Перестановки интегралов в банаховых пространствах

Актуальность работы. В задаче 106 «Шотландской книги» [24] С. Банах оо сформулировал следующую проблему. Пусть ^ хп — такой ряд в банаховом п—1 пространстве, что при двух определенных упорядочиваниях слагаемых его сумма равна у0 и у1 соответственно. Доказать, что для любого вещественного I существует такое упорядочивание слагаемых данного ряда, что сумма равна iy0 + ti-i)yr оо.

М. И. Кадец [5] ввел определение области сумм ряда ^ хп векторов ба.

71 = 1 нахова пространства X как множества всех таких у Е X, что при некоторой оо перестановке тт натуральных чисел ряд ^£&bdquo—(п) сходится к у. В случае услов.

71=1 но сходящихся числовых рядов согласно классической теореме Римана область сумм совпадает с множеством всех. вещественных чисел."Для рядов комплексных-чисел описание области cj^vim было дано П. Леви в 1905. Е. Штейниц [22] в оо.

1913 доказал следующую теорему: область сумм ряда хп в тмерном про.

П=1 странстве X есть подпространство вида s + Г0, где s — сумма указанного ряда оо оо.

У^ж, Г0 — аннулятор множества Г = {/ G X*- f (xn) | сходится }.

1. п=1.

В бесконечномерном банаховом пространстве аналог теоремы Штейница не верен, и область сумм ряда-может быть нелинейной- (Марцинкевич [23], Е. Никишин [10]), незамкнутой (М. И. Островский [17]), состоять из нескольких точек (М.И. Кадец и К. Возняковский [20], Г1. А. Корнилов [7]).

Из курса анализа хорошо известна аналогия между свойствами числовых рядов и несобственных интегралов. Естественно возникает, вопрос: что можно сказать о множестве тех чисел или векторов, к которым сходится «перестановоо ка» условно сходящегося интеграла J* f (x)d, x? Останется ли справедливым о аналог теоремы Римана, аналог теоремы Штейница? Каковы свойства «области сумм» несобственного интеграла в бесконечномерном пространстве и что можно сказать относительно интегральных аналогов рядов, для которых не выполняется утверждение теоремы Штейница? Эти вопросы изучаются в данной работе.

Цель работы. Целью работы является получение новых результатов о свойствах перестановок и областей сумм несобственных интегралов-, в банаховых пространствах, исследование интегральных аналогов рядов с нелинейной областью сумм.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются-новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.

1. Рассмотрено новое понятие — перестановка измеримого пространства. Установлена связь между автоморфизмами метрической булевой алгебры и перестановками на измеримом пространстве Лебега-Рохлина. Установлена связь между невозрастающими перестановками функций Харди-Литтльвуда и перестановками на измеримом пространстве ([0, -f-oo), [ij, где |л — мера Лебега.

2. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Марцинкеви-ча-Никишина-Корнилова совпадает с пространством Lp [0,1].

3. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Корнилова (область сумм ряда состоит из двух точек) совпадает с множеством постоянных функций пространства £р[0,1].

4. Рассмотрен подкласс перестановок тт пространства ([0, +оо), (i,), где N х — мера Лебега, со свойствомк[а, Ь) = (^J [с t, dn) для любых неотрицательных.

П=1 чисел а, Ъ. Доказано, что область сумм несобственного интеграла в любом конечномерном нормированном пространстве при указанных перестановках является аффинным множеством.

Практическая значимость работы. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть полезны специалистам, работающим в областях функционального анализа, связанных с рядами, теорией меры, интегралами Лебега-Бохнера.

Апробация работы. Основные результаты и положения работы были доложены:

— на XLIV, XLV и XLVI международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс», г. Новосибирск, 2006 г., 2007 г. и 2008 г.

— на научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов ММФ, посвященной трехсотлетию со дня рождения Леонарда Эйлера, г. Томск, 2007 г.

— на XV международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов», г. Москва, 2008 г.

— на международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии», г. Новосибирск, 2009 г.

— на семинарах по функциональному анализу кафедры математического анализа Томского государственного университета, 2006 г., 2007 г., 2008 г., 2009 г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 2 статьи и 4 тезиса докладов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы, содержащей 24 наименования. Первая глава состоит из двух разделов, вторая — из четырех разделов, третья — из трех разделов. Объем диссертации — 74 страницы.

Выводы и результаты.

1. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Марцинкевича-Никишина-Корнилова совпадает с пространством Lp [0,1), р > 1.

2. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Корнилова, область сумм которого состоит из двух точек, совпадает с множеством постоянных функций пространства Lj0, l), р > 1.

3. Рассмотрено подмножество множества перестановок Р, используемое при доказательстве теорем 3.1.2 и 3,2.1. Доказано, что в конечномерном нормированном пространстве область сумм несобственного интеграла при перестановках множества Р является аффинных пространством.

4. Доказан интегральных аналог теоремы Римана об области сумм условно сходящегося числового ряда.

В заключение можно отметить следующие выводы и результаты.

1. Введено определение перестановки на измеримом пространстве.

2. Доказаны свойства перестановок: о композиции двух перестановок, об обратном отображении от перестановки. Доказано, что перестановка не изменяет значения интеграла Лебега-Бохнера.

3. Установлена связь между автоморфизмами метрической булевой алгебры и перестановками на измеримом пространстве Лебега-Рохлина.

4. Установлена связь между невозрастающими перестановками функций.

Харди-Литтльвуда и перестановками на измеримом пространстве где |i — мера Лебега.

5. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Марцинкеви-ча-Никишина-Корнилова совпадает с пространством Lp [0,1).

6. Доказано, что область сумм интегрального аналога ряда Корнилова, область сумм которого состоит из двух точек, совпадает с множеством постоянных функций пространства Lp [0,1).

7. Рассмотрено подмножество Р множества перестановокк со свойстN вом: тг[а, Ъ) = [с-, dn) для любых неотрицательных чисел а, Ъ. Доказано, что.

П = 1 в конечномерном нормированном пространстве область сумм несобственного интеграла при перестановках множества Р является аффинных пространством.

8. Доказан интегральных аналог теоремы Римана об области сумм условно сходящегося числового ряда.