Дискретные аналоги некоторых свойств броуновского движения и других процессов

В теории случайных процессов давно изучается вопрос об аппроксимации непрерывных процессов их дискретными аналогами. Цель настоящей работы состоит в том, чтобы построить дискретные аналоги различных функционалов от броуновского движения и изучить их.

В качестве дискретной аппроксимации броуновского движения мы рассматриваем простейшее симметричное случайное блуждание, то есть блуждание, шаг которого имеет распределение Бернулли. На его основе мы строим дискретные аналоги многих связанных с броуновским движением процессов, таких как локальное время, время пребывания выше заданного уровня, значение максимума и точка достижения этого максимума, броуновский мост и броуновский меандр. Особое внимание уделяется процессу Бесселя размерности три. Определения всех этих процессов можно найти в очень подробной монографии по теории броуновского движения [12].

Для построенных дискретных процессов мы доказываем дискретные варианты многих известных утверждений, имеющих место в непрерывном времени. Например, в теории броуновского движения хорошо известен следующий результат П. Леви (см., например, [12- IV (2.3)]).

Предложение 1.6 (Теорема Леви). Для стандартного броуновского движения (Bt)t>о процесса его максимума (Mt)t>о и локального времени в нуле {Lt)t>о имеет место следующее равенство по распределению.

Mt-Bt, Mt) t>0l^(Bt, Lt) t>0.

Рассмотрим теперь простейшее симметричное случайное блуждание (Дг)п=о, 1,., обозначим процесс его максимума через Мп = supk.

Теорема 1.11 (Дискретный вариант теоремы Леви). Пусть процессы (Вп)п=од,., (Mn)n=o, i,. и (Ln)n=од,. такие как определено выше. Тогда распределения следующих двумерных процессов совпадают.

Мп — ВП} Mn) n=o, i,. (|Вп — ½| - ½, Ln) n=0,i,.

В дальнейшем мы также будем обозначать дискретные процессы теми же буквами, что и их непрерывные прототипы, но над ними всегда будет ставиться волна, так же как в формулировке предыдущего утверждения. Это делается для избежания путаницы во время предельного перехода от дискретного времени к непрерывному.

Помимо классической теоремы Леви (предложение 1.6), известно ее обо-щение на случай броуновского движения со сносом (В* := Bt + Xt) t>o.

Предложение 1.7. Пусть (Bx)t>0 — броуновское движение со сносом А. Обозначим через MfA := supso его решение. Тогда следующие пары процессов одинаково распределены.

Mtx — В1м})ъо (X?lL (Xx)t)t>0, где L{Xx)t обозначает локальное время в нуле процесса (Xt)t>о.

Впервые это утверждение было доказано в работе С. Е. Гравереена и А. Н. Ширяева [6] исходя из классической теоремы Леви с помощью техники замены меры. В более поздней статье А. С. Черного и А. Н. Ширяева [3] приводится непосредственное доказательство. Для этого обобщения теоремы Леви мы также доказываем дискретный аналог, который формулируется для несимметричного случайного блуждания.

Другим хорошо известным утверждением о броуновском движении, которому мы уделяем внимание, является закон арксинуса, впервые установленный в уже упоминавшейся работе П. Леви [9]. В действительности, известно три разных закона арксинуса, которые можно объединить в одно общее утверждение.

Предложение 1.2. Пусть (Bt)t>о — стандартное броуновское движение. Обозначим положение последнего пуля через gt — sup{s < t J Bs — 0}, время пребывания его выше нуля через 7f — /0*I{ns>o}, ds, а точку достижения своего максимума через dt — argsupa.

P (Si € dx) — P (7l € dx) — Р (в1 в dx) = 1.

7Гу Ж (1 — X).

Воспользовавшись этим утверждением и свойством автомодельности броуновского движения, легко сделать вывод, что справедливо следующее соотношение.

