Неоднородные разностные схемы повышенного порядка точности для численного решения некоторых задач математической физики

Потребность в решении задач математической физики с высокой степенью точности не убывает несмотря на рост быстродействия ЭВМ. Сложность математических моделей, возникающих на практике, опережает развитие вычислительной техники, что в свою очередь, приводит к возрастающим требованиям к методам решений. На первый план выдвигаются наиболее экономичные методы решения задач. В этой связи актуальность схем повышенной точности не вызывает сомнения, поскольку они позволяют получить прближенное решение с заданной точностью при меньших вычислительных затратах.

Пути повышения точности приближенных решений задач математической физики обсуждаются в нескольких направлениях. Это и простейший прием повышения точности разностных схем пропорциональным уменьшением интервалов дискретизации дифференциальных задач, это использование многоточечных разностных схем и уточнение разностями высоких порядков, это экстраполяционный метод Ричардсона, использующий решение задач на последовательности сеток [3], и многое другое.

Построенные в работе схемы относятся к классу компактных разностных схем. Компактными [29] принято называть разностные схемы, которые имеют повышенный порядок аппроксимации, но записываются на шаблоне, несущественно отличающемся от традиционного для данного уравнения. Обычно это схемы третьего или четвертого порядка аппроксимации, щаблон которых представляет собой т-мерный параллелепипед с размерами ребер в два пространственных шага по каждому из т координатных направлений, называемый иначе т-мерным ящиком. В отличие от схем повышенной точности на многоточечных шаблонах для компактных схем аппроксимация является улучшенной не на любых гладких функциях, а именно на решениях дифференциального уравнения, так как в этом случае она достигается путем использования следствий уравнения, полученных его дифференцированием. Начало этим исследованиям положил Ш. Е. Микеладзе задолго до появления термина «компактная схема» в работах [17], [22], где для двумерного уравнения Пуассона на квадратной сетке построены разностные схемы, имеющие четвертый порядок аппроксимации в классе достаточно гладких решений исходного уравнения.

Для повышения порядка скорости сходимости разностной схемы Е. В. Волков применял метод уточнения разностями высших порядков [11], [12], [13]. В работе [11] приводятся результаты исследования одного способа уточнений решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в двумерной области с криволинейной границей. При составлении разностного уравнения во внутренних узлах привлекается простейший пятиточечный оператор. Для сноса граничной функции в узлы ступенчатого контура на основе экстраполяционного многочлена Лагранжа строится интерполяционная формула. По полученному первому приближению строится поправка с использованием разностей высокого порядка, которая добавляется к правой части уравнения. Затем находится следующее приближение с измененной правой частью и так далее. В работе доказано, что д-е приближение сходится к точному решению со скоростью }г2с'.

В работе [2] рассмотрено несколько способов повышения точности приближенного решения. Например, изложена схема повышенного порядка точности для уравнения Пуассона, оператор которой определен на девятиточечном шаблоне типа «ящик», предложена схема повышенной точности для уравнения теплопроводности.

В работе А. Н. Валиуллина [21] при построении разностных схем повышенной точности частные производные, входящие в дифференциальное уравнение, начальные данные и граничные условия заменяются конечно-разностными отношениями, имеющими более высокий порядок аппроксимации на заданном шаблоне. Статьи [31], [30] целиком посвящены компактным схемам.

Довольно полно современное состояние с использованием компактных схем отражено в статье [29] и библиографии к ней. Кроме того, в ней предложены компактные схемы повышенного порядка точности для несамосопряженных уравнений эллиптического типа с первыми производными.

Большое число наз^чных публикаций посвящено методу экстраполяции Ричардсона. Систематическое изложение метода и его возможных применений к различным классам задач изложено в монографии [3], где доказано, что метод Ричардсона позволяет получить уточненные решения задач любого порядка точности, если обеспечены соответствующие условия согласования и гладкости. Метод состоит в использовании последовательности сеток и соответствующих им однотипных аппроксимаций для построения приближенных решений заданного порядка точности.

