1,x2,x3,x4)=48xl+30×2+29×3+10×4 max

3х1+2×2+4×3+3х4≤198

2х1+3×2+1×3+2х4≤96

6х1+5×2+1×3+0х4≤228

xj≥0, jєN4