Предложение 1.3. Пусть (Bt)f>0 — стандартное броуновское движение. Обозначим время пребывания его выше нуля через 7{ — /ц /{в,>о}> ds, а точку достижения своего максимума через 6t — argsups<{ Bs, то есть Bgt — sups.

В диссертации приводятся различные обобщения этого последнего равенства. Так, вместо функционала jt мы рассматриваем величину для произвольного неотрицательного а, а вместо одномерных, некоторые трехмерные условные распределения, и доказываем их равенство.

Теорема 2.2. Пусть (Bt) — стандартное броуновское движение. Обозначим через Mt = sups.

Процессы (7^) и (6t) такие как описано выше. Тогда при фиксированном t и, а > 0 имеет место следующее равенство совместных условных распределений.

Это утверждение получено предельным переходом в соответствующем дискретном соотношении. А именно, рассмотрим дискретные аналоги процессов, упомянутых в предыдущей теореме. Для простейшего случайного.

К? = Mt Л (MtBtа). t.

Law (7ta, Щ2, Bt | Mt > a) = = Law (et, Кta, Bt + 2a | Mt — Bt > a). блуждания (Bn)n=o, i,. положим.

Mn := maxk<�пВк = Mn} Kan := Mn Л {Mn — Bn — a), spn r In Z^k=01{Bk>a}^ n n то есть вп обозначает самую левую точку достижения случайным блужданием своего максимума, а есть количество значений, строго больших а. Введем также процесс п k=1 который «считает» количество пересечений случайным блужданием уровня, а + ½ сверху вниз.

В этих обозначениях оказывается справедливым следующее утверждение.

Теорема 2.3. Для простейшего симетричного случайного блуждания (Дг)п=о, 1,. w его функционалов, определенных выше, при каждом натуральном п и любом целом, а > 0 имеет место равенство по распределению.

Law (7* Щ, Вп | Мп >а) = = Law (§-п, К*, Вп + 2аМп~ Вп> а).

В заключение второй главы приводится обобщение полученных результатов для других случайных процессов, таких как броуновское движение со сносом и броуновские мосты. А именно, для этих процессов доказывается равенство аналогичное утверждению теоремы 2.2 в случае, а = 0.

Другая часть диссертации посвящена изучению свойств дискретного процесса Бесселя размерности три. Речь идет о процессе, рассматриваемом в работе Дж. Питмана [10], а именно, для простейшего симметричного случайного блуждания (Вп)п=од,., и процесса его максимума (Mn)n=o, i,. положим.

R* 2Мп — Вп.

Этот процесс мы и называем дискретным процессом Бесселя размерности три. В работе [10] доказана его сходимость к непрерывному процессу Бесселя, который мы будем обозначать (i?t)t>o.

Помимо указанного выше определения мы приводим три других эквивалентных определения диекрентного процесса Бесселя, описывающих его с различных точек зрения. В одном из этих определений этот процесс задается как некоторый другой функционал от простейшего случайного блуждания. В другом определении указана его переходная функция как марковского процесса. Последнее определение состоит в задании плотности распределения этого процесса относительно распределения простейшего симметричного случайного блуждания.

Для этого дискретного процесса мы доказываем аналоги различных известных соотношений, выполненных для процесса Бесселя в непрерывном времени, в частности.

Теорема 3.4 (Дискретный вариант теоремы Питмана). Рассмотрим процессы (jBn)n=0,ii., (M")"=o, if. и (Rn)n=0,1,., определенные выше. Положим Jn := inffc>" RkТогда следующие двумерные процессы совпадают по распределению.

2Мп — Вп, Mn) n=o, i,. (Я", Jn) n=o, i,-> причем условное распределение Law (Jn |Fn) является дискретным равномерным распределением на отрезке [0, Rn], то есть Jn принимает значения 0,1. Rn с равными вероятностями. Здесь Fn := cr (Rk, к = 0,1,. п).

Немалая часть работы посвящена доказательству дискретных вариантов теорем Д. Вильямса [16] (см. также ([12- VI, (3.11)], [12- VII, (4.9)]), двух утверждений о взаимосвязи между процессом Бесселя и броуновским движением. Чтобы их сформулировать нам потребуются следующие обозначения.

