Спектры конечных классических групп

Общая характеристика работы.

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Теорема о классификации конечных простых групп позволяет свести многие проблемы теории конечных групп к изучению простых групп. Этот переход основан на теореме Жордана — Гельдера, согласно которой любая конечная группа имеет субнормальный ряд с простыми факторами. В связи с этим изучение простых групп является одним из важнейших направлений современной теории конечных групп.

Одной из естественных характеристик конечной группы является ее спектр. Спектром oj (G) конечной группы G называется множество порядков ее элементов. Необходимость в информации о спектре группы возникает при решении многих задач теории групп. В частности, изучение спектров групп необходимо при решении проблемы распознаваемости группы по спектру. Конечная группа G называется распознаваемой по спектру, если для произвольной конечной группы Н из равенства lj (G) = ш (Н) следует, что группа Н изоморфна G. В [12] В. Дж. Ши заметил, что группа с нетривиальным разрешимым радикалом нераспознаваема по спектру. Поэтому вопрос о распознаваемости представляет наибольший интерес для простых и почти простых групп. Обзор результатов по проблеме распознаваемости можно найти в работах В. Д. Мазурова [1] и М. А. Гречкосеевой, A.B. Васильева, В. Дж. Ши [9].

Согласно классификационной теореме любая неабелева простая группа является либо знакопеременной группой, либо конечной простой группой лиева типа, либо одной из 26 спорадческих групп. Спектры спорадических групп известны (см., например, [8]). Поскольку любой элемент знакопеременной группы раскладывается в произведение независимых циклов, задача описания спектров этих групп не представляет особого труда. Группы лиева типа делятся на классические и исключительные группы лиева типа. Для исключительных групп есть описание классов сопряженных элементов, из которого может быть получено описание спектров этих групп. Нерешенной остается задача описания спектров групп из наиболее обширного класса простых групп — класса конечных простых классических групп лиева типа. Диссертация посвящена решению этой задачи.

Поскольку спектр группы G вместе с каждым своим элементом содержит все его делители, он однозначно задается множеством /i (G) своих максимальных по делимости элементов, а также любым множеством v (G), для которого выполнены включения ??(G) С v (G) С u>(G).

Пусть G — конечная группа лиева типа над полем характеристики р. Спектр группы G может быть представлен как объединение трех подмножеств: подмножества u) p (G) порядков всех унппотентпых элементов, т. е. элементов, чей порядок является степенью числа рмножества uy (G) порядков всех полупростых элементов, т. е. элементов, чей порядок взаимно прост с ри множества wm{G) порядков элементов смешанного типа, т. е. элементов, чей порядок делится на р, но не является степенью числа р. Таким образом, задача описания спектра конечной группы лиева типа распадается на три подзадачи. Многие авторы изучали максимальные порядки унипотентных элементов. Итоговой в этом направлении является работа Д. Тестерман [13], в которой содержится арифметический критерий принадлежности степени числа р множеству шр© для всех конечных простых групп лиева типа.

Описание полупростой части спектра, изложенное в диссертации, основано на том, что любой полупростой элемент группы лиева типа содержится в подгруппе специального вида, называемой максимальным тором. Понятие максимального тора пришло в теорию конечных групп лиева типа из теории алгебраических групп. Пусть G — простая алгебраическая группа. Отображением Фробениуса группы G называется эндоморфизм, а группы G такой, что группа неподвижных точек Ga конечна и ker, а = 1. Пусть, а — некоторое отображение Фробеииуса группы G. Группа G, удовлетворяющая условию Ор' (Ga) С G С Ga, называется конечной группой лиева типа (здесь Op'(Gc) обозначает минимальную нормальную подгруппу группы Ga такую, что фактор-группа по ней является //-группой). Максимальный тор в алгебраической группе — это максимальная связная диагонализируемая подгруппа. Максимальным тором конечной группы лиева типа G называется подгруппа Т = TafG, где Т — некоторый ст-инвариантный максимальный тор группы G. Поскольку максимальный тор группы G является конечной абелевой группой, он может быть представлен как прямое произведение циклических групп. Таким образом, для описания полупростой части спектра достаточно для каждого максимального тора данной группы G указать некоторое его разложение в произведение циклических групп.

Доказательство теорем о смешанной части спектра в значительной степени опирается на методы, разработанные Р. В. Картером в [4] и [5]. Поскольку произвольный элемент g группы лиева типа G может быть единственным образом представлен в виде произведения полупростого элемента др< и унипотентно-го элемента др таких, что др € Сс{дР'), для описания смешанной части спектра группы С достаточно для каждого полупростого элемента, а найти максимальный элемент из шр (Сс{з)). Пусть О — простая алгебраическая группа такая, что Ор'(Са) С С С Рассмотрим централизатор элемента я в группе С.

Компонента связности единицы централизатора является редуктивной подгруппой группы С максимального ранга и содержит в, а также все унипотентные элементы из С<�у (5) — Определение редуктивной подгруппы переносится на конечные группы так же, как определение максимального тора. Таким образом, задача описания смешанной части спектра конечной группы (7 лиева типа сводится к следующей: для произвольной редуктивной подгруппы Н группы С? максимального ранга найти период центра Z (H) и максимальный элемент из шр (Н).

Основные результаты диссертации.

