Теоретико-групповой подход к конформной механике с расширенной суперсимметрией

Поиск единой, всеобъемлющей и непротиворечивой теории всех фундаментальных взаимодействий, объединение их на основе единого общего принципа занимает одно из центральных мест в современной теоретической физике. Многочисленные результаты, полученные в физике высоких энергий, свидетельствуют о том, что все известные явления природы обусловены взаимодействием элементарных частиц. Всего известно четыре различных типа таких взаимодействий: электромагнитное, гравитационное, сильное и слабое. Поэтому данные взаимодействия называются фундаментальными. С момента открытия всех четырех фундаментальных взаимодействий физиками было предпринято множество попыток объединить их в рамках одной теории единого фундаментального взаимодействия, которое расщепляется при наблюдаемых нами низких энергиях на четыре известные типа. На этом пути был е* о* достигнут значительный прогресс. Были построены теория электро-слабого взаимодействия, квантовая хромодинамика, а также их обобщения — модели великого объединения [1],[2], в основе которых лежит перенормируемая теория поля [3]-[6].

Однако объединить гравитацию с остальными фундаментальными взаимодействиями на основе аналогичных принципов до сих пор так и не удалось. Это связано с неперенормируемостыо квантовой теории гравитации.

Новые возможности на пути объединения всех фундаментальных взаимодействий появились после открытия суперсимметрии [7]-[9] (см. также монографии [10]-[16]).

На основе общих соображений было показано, что симметрии специальной теории относительности, формулирующиеся в терминах группы Пуанкаре, естественным образом расширяются до суперсимметрии [17]. Это достигается расширением алгебры Ли группы Пуанкаре новыми генераторами — так называемыми суперзарядами (Qai и Qai), подчиняющимися антикоммутационным соотношениям и имеющих ненулевые коммутаторы с генераторами группы Пуанкаре. Здесь i = 1, 2,., Jf и, а = 1, 2, а = 1,2. Эти генераторы переводят бозонные поля в фермионные и наоборот. Поэтому суперсимметрия представляет собой симметрию, объединяющую бозоны и ферми-оны и, таким образом, может лежать в основе единой теории фундаментальных взаимодействий. В случае М— 1 суперсимметрия называется простой, а при Л/*> 1 — расширенной. Согласно теореме Хаага-Лопутпанского-Сониуса [18], Л/" -расширенная суперсимметрия является единственно возможным обощением группы Пуанкаре, совместным с принципами квантовой теории. Поэтому такая симметрия получила в своем названии приставку «супер». «с.

Было установлено, что суперсимметричные теории поля обладают более мягким ультрафиолетовым поведением [19],[20]. В частности, наиболее изученная суперполевая теория — М—4 суперсимметричная теория Янга-Миллса, помимо того, что явля.

I) ' 1, ется максимально суперсимметричной, еще обладает конформной инвариантностью и ультрафиолетово конечна [21]-[23]. Расходимости от бозонных полей в эффективном действии полностью сокращаются с расходящимися вкладами от фермионных полей. Следующим шагом в развитии суперсимметрии стала теория супергравитации, построенная в работах [24],[25] (см. также обзоры [26]-[28]). ,.

I I.

Для решения задачи реализации алгебры суперсимметрии в виде координатных преобразований Салам и Стретди [29], [30] ввели понятие суперпространства, которое параметризуется, помимо обычных пространственно-временных координат пространства Минковского, дополнительными антикоммутирующими координатами в и в, принадлежащими алгебре Грассмана [10],[12],[13]. Кроме того, было введено понятие суперполя как функции на таком суперпространстве [12], [13], [29], |30], [31]. Такая функция содержит в себе бозонные и фермионные компонентные поля, которые переходят друг в друга при преобразовании суперснмметрии. Таким образом, при помощи суперполя оказывается возможным описать сразу несколько элементарных частиц различных спинов. Существует два эквивалениных способа описания суперсимметричных теорий. Первая из них — компонентная, в терминах достаточно большого количества бозонных и фермионных компонентных полей. В данном случае суперсимметрия реализуется неявным образом и требует, чтобы лагранжиан взаимодействия имел специальную структуру. Вторая возможная формулировка суперсимметричных теорий — суперполевая, на основе одной функции (суперполя), объединяющей в себе все компонентные поля. Данная формулировка существенно i | «' <

