Исследование уравнения Шредингера с нелокальным потенциалом

Актуальность темы

Начиная с 60−70-х годов прошлого столетия, резко возрастает количество математических работ, посвященных уравнению Шредингера, что, отчасти, связано с развитием квантовой теории твердого тела (как известно, оператор Шредингера может рассматриваться как оператор энергии (гамильтониан) электрона в атоме и кристалле см., например, монографию [1] и статьи [2], [3]).

Дадим краткий обзор математических работ, наиболее близких к содержанию диссертации. Почти во всех упоминаемых ниже статьях потенциалы являются локальными (в физике под локальными потенциалами понимают" потенциалы, представляющие собой операторы умножения на функцию) — если потенциал нелокальный, это особо отмечается.

В 1977 г. Е. Дэвис (E.Davies) в работе [4] подробно описывает разложение трехмерного «пленочного» оператора Шредингера (потенциал V (x) является периодическим по переменным х^ и убывающим при х-к —" сю) в прямом интеграле пространств и доказывает некоторые свойства волновых операторов. Позднее в [5] Е. Дэвисом и Б. Саймоном (Е. Davies, В. Simon) изучено поведение решений одномерного нестационарного уравнения Шредингера для V = W (x), если х > 0, и V = 0, если х < 0, где W (x) -периодическая функция. Продолжая исследование «пленочного» уравнения Шредингера, Й. Херчински (Y. Herczynski) в 1981 г. в публикации [6] доказывает, что существенный спектр пленочного оператора Шредингера с потенциалом, являющимся непрерывной функцией, совпадает с [А^, со), где Щ — плоский квазиимпульс.

В случае пространства L2(Rn), ro = 1,2 в [7] доказано существование собственного значения оператора Шредингера для малых потенциалов тотическое поведение. (Если п > 2, то для достаточно малых потенодномерном случае изучено его асимпциалов собственных значений не существует). Случай трехмерного оператора Шредингера с локальным потенциалом, отвечающим кристаллической пленке и удовлетворяющим условию / У{х)с1х < 0, где — ячейка (см. ниже), изучен Ю. П. Чубуриным в работе [8], им доказано существование собственного значения и получена его асимптотика. Исследование асимптотики решений уравнения Шредингера для полуограниченного кристалла проведено Ю. П. Чубуриным [9].

Позднее, в 1994 г., этот лее автор в работе [10] сравнивает спектр и решения уравнения Шредингера для полубесконечного кристалла и пленки. Им, в частности, доказано, что спектр оператора для полубесконечного кристалла можно аппроксимировать спектром «пленочного» оператора с достаточно большим числом слоев. В 1997 г., в статье [11] Ю. П. Чубурин исследует малые возмущения оператора Шредингера с периодическим потенциалом. В этом же году в [12] рассмотрена аппроксимация «пленочного» оператора Шредингера «кристаллическим». В статье [13] исследуется оператор Шредингера с малым потенциалом типа возмущенной ступеньки.

В работе Р. Гадылыиина [14] рассматривается одномерный оператор Шредингера с потенциалом, являющимся малым по норме оператором весьма общего вида. Асимптотическая формула (1.13), полученная ниже для одномерного нелокального потенциала, в случае фо с компактным носителем и вещественного Е, вытекает из результатов [15]. Однако, автор данной работы не исследует резонансы и асимптотику решений уравнения Шредингера. В 2005 г. Н. И. Плетникова исследует уровни оператора Шредингера с возмущенным нелокальным ступенчатым потенциалом [16].

Операторы Шредингера для потенциалов нулевого радиуса действия, отвечающих кристаллической пленке или цепочке атомов, изучались в работах [17], [18], [19].

Задача о рассеянии для локального потенциала в случае кристаллической пленки как в стационарном, так и в нестационарном случае была рассмотрена.

Ю.П.Чубуриным в работе [20]. A.A. Арсеньев в статье [21] исследует коэффициент прохождения частицы вблизи резонанса. В частности показано, что коэффициент прохождения испытывает скачок вблизи действительной части резонанса.

Хотя в физической литературе по соображениям простоты вычислений и исследования обычно используются локальные потенциалы, тем не менее в методе Хартри — Фока [22] или в методике исевдопотенциала [23] строятся потенциалы, не являющиеся локальными. Кроме того, достаточно часто в физике рассматриваются потенциалы, изначально являющиеся конечномерными операторами (см., например, [24]). Вместе с тем, математические исследования операторов Шредингера с нелокальными потенциалами проводились лишь эпизодически. Помимо упомянутой статьи Р. Гадыльшина, можно отметить в связи с этим монографию [25].