Для целого числа, а и дискретного случайного процесса (Xn)n=o, i,. > имеющего такие же траектории, как и у простейшего случайного блуждания, обозначим через la (X), la+{X), ra (X), ra (X), случайные моменты времени, задаваемые формулами.

ЦХ) := inf{n | Xn = а},.

1а+(Х) := Ы{пХп = а+}-, ra-(X) := sup{n | Хп = а — 1} + 1, га (Х) := sup{n | Хп = а}.

Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема 3.12 (Дискретный вариант теоремы Вильямса) Выберем произвольное целое число Ь > 0. Пусть следующие четыре случайных элемента независимы. Случайная величина, а имеющая дискретное равномерное распределение на отрезке [0,6]. Симметричное случайное блуждание (Вп)п=од,., выходящее из точки Ъ. Два дискретных процесса Бесселя (Rh)n=од,. и п=ОД,.*.

Определим моменты времени п и по формулам щ = hiR1) := inf{n | R = Ь}, n2-ni = la (B) := inf{n | Bn = a}.

Тогда процесс (Хп)п=од,., определенный no формуле R-l 0 < n < щ, xn := < Bn-ni, щ < n < n2, I a + R? n.

— п21 n2 — n> имеет распределение дискретного процесса Бесселя.

Пусть (Rn)n=o, i,. — дискретный процесс Бесселя. Назовем положительным дискретным процессом Бесселя процесс задаваемый формулой.

Тогда к предыдущему результату можно добавить и смежный с ним.

Теорема 3.13 (Дискретный вариант разложения Вильямса).

Зафиксируем некоторое целое число b > 0 и зададим следующие четыре независимых случайных элемента. Случайная величина с с дискретным равномерным распределением на отрезке [0,6]. Простейшее симметричное случайное блуждание (Вп)п=од,. Два положительных дискретных процесса Бесселя (Я+'^п^од,. и (R+'2)n=од,.

Определим моменты времени m, гпг и тз по формулам m 1 = lc+(B) := inf{n 12? n = с + 1} — 1, ш2 — mi — rc (R+jl) := sup{n | Rp1 = с}. m3-m2 = lb+{R+>2) := inf{n | Л±2 = 6+1} - 1.

Тогда процесс (Уп)п<�т3, определенный по формуле Вп, О < п < mi,.

Уп ¦= СRn-mi, mi<�п< m3, имеет распределение простейшего симметричного случайного блуждания, остановленного в момент 1ь+.

Свойства дискретных случайных процессов интересны и сами по себе, и с точки зрения возможности совершить в них предельный переход к непрерывному времени. Обычно, эти предельные переходы опираются на результаты, подобные теореме, называемой принципом инвариантности Донскера-Прохорова, получившей свое название благодаря работам М. Донскера [5] и Ю. В. Прохорова [И] (см. также [12- XIII, (1.9)]).

Предложение 1.1 (Принцип инвариантности). Пусть (^n)n=i, 2,. — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с Еrjn = 0, Е772 = 1. Рассмотрим случайное блуждание Вп := Х) ь=1 Vk и построим по нему случайный процесс в непрерывном времени с помощью кусочно-линейной интерполяции, который обозначим через {Bt)t>0. Тогда (^LBmt) t>o (Bt)t>o при m —" 00 в смысле слабой сходимости распределений в пространстве С[0,00) — где (Bt)t>o — стандартное броуновское движение.

Помимо принципа инвариантности в классической формулировке доказано множество различных обобщений этого результата, многие из них можно найти в монографии П. Биллингсли [2], или в книге Ж. Жако-да и А. Н. Ширяева [7]. Из недавних работ упомянем статью Т. Соттинена [14] утверждение аналогичное принципу инвариаитности доказывается для фрактального броуновского движения. Для нас особый интерес представляют работа Дж. Питмана [10], в которой он строит дискретную аппроксимацию процесса Бесселя размерности три, а также совместная работа М. Йора, А. С. Черного и А. Н. Ширяева [4], в которой с помощью интегральных сумм построенных по случайному блужданию аппроксимируется стохастический интерграл по броуновскому движению и теорема Донскера-Прохорова обобщается на этот случай. Идеи доказательства этой теоремы восходят к работам А. В. Скорохода [13].