В работе У. Рюде [1] приведены основные варианты алгоритмов: экстраполяция Ричардсона, экстраполяция ошибки вследствие отбрасывания членов разложения и экстраполяция функционалов. Классическая интерполяция, как правило использует постоянную или квази-постоянную сетки, что вместе с гладкостью решения позволяет доказать асимптотические разложения. Последние результаты [1] показали, что эти требования могут быть ослаблены для кусочно-непрерывных сеток. У. Рюде изучал расширение экстраполяции на непрямоугольные сетки. Вместо классического подхода, который пытается показать глобальную точность, показано, что экстраполяция имеет локальную точность высокого порядка. В контексте дифференциальных уравнений в частных производных экстраполяция может быть применена в нескольких различных случаях:

1) как экстраполяция Ричардсона, где образуется линейная комбинация приближенных решений,.

2) как экстраполяция, при которой комбинируются ошибки дискретизации,.

3) как экстраполяция функционалов.

Поскольку рассматриваемые уравнения имеют несколько независимых переменных, каждый из этих базовых подходов имеет многовариантную реализацию, где вводятся и используются для экстраполяции различные параметры сетки. Рюде предложен вариант многомерной экстраполяции Ричардсона. Его модифицированный метод экстраполяции включает в себя решения трех задач с N. 27У и 2И неизвестными. Классическая интерполяция Ричардсона включает в себя решение для N и 4/У неизвестных. Решить две системы с неизвестными проще и экономичнее чем систему с 47У неизвестными. Однако, если для решения используются многоуровневые итерационные методы, то вычислительная сложность обоих методов примерно одинакова.

В статье Б. Н. Хоромского [32] предложен другой способ экстраполяции, где фиксируется разностная сетка, а расчеты ведутся для последовательности различных систем координат. При этом вычисления проводятся на одной разностной сетке.

Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе построены и теоретически обоснованы схемы повышенного порядка точности для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Идея построения таких схем и термин «неоднородная разностная схема повышенного порядка точности» принадлежит В. В. Шайдурову. Это название возникло из-за разных правил построения сеточных уравнений в четных и нечетных узлах в отличие от однородных схем [2], когда правило построения одинаково для всех узлов сетки. Каждое уравнение имеет только второй порядок аппроксимации, но с остаточными членами разных.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Итак, построена серия неоднородных разностных схем повышенной точности для обыкновенных дифференциальных, эллиптических и параболического уравнения второго порядка. До начала этих исследований развивался и достиг определенных рубежей только аппарат однородных разностных схем. Сопоставим их в общих чертах.

Для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений неоднородные разностные схемы представляют, по-видимому, только методический интерес, поскольку эффективность известных схем Нумерова и Самарского выше. Для двумерных линейных эллиптических уравнений второго порядка вычислительная эффективность однородных и неоднородных схем повышенного порядка точности примерно одинакова, хотя теоретическое обоснование неоднородных схем несколько сложнее.

Положение меняется при решении квазилинейных задач с нелинейной зависимостью коэффициентов и правой части от решения. Здесь для построения однородных компактных разностных схем приходится использовать производные от коэффициентов и правой части, что приводит к усложнению вида сеточных уравнений, обоснования устойчивости и сходимости. Рассмотренное в этой работе квазилинейное уравнение Пуассона с нелинейностью в правой части показало, что применение неоднородной схемы принципиально не отличается от линейного случая.

Кроме того, подход с неоднородными схемами независимо дополняет аппарат однородных разностных схем в следующем смысле. Оба приема можно использовать одновременно. Например, вместо простейшего сеточного уравнения малый крест второго порядка аппроксимации, используемого на двух шаблонах с шагами /г и 2/г, можно применить компактное девятиточечное уравнение четвертого порядка аппроксимации. В итоге такая неоднородная разностная схема имела бы шестой порядок точности.

На основе проведенных исследований и вычислительных экспериментов можно заключить, что построен новый метод численного решения задач математической физики, во-первых, для некоторых задач имеющий эффективность выше известных методов и, во-вторых, для ряда задач расширяющий возможности других подходов.