Из сказанного вытекает актуальность задачи математического исследования уравнений Шредингера и Липпмана — Швингера с нелокальным потенциалом.

Объект исследования. В диссертационной работе рассматривается одномерное интегро-дифференциальное уравнение Шредингера.

— d2iJ-/dx2 + Vi)^ETp (0.1) с нелокальным потенциалом вида п.

V = eW{x) + Y, 4-Ai)i- (0.2) г=1.

Здесь W (x) — вещественная функция («локальный потенциал»), удовлетворяющая оценке вида | W (x) |< Се~ах где С — некоторая константа, а > 0 (в дальнейшем функции, удовлетворяющие таким неравенствам, будем называть экспоненциально убывающими), ф{(х) — линейно независимые и экспоненциально убывающие функции: | фг{х) |< Cje-" 1^, где = const, a* > 0, a e, A* € R — некоторые параметры (г = 1,2,n). Конечномерный оператор > Фг) Фг представляет собой интегральный оператор с вырожденным ядром, такие потенциалы часто используются в квантовой теории и называются сепарабельными (см., например, [26]). Рассматривается также аналогичное трехмерное уравнение в ячейке с «пленочным» потенциалом W (x) (см. ниже точные определения)..

Уравнение Шредингера вида (0.1) называется стационарным. Как известно, (см. [1], [22]), его решения описывают состояния электрона с заданной энергией Е: находящегося в потенциальном поле У. Физически интересными являются решения уравнения (0.1) не только класса L2®, описывающие так называемые локализованные состояния, соответствующие собственным значениям Е? R, но и решения из L°°{R), отвечающие рассеивающимся состояниям, а также экспоненциально возрастающие решения, описывающие квазистационарпые (распадающиеся) состояния и соответствующие комплексным значениям Е (резонансам), определяемым ниже. Как известно (см., например, [21], [24]), резонансы играют большую роль в рассеянии частиц, в частности они могут привести к увеличению коэффициента прохождения вблизи вещественной части Е..

Рассеяние микрочастиц на атоме, кристаллической поверхности и т. д. описывается уравнением Липпмана — Швингера, в одномерном случае имеющим вид [22] ф (х) = eikx — [ G0(x, у, k2) Vip (y)dy. (0.3).

J R.

Здесь к = л/Д функция Go (x, у, к2) представляет собой ядро резольвенты (функцию Грина) оператора Hq = —d2/dx2, продолженное по параметру к в точки С {0}, что отвечает продолжению по спектральному параметру Е на двулистную риманову поверхность. Решения уравнения Липпмана — Швингера (0.3) являются в то же время ограниченными решениями уравнения Шредингера (0.1) (см. главу 3), но не наоборот (см. ниже более точные утверждения)..

Целью работы является исследование спектральных свойств и рассеяния для оператора Шредингера с нелокальным потенциалом вида V = б И.

Отрешаемые в диссертации задачи. В работе для уравнения (0.1) исследованы вопросы существования и поведения уровней, то есть собственных значений и резонансов, вблизи границы непрерывного спектра. Изучена асимптотика при —> оо решений уравнения (0.1). На основе исследования решений уравнения Липпмана-Швингера (0.3) изучаются коэффициенты отражения и прохождения. Ряд результатов переносится на трехмерный случай для нелокального потенциала, отвечающего кристаллической пленке..

Методы исследования. При исследовании используются методы функционального анализа, в частности, спектральной теории операторов, а также теории функций нескольких комплексных переменных..

На защиту выносится:.

1)Теоремы о существовании вблизи границы существенного спектра и поведении в зависимости от малых констант связи собственных значений и резонансов оператора Шредингера с потенциалом, представляющим собой сумму убывающей на бесконечности функции и оператора конечного ранга..

2)Теоремы существования и единственности решений уравнения Липп-мана-Швингера для потенциалов указанного вида..

3)Теоремы об асимптотическом поведении решений уравнения Липпмана-Швингера на бесконечности, а также в зависимости от малых констант связи..