I I упрощает задачу вычислений в квантовых суперсимметричных теориях ввиду ее j р? компактности, поскольку оперирует непосредственно с мультиплетами полей в явно ковариантной форме. Чтобы получить из суперполевой формулировки компонентную, достаточно проинтегрировать суперфункционал действия по антикоммутирующим переменным. Алгебра и анализ с антикоммутирующими переменными подробно.

• Прописаны в монографиях [12], [32], [33], [34].

Современные представления о возможных физических проявлениях суперсимметрии во взаимодействии элементарных частиц связаны с проблемой нарушения суперсимметрии [35], [36]. Однако все еще открыт вопрос о перенормировке моделей со спонтанно нарушенной суперсимметрией. Некоторый прогресс в этом направлении был достигнут в работах [37]-[40].

В настоящее время предполагается, что суперсимметричные теории являются низкоэнергетическими приближениями более фундаментальной теории — теории суперструн и М-теории [41]-[46], которая рассматривается как наиболее’вероятный кандидат на роль единой теории всех фундаментальных взаимодействий [41],[47] (см. также обзоры [48]-[53]). Современная теория суперструн содержит в себе большинство важнейших фундаментальных принципов и идей квантовойтеории поля: калибровочную инвариантность, квантовую гравитацию, многомерность пространства-времени, сокращение аномалий. Основное предположение теории суперструн заключается в том, что базовыми составляющими материи, фундаментальными объектами Природы являются не точечные частицы, а протяженные объекты — струны, имеющие размеры порядка длины Планка Ipi ~ 1,6 • Ю-33 см. Элементарные частицы же предствляются как особые вибрации такой струны. Было показано [41], что самосогласованная непротиворечивая теория суперструн (или М-теория) может существовать только в десяти- (или одиннадцати-)мерном пространстве-времени. Тогда естественно ожидать, что суперполевые теории являются некоторыми компактифи-кациями теории суперструп.

В современной теоретической и математической физике пристальное внимание уделяется исследованию суперсимметричных расширений точно решаемых и интегрируемых систем, имеющих широкое применение, в том числе и в теории суперструн. Наиболее важным примером такой системы является модель Калоджеро. Она представляет собой квантово-механическую систему тождественных частиц на вещественной прямой с парным взаимодействием и описывается гамильтонианом.

2> ^ ^ + -Е — Ч «г=1 К] К] 4 J'.

Первоначально модель была предложена как точно решаемая квантово-механическая задача. В частности, в работах [54], [55], [56] были точно найдены полный энергетический спектр и соответствующие собственные волновые функции (см. также [57])., ,, ^ I. 1 ' «' 1 ' «, [ | ! -.1 1/ ¦ I. , .

6 ^.

На классическом уровне модель Калоджеро является интегрируемой системой [58]. Это означает, что существуют координаты типа «действие-угол» 1к{х^р), (рк (х, р) (где к=1.п), определенные глобально на всем фазовом пространстве системы, временная зависимость которых определяется простой системой уравнений.

Ik (t) = const, ipk (t) = ip°k + Lukt. (2).

Причем, согласно теореме Лиувиля [59], величины 1к (х, р) функционально независимы и находятся в инволюции гг Г 9h дЬ дК дЬ «), , к, 1 = 1.п. (з).

Для нахождения явного вида сохраняющихся величин 1к (х, р) используется метод изоспектральной деформации, предложенный Лаксом в работе [60] (см. также [61]). Оказывается, что 1 — полный импульс системы. /2 — полная энергия, а остальные величины являются полиномами более высокой степени по импульсам, содержащие также двухчастичный потенциал взаимодействия (более подробно см. [58]).