1. Получено описание циклического строения максимальных торов для всех конечных простых классических групп лиева типа, т. е. для произвольного тора получено разложение в произведение циклических групп, порядки которых указаны (теоремы 1.1−1.7).

2. Получено описание смешанной части спектров конечных простых линейных, унитарных, симплектических групп, а также конечных простых ортогональных групп нечетной размерности (теоремы 2.3, 2.7, 2.10, 2.13). Сформулированы явные описания спектров этих групп (теоремы 2.6, 2.9, 2.11, 2.15).

Новизна и научная значимость работы. Все основные результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы для дальнейших исследований как вопроса распознаваемости групп по спектру, так и других проблем теории групп. Они могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.

Методы исследования. В работе используются классические методы теории групп: теория конечных простых групп, теория линейных алгебраических групп, а также элементы теории чисел.

Апробация работы. Результаты диссертации в период с 2005 по 2008 год были представлены на конференциях в Новосибирске, Екатеринбурге, Москве, Иркутске, Санкт-Петербурге (см. [18−24]). Результаты работы докладывались на семинарах «Теория групп» и «Алгебра и логика» Института математики СО РАН и НГУ.

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в [15−24].

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из 2 глав, введения и списка литературы. Она изложена на 64 страницах, библиография содержит 24 наименования.

Содержание диссертации.

Общая структура диссертации. Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Основные результаты глав сформулированы в виде теорем. Их нумерация двойная: первая цифра — номер главы, вторая — номер теоремы в главе. Вспомогательные утверждения (леммы и предложения) имеют тройную нумерацию: первая цифра — помер главы, вторая — номер параграфа в текущей главе, третья — номер утверждения в текущем параграфе.

1. Мазуров В. Д. Группы с заданным спектром, Изв. Урал. гос. ун-та, Математика и механика, 36, вып.7 (2005), 119−138.

2. Семинар по алгебраическим группам, М.: Мир, 1973.

3. Aschbacher М. Finite group theory, Cambridge: Cambridge University Press, 1986.

4. Carter R. W. Centralizers of semisimple elements in the finite groups of Lie type, Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser., 37, No. 3 (1978), 491−507.

5. Carter R. W. Centralizers of semisimple elements in the finite classical group, Proc. Lond. Math. Soc., III. Ser., 42, No. 1 (1981), 1−41.

6. Carter R. W. Simple groups of Lie type, London: John Wiley & Sons, 1972.

7. Carter R. W. Finite groups of Lie type: Conjugacy classes and complex characters, London: John Wiley & Sons, 1985.

8. Conway J.H., Curtis R. Т., Norton S.P., Parker R.A., Wilson R.A. Atlas of finite groups, Oxford, Clarendon Press, 1985.

9. Grechkoseeva M.A., Shi W., Vasilev A. V. Recognition by spectrum of finite simple groups of Lie type, Front. Math. China, 3, No. 2 (2008), 275−285.

10. Kliedman P., Liebeck M. The subgroup structure of the finite classical groups, Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

11. Seitz G. M. On the subgroup structure of classical groups, Com. in Algebra, 10, No. 8 (1982), 875−885.

12. Shi W. The characterization of the sporadic simple groups by their element orders, Algebra Colloq., 1, No. 2 (1994), 159−166.

13. Testerman D. M. Л i-Type overgroups of order p in semisimple algebraic groups and the associated finite groups, J. Algebra, 177, No. 1 (1995), 34−76.

14. Veldkamp F. D. Regular elements in anisotropic tori, Contrib. to Algebra, Collect. Pap. dedic. E. Kolchin (1977), 389−424.Работы автора по теме диссертации.

15. Бутпурлакин А. А., Гречкосеева М. А. Циклическое строение максимальных торов в конечных классических группах, Алгебра и логика, 46, № 2 (2007), 129−156.

16. Бутпурлакин А. А. Спектры конечных линейных и унитарных групп, Алгебра и логика, 47, № 2 (2008), 138−160.

17. Бутпурлакин A.A. Спектры конечных симплектических и ортогональных групп, ИМ СО РАН, препринт № 204 (2008).

18. Бутпурлакин A.A. Циклическое строение максимальных торов в конечных проективных специальных линейных группах, Труды XXXVI Региональной молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 2005, 7−11.

19. Бутпурлакин А. А. Максимальные торы в конечных линейных и унитарных группах, Материалы XLIII международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика, Новосиб. гос. ун-т, Новосибирск, 2005, с. 4.

20. Buturlakin A. A., Grechkoseeva М. A. The spectra of maximal tori of the finite classical groups, Алгебра и логика: Материалы российско-китайского семинара, Иркутск, Издательство Иркут. гос. пед. ун-та, 2007, 115−116.

21. Buturlakin A.A. The spectra of the finite simple linear groups, Алгебра и логика: Материалы российско-китайского семинара, Иркутск, Издательство Иркут. гос. пед. ун-та, 2007, 114−115.

22. Buturlakin A. A. The spectra of the finite simple classical groups, Тезисы докладов международной алгебраической конференции, Санкт-Петербург, 2007, 99−100.

23. Бутпурлакин А. А. О спектрах конечных простых классических групп, Материалы XLVI международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика, НГУ, Новосибирск, 2008, 3−4.