Предложение 1.10. Пусть Вп := щ — такое же случайное блуждание как и в классическом принципе инвариантности, а f (x) некоторая функция. Рассмотрим стохастический интеграл It := f*f (Bs) dBs, и построим его дискретный аналог. А именно, выберем некоторое т > 0, полоо/сим I™ := ]CL=i/(^г^ь, а затем доопределим этот процесс с помощью кусочно-линейной интерполяции. Предположим, что выполнено одно из двух условий: либо функция f (x) кусочно-непрерывна, либо распределение г]п имеет нетривиальную абсолютно непрерывную относительно меры Лебега компоненту. Тогда при т —> оо имеет место сходимость в смысле сходимости распределений в пространстве С[0,оо)2.

Этот замечательный результат позволяет при совершении предельного перехода от дискретного времени к непрерывному оперировать, в частности, с таким важным функционалом от броуновского движения как его локальное время в некоторой точке а. Доказательство теоремы 2.2 опирается именно на это утверждение. Впервые функционал локального времени ввел в рассмотрение П. Леви в работе [9]. Далее X. Танака в работе [15] установил (см. также [12- VI, (1.2)]), что для локального времени имеют место следующие соотношения.

Предложение 1.4 (Формулы Танака) Пусть {Bt)t>о — стандартное броуновское движение, a {Lf) его локальное время в точке а. Тогда имеют место следующие соотношения.

Ц/2 = (Bt-a)±f*I{Be>a}dBs, Ц = Bt — а| — /о sgn (Bs — a) dBs, из которых видно, что локальное время представляется в виде непрерывного функционала от самого броуновского движения и некоторого стохастического интеграла по нему. Причем функции f{x) = 1{х>а} и /2(ж) = sgn (a- — а) является кусочно-непрерывными, что позволяет воспользоваться предложением 1.10. Классический же принцип инвариантности в виде предложения 1.1 к локальному времени неприменим, поскольку, как видно из другой известной формулы.

1 [*.

Lt =l1!?- / ha

Важным понятием в теории броуновского движения является понятие экскурсии, под которой понимается отрезок траектории между двумя соседними нулями. В настоящей работе вводится понятие экскурсии для случайного блуждания, это понятие используется на протяжении всей работы. Оно несколько отличается от классического, поэтому остановимся на нем поподробнее. Основное отличие состоит в том, что мы принимаем за «начало отсчета» не точку 0, а точку ½. То есть именно моменты пересечения уровня ½ считаются границами между экскурсиями. Полное определение и основные свойства такого разбиения на экскурсии приводятся в первой главе..

Такой, на первый взгляд, незначительный нюанс в определении экскурсии, как оказалось, имеет решающее значение. На основе такого разбиения на экскурсии мы строим несколько важных отображений на множестве траекторий простейшего случайного блуждания, которые определенным образом переставляют и переворачивают экскурсии. Построение этих отображений и доказательство их свойств является основной частью диссертации. Именно с помощью подобных рассуждений доказываются основные утверждения, касающихся дискретного времени..

Диссертация построена следующим образом..

В главе 1 приводятся основные обозначения и определения, вводится используемое в дальнейшем понятие разбиения траектории случайного блуждания на экскурсии и излагаются его свойства. Далее формулируются известные свойства броуновского движения и смежных процессов, которые либо будут использованы в доказательствах, либо предназначены для сравнения со своими дискретными аналогами, приводимыми в диссертации. Также в эту главу вынесены дискретный аналог классической теоремы Леви и ее обобщения..