Научная новизна. В работе впервые систематически исследуется оператор Шредингера с нелокальным потенциалом, представляющим собой сумму оператора умножения на функцию и конечномерного оператора. Описаны общие спектральные свойства данного оператора. Получены условия существов: собственных значений и резонансов, описано их асимптотическое поведение для малых потенциалов. Доказаны существование и полнота волновых операторов. Устанавливается связь уравнения Шредингера и Липпмана-Швингера для различных функций Грина. Доказывается существование и единственность решения уравнения Липпмана-Швингера. Получена асимптотш решения уравнения Липпмана-Швингера на бесконечности, найдены коэффици ты прохождения и отражения частицы..

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в теории интегро-дифференциальных уравнений, а также в квантовой теории твердого тела..

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на: ХЬ Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», г. Новосибирск, 2002 г., 31-й Итоговой студенческой научной конференции, г. Ижевск, 2003 г., Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы», г. Воронеж, 2003 г., Международной конференции «Колмогоров и современная математика», г. Москва, 2003 г., Шестой Российской университетскоакадемической научно — практической конференции, г. Ижевск, 2004 г., семинаре, но дифференциальным уравнениям и теории оптимального управлени под руководством профессора Е. Л. Тонкова, г. Ижевск, 2007 г., семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям по руководством профессора А. П. Солдатова, г. Белгород, 2009..

Для того, чтобы описать результаты работы, введем некоторые понятия и обозначения..

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Через п.

0.4) г=1 будем обозначать самосопряженный оператор конечного ранга (сепара-бельный потенциал)..

Под функцией Грина оператора будем понимать ядро его резольвенты, вообще говоря, продолженное по параметру Е на соответствующую рима-нову поверхность..

Спектр оператора, А будем обозначать через (т{Л). Существенным спектром оператора, А (cress (A)) называют его спектр за вычетом собственных значений конечной кратности..

Через (ф, ф) будет обозначаться не только скалярное произведение функций ф, ф Е L2®, но и, в случае, когда фф Е L1®, вообще интеграл fB ф (х)ф (х)йх..

Введем, далее, обозначения Щ = —d2/dx2, Hs = Hq + Vs и Н = Н0 + eW (x) + V8..

Обозначим через Rq (E) = (Н0~Е)~ RS (E) = (Нд-Е)'1, R (E) = (#-E)~l резольвенты операторов Hq, HS} и H соответственно. Как известно (см. [27]), ядро Rq (E) имеет вид G0(x, у, k2) = -(2ik)-1eik^x-y^ где к = л/Ё (разрез выбираем вдоль полуоси [0, оо))..

Несколько параграфов данной работы посвящены трехмерному оператору Шредингера для кристаллической пленки. Такого рода оператор в случае локального потенциала имеет вид [8]:.

Я = -Д + У (я), (0.5) где Д — оператор Лапласа, х = (х, х2, х3) Е R3, потенциал V (x) предполагается вещественным, периодическим по переменным Х, Х2, с периодом единица и убывающим при |хз| сю. Операторы подобного рода возникают в квантовой теории твердого тела [28]. Как известно (см. [29], [30]), изучение оператора Н с периодическим по переменным Х±, Х2 потенциалом сводится к изучению семейства операторов Н (Щ) = —А + V{x) (здесь и далее употребляются обозначения вида Щ — (^1,^2)), определенных на достаточно гладких) блоховских по переменным Х, Х2 (см. ниже, раздел 1.1) функциях из Ь2(Гг), где ^ = [О, I]2 х Я — ячейка, Щ = [—7г, тг)2 -квазиимпульс. Более точно, семейство операторов {//(йу)}-^^* образует разложение оператора Н в прямом интеграле пространств (см. [4], [29], а также ниже, стр. 19−21) Ь2(р)(1Ц ~ Ь2(П х п*)..

В дальнейшем будем использовать для случая трехмерной кристаллической пленки следующие обозначения: #о (^||) = — А, — + Уа для операторов Шредингера и Яо (к\, Е) = (Н0(Ц) — Е)~г, Яа (к\, Е) — (Н3(к\) — Е)" 1 для их резольвент..

Как известно, ядро резольвенты оператора Но (к\) имеет вид (см. [31]) у^ ехр (г ((/сц + 2тгпц, у/Е — (Ц + тгпц)2), (жц — т/у, [ - Уз 1))).