Интегрируемость квантовой модели Калоджеро показана в работе [62], в которой были исследованы спектр задачи, собственные волновые функции, квантовые интегралы движения, а также показана связь рассматриваемой модели с полупростыми алгебрами Ли. В частности, для любой полупростой алгебры Ли существует ассоциированная с ней система типа Калоджеро.

В современной математической физике также хорошо известно множество обобщений модели Калоджеро. Например, можно рассмотреть периодическое обобщение данного потенциала. Для этого необходимо поместить систему в конечную периодическую коробку (с размерами, нормированными на 2-п). Тогда частицы будут взаимодействовать с бесконечным числом своих копий и потенциал двухчастичного взаимодеиствия примет вид оо.

V{x) = У 7-— =-^-5-. (4) w (ж + 2тгг)2 (2 sin |).

Системы такого типа были впервые изучены Сазерлендом в работах [63, 64, 65], а в последствии Олыпанецким и Переломовым в работах [58, 62].

Интерес к модели Калоджеро вызван изучением широкого класса—физических задач, в которых рассматриваемый потенциал возникает порой неожиданным образом. Например, задание определенных граничных условий при изучении процессов рассеяния тождественных частиц в одном измерении приводит к необходимости введения в рассмотрение дробной статистики с двухчастичным потенциалом. взаимодействия вида вблизи точки столкновения (см. работу [66]). Значения I — 0 и / = 1 определяют Ферми и Бозе статистики, соответственно. Остальные значения параметра I соответствуют так называемой дробной статистике [67].

При рассмотрении движения электронов в двумерной кристаллической решетке в ах сильном магнитном поле (квантовый эффект Холла [68],[69]) оказывается, что в одномерном представлении волновые функции такой системы могут быть переписаны как однопараметрические деформации основного состояния модели Калоджеро [69], где параметром деформации является значение магнитного поля. Квантовые состояния такой системы с различными геометриями конфигурационного пространства воспроизводят квантовые состояния различных вариаций модели Калоджеро. Взаимосвязь модели Калоджеро с квантовым эффектом Холла детально обсуждалась в работе [70].

Различные вариации модели Калоджеро оказываются также удобными для описания спиновых цепочек [71]. В частности, в работе Полихронакоса [72] была построена интегрирумая модель спиновых цепочек с потенциалом обменного взаимодействия типа Калоджеро, а также найден полный набор инвариантов такой.модели.

Как было впервые отмечено в работе [56], собственные функции и степень вырождения каждого энергетического уровня n-частичной модели Калоджеро (1) полностью идентичны, с точностью до постоянного сдвига, спектру п свободных осцилляторов. Дальнейшие исследования [73, 74] показали, что существует явное, но неунитарное преобразование, связывающее гамильтониан Калоджеро с гамильтонианом системы свободных осцилляторов. Эго делает возможным изучение различных аспектов модели Калоджеро, таких как интегрируемость, построение стационарных состояний, изучение алгебры симметрий, с принципиально новой точки зрения.

Когда же гармонический потенциал «выключен», то есть система описывается гамильтонианом то естественно ожидать, что такая система будет идентична системе невзаимодействующих частиц. На это указывают непрерывный спектр гамильтониана (5) и исследования процессов рассепия в такой системе [66], показавшие, что не только асимптотические импульсы частиц до и после рассеяния, но и параметры рассеяния совпадают с точностью до перестановки частиц. То есть не происходит временнбй задержки частиц в области рассеяния. На квантовом уровне это означает, что асимптотическая волновая функция системы до рассеяния отличается от асимптотической волновой функции после рассеяния только на фазовый множитель, причем сдвиг фазы рассеяния не зависит от импульса (поскольку время задержки есть производная от сдвига фазы по импулсу) [75]. Иными словами рассеяние в системе (5) выглядит также, как и рассеяние в системе п свободных частиц. Унитарное преобразование, переводящее конформный гамильтониан Калоджеро в гамильтониан системы невзаимодействующих частиц, было построено в работе [76]. Однако, авторами не была рассмотрена полная конформная группа симметрий. Заметим также, что преобразовние, постро енное в работе [76], не может быть получено в пределе и —> 0 из преобразования, найденного в работах [73, 74], что указывает на различие приведенных подходов.