Глава 2 посвящена различным обобщениям раветства, приведенного в предложении 1.3. Здесь доказывается равенство некоторых условных трехмерных распределений в дискретном времени (теорема 2.3), далее производится предельный переход, что приводит к теореме 2.2. В заключение главы с помощью техники замены меры утверждение теоремы 2.2 в случае, а = 0 доказывается для броуновского движения со сносом и для броуновских мостов, идущих из нуля в произвольную точку. Для рассматриваемых совместных распределений не только установлено их совпадение, но и вычислен явный вид, в чем неоценимую помощь оказал справочник [1]..

В главе 3 изучается дискретный процесс Бесселя размерности три. Вначале приводятся различные определения этого процесса и доказывается их эквивалентность. Потом приводятся вспомогательные утверждения, являющиеся дискретными аналогами известных свойств процесса Бесселя. Дальнейшее содержание главы посвящено доказательству теорем 3.12 и 3.13..

Цитируемые утверждения носят название «предложение». Собственные результаты автора названы «теоремами», «леммами» или «следствиями»..

Нумерация утверждений сплошная внутри каждой главы. При этом используется двойная система нумерации, так что ссылка на теорему 3.1 указывает на первую теорему в третьей главе. То же самое относится и к нумерации формул..

По теме диссертации были сделаны доклады на научно-исследовательском семинаре «Стохастический анализ и финансовая математика» кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ, а также на Большом Семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ в 2005 году..

Непосредственно к теме диссертации относятся статьи [17], [18] и [19]..

Работа выполнена под руководством члена-корреспондента РАН, профессора Альберта Николаевича Ширяева, которому автор выражает искреннюю благодарность. Также автор благодарит к.ф.-м.н. Александра Семеновича Черного за помощь и поддержку..

1. А. Бородин, П. Салминен. Справочник по Броуновскому Движению. Спб.: Издательство «Лань», 2000, 640 с..

2. П. Биллингсли. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977, 352 с..

3. A.S. Cherny, A.N. Shiryaev. Some distributional properties of the Brownian motion with a drift and an extension of P. Levy’s theorem. — Theory of Probability and Its Applications, 44 (1999), № 2, p. 466−472..

4. A.S. Cherny, A.N. Shiryaev, M. Yor. Limit Behaviour of the «Horizontal-Vertical» Random Walk and Some Extensions of the Donsker-Prokhorov Invariance Principle. — Теория вероятностей и ее применения, 2002, т. 47, № 3, с. 498−516..

5. М. Donsker. An invariance principle for certain probability limit theorems. — Mem. Amer. Math. Soc. 6 (1951;52)..

6. J. Jacod, A.N. Shiryaev. Limit theorems for stochastic processes. Berlin: Springer-Verlag, 1987..

7. I. Karatzas, M. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1987.

8. P. Levy. Sur certain processus stochastiques homogfenes. — Сотр. Math. 7 (1939), p. 283−339..

9. D. Revuz, М. Yor. Continuous Martingales and Brownian Motion. Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1999, 560 p..

10. A.B. Скороход. Исследование по теории случайных процессов. К.: 1961, 216 с..

11. Т. Sottinen. Fractional Brownian motion, random walks and binary market models Finance and Stochastics, 5 (2001), p. 343−355..

12. H. Tanaka. Note on continuous additive functionals of the 1-dimensional Brownian path. — Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 1 (1963), p. 251−257..

13. D. Williams. Decomposing the Brownian path. — Bull. Amer. Math. Soc. 76 (1970) p. 871−873..

14. А. Мищенко. О Трех Законах Арксинуса. — Успехи Математических Наук, 2004, т. 58, вып. 6, с. 159−160..

15. А. Мищенко. О Распределении Вероятностей Некоторых Функционалов от Случайного Блуждания. — Теория Вероятностей и ее Применения, 2005, т. 50, выи. 4, с. 789−796..

16. А. Мищенко. Дискретный Процесс Бесселя и Его Свойства. Теория Вероятностей и ее Применения, 2005, т. 50, вып. 4, с. 797−806..