2г^/Е — (А-ц + 2ттщ)2 где х = (хц, х3), у = (у\, уз) е О, 1гпу/£ - (/су + 2тг7гц)2 > 0. Согласно [20] оно пред ставимо в виде ехр (г ((% ЛЁА-2), (жц — уь х3 — у3 |))) вй (х, у, кьЕ) =—-.

21, Е — к?..

01(х-у, кьЕ), (0.6) где С (х, /Ьц, Е) представляет собой аналитическую Ь2(£1) — значную функцию параметра Е в комплексной окрестности точки /су. Заметим, что отсюда и из утверждения об относительно компактных возмущениях [29] легко следует, что сгеаа (Н (к\)) = сгеаа (На (Щ)) = ст (Я0(&ц)) = [Щ, оо) (см. теорему 1.3 для одномерного случая)..

Будем в дальнейшем пользоваться обозначениями вида Со (.т, у, к) вместо С0(х, у, Щ, Е), где к = (&ц,/сз), к3 = Функция Грина <20 оператора Ло (^ц) имеет ветвление второго порядка по Е в комплексной окрестности точки Щ] по параметру к% функция мероморфна в комплексной окрестности нуля. В то время, когда пробегает окрестность нуля, Е пробегает двулистную риманову поверхность (на втором «нефизическом» листе располагаются резонансы — см. ниже определение)..

Из (0.6) получаем:.

Со{х<�у'к) =—Щ—-ш3-+ «у>к) = еЩ, хГУ\) Щ~+ ^ где обладает тем свойством, что у/Ик)у/]?(у) (а также С^1х, у, к)]?(у) и С^1х, у, к) у/Ш (у)) представляет собой Ь2(£1 х (]) -значную функцию параметра в окрестности нуля (существование производной нетрудно доказать, применяя теорему Лебега о предельном переходе к конечно-разностному отношению, а затем используя векторнозначный вариант теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящемся ряде, составленном из аналитических функций — см. подробное доказательство для аналогичного случая в статье [32], а также ниже, в разделе 2.1). Сказанное, очевидно, справедливо также для функции 0{х, у, к)..

Определение. Будем говорить, что к? С (в трехмерном случае кз? С) или соответствующее Е = к2, (в трехмерном случае Е = к2 = = Щ + к2) является резонансом оператора Н) если существует ненулевое экспоненциально возрастающее решение интегрального уравнения ф (х) = - [ С0{х:у:к2)Уф (у)с1у (0.8) в трехмерном случае уравнение имеет вид ф (х) = — /п С? о (ж, у, к) Уф (у)с1у). Заметим, что резонансы отвечают к (или кз) с 1тк < 0 (1т&з < 0) или второму листу римановой поверхности для функции л/Е. Заметим также, что данное определение эквивалентно для локальных потенциалов обычному определению резонанса [24] как полюса резольвенты К{Е) = (Н—Е)-1- это следует из леммы 1 [33] и аналитической теоремы Фредголь-ма (см. также ниже раздел 1.1). Экспоненциально возрастающему решению уравнения Шредингера с отсутствующей «налетающей волной», т. е. решению однородного уравнения Липпмана — Швингера с Е на втором листе отвечает в математических работах резонансное состояние (см. об этом [12], [34]), в физической литературе — «квазистационарное» (метаста-бильное) состояние (см. [35], [36])..

Уровнем оператора Н в дальнейшем будем называть его собственное значение или резонанс..

Перейдем теперь к описанию содержания работы..

В первой главе диссертации исследуется наиболее простой случай одномерного уравнения Шредингера с оператором У$ в качестве потенциала..

Первый раздел главы имеет вспомогательный характер. В нем приведены формулировки нескольких известных теорем, получены, для полноты изложения, формулы для резольвенты оператора Н3 = —<12/<1×2+ + Фг) Фг и исследована асимптотика интеграла $-^е?кх~уф (у)<1у..

В этом разделе также рассмотрено разложение оператора Н для кристаллической пленки в прямой интеграл пространств. Результаты раздела используются в последующем изложении..

Второй раздел первой главы посвящен изучению одномерного оператора Шредингера с сепарабельным потенциалом вида У = А (-, фо) фоВ частности, доказаны существование и единственность уровня в некоторой окрестности точки к = 0 где, А достаточно мало, исследована его асимптотика. Получен простой критерий того, когда уровень является собственным значением (резонансом)..