В настоящее время пристальное внимание уделяется исследованию конформно инвариантных систем, и в частности модели Калоджеро, описываемой гамильтонианом (5). Это обусловлено изучением различных аспектов AdS/CFT дуальности [78]. Представляет значительный интерес установление взаимосвязи одномерной конформной модели Калоджеро с топологическими теориями поля в двумерном пространстве аити де Ситтера, поскольку содержательные примеры AdS2/С FT соответствия практически не известны.

Кроме того, было высказано предположение [83] (см. также [80, 81|), что поскольку геометрия анти де Ситтера описывает область пространства-времени вблизи гори.

I I зонта событий ряда экстремальных черных дыр, то изучение конформной механики может дать некоторую информацию о квантовых свойствах черных дыр. В связи с этим отметим гипотезу Гиббонса и Таунсенда [82, 83], согласно которой Af = 4 суперконформное расширение одномерной модели Калоджеро в пределе большого.

I 1 • числа частиц может дать микроскопическое описание экстремальной черной дыт frv ры Райсснера-Нордстрема вблизи горизонта событий, что соответствует геометрии пространства-времени AdS2 х S2. Построение N = 4 суперконформного расширения модели Калоджеро и других одномерных конформных квантовых механик представляет собой открытую проблему, которая детально обсуждалась в работах [84]-[91].

В работах [58, 62] была показана интегрируемость классических и квантовых моделей типа Калоджеро. Авторами была установлена связь рассматриваемых моделей с полупростыми алгебрами Ли. В частности, для любой полупростой алгебры.

Ли существует ассоциированная с ней система типа Калоджеро. Поэтому естествен О, но ожидать, что суперсимметричные расширения интегрируемых многочастичных квантово-механических моделей также будут связаны с алгебрами Ли. Таким образом, появляется возможность построения нового класса интегрируемых суперсимметричных систем. Данная диссертационная работа посвящена разработке систематического метода построения Jf = 4 суперконформных одномерных квантово-механических систем на основе теоретико-группового подхода. Диссертация состоит из Введения, трех Глав, Заключения и Списка литературы.

Заключение

.

В заключение перечислим основные результаты, полученные в данной диссертационной работе.

1. Предложен новый метод построения N — 4 суперконформных квантово-меха-нических систем, основанный на нелокальной реализации супералгебры sit (l, 1|2).

2. Построен новый класс одномерных N = 4 суперконформных квантово-механи-ческих систем многих частиц. Установлена геометрическая структура, лежащая в основе N = 4 суперконформной механики, и ее связь с простыми алгебрами Ли. Предложен метод классификации суперконформных систем на основе их геометрической и алгебраической структуры.

3. Найден новый класс решений уравнения Виттена-Дайкграафа-Верлинде-Вер-линде, ассоциированных с приводимыми системами корневых векторов и включающих радиальные слагаемые.

4. Построено N = 4 суперконформное расширение трехчастичной модели Калод-жеро. U.

5. Построена универсальная суперполевая формулировка для М=4 суперконформной механики многих частиц в одномерном пространстве.

Результаты диссертации опубликованы в работах [121]-[125].

В заключение хочется выразить благодарность моему научному руководителю — доктору физико-математических наук, заведующему Лабораторией математической физики Томского политехнического университета А. В. Галажинскому за руководство работой, многочисленные обсуждения и всестороннюю помощь.

Я также признателен профессору О. Лехтенфельду и профессору С. О. Кривоносу за интересное сотрудничество и стимулирующие обсуждения различных аспектов данной работы. т.