В третьем разделе исследуются уровни оператора Шредингера с потенциалом вида V = Vs — X^ILi 5 где параметры Aj аналитически зависят от малого е. В случае п = 2 доказано существование ровно двух уровней в некоторой окрестности нуля, для которых получена асимптотическая формула. В общем случае доказана следующая теорема..

Т с о р е м, а 1.4. Существует ровно п уровней оператора Шредингера Н, которые представляют собой аналитические функции от аргумента б в окрестности нуля, за исключением, возможно, конечного числа точек, в которых уровни сливаются. Вблизи нуля эти функции моэ/сно разложить в сходящиеся ряды Пюизо..

Вторая глава работы посвящена изучению уровней оператора Шредингера с потенциалом, являющимся суммой локального и сепарабельного..

В первых двух разделах рассматривается одномерное уравнение Шредингера. В первом разделе исследованы условия существования уровней оператора Н с потенциалом V = eW (x) + (-, фо) фо. Доказано, что при фиксированном, А ф 0 и всех достаточно малых б данный оператор Шредингера уровней не имеет..

Пусть f (z) — аналитическая функция, определенная в комплексной окрестности нуля, переводящая некоторую вещественную окрестность нуля в себя. Предполагаем, что параметры, А и б связаны друг с другом соотношением, А = /(еа°), где а0 > 0. Пусть также / ф. 0, /(0) = 0. Тогда, разлагая / в ряд Тейлора, получаем, А = Кеа + о (еа), где К = const ф 0, а > 0. Предполагаем, что выполнены следующие условия: W (x)dx Ф 0, [ W{x)dx + K | [ J R J R J R фо (х)с1,х ф 0..

В этом случае доказано, что в некоторой окрестности точки к = 0 для всех достаточно малых е существует ровно два различных уровня, для которых получена асимптотическая формула при е —^ 0. L.

Во втором разделе изучается оператор Шредингера с потенциалом V = 6W (a-)+Ai (-, 0i)^>i+A2(-, 4>2)Ф2¦ Здесь предполагаем, что е достаточно мало, a Ai, А2 — некоторые постоянные. При определенных условиях доказано существование и единственность уровня в окрестности нуля и исследована его асимптотика..

В третьем разделе второй главы изучается трехмерный оператор Шредингера в L2(Q) с нелокальным потенциалом (возникающим, например, в теории псевдопотенциала [23]), соответствующим кристаллической пленке, вида.

Н (к ц) = -А + eW (x) + XVi. (0.9).

Здесь И^(ж)-вещественная функция, удовлетворяющая оценке | W (x) |< Се~~аIх'3!, где С, а = const, причем, а > 0 (функции, удовлетворяющие неравенству такого вида будем называть экспоненциально убывающими по переменной хз), V = (-, фо) фо ~ одномерный операторздесь ф0 -блоховская по Х, Х2 и экспоненциально убывающая по хз функцияпа-конец, б, А — вещественные параметры. В данном разделе предполагаем, что фо удовлетворяет условию e~i{-k^^0(x)dx ф 0,.

Jn, а решение ф ищется в классе функций, удовлетворяющих условиям y/Wifе Ь2(П) и фф0 G Ltt)..

Предполагаем в данном разделе, что параметры, А и б связаны друг с другом соотношением, А = /(ба°), где а0 > 0 (функция / определена выше.).

Рассмотрим вначале случай / ф 0, /(0) = 0. Тогда, А = Кеа + о (ба), где К — const ф 0, а > 0 (см. выше)..

Получено следующее утверждение..

Теорема 2.4. Пусть, а в соотношении, А = Кеа целое. Тогда в некоторой окрестности точки = 0 для всех достаточно малых е существует только два, возможно, сливающихся уровня, которые можно разложить в ряды Тейлора по степеням е или л/е..

Пусть, кроме того, выполнены следующие условия. W (x)dx ф 0, [ W (x)dx + К | [ е-^^фо^х |:2ф 0..

J 9. J О JQ.

Доказано, что для всех достаточно малых е в некоторой окрестности точки = 0 существует ровно два различных уровня, для которых получена асимптотическая формула..

Рассмотрен случай /(0) Ф 0. Доказано, что существует такая окрестность точки = 0, в которой для всех достаточно малых е уровней нет..

Рассмотрен также случай, когда е = 0, Л — константа. Доказано, что существует такая окрестность точки b? — 0, что для всех достаточно малых Л в этой окрестности имеется ровно один уровень = &з (А) — кроме того, исследовано его асимптотическое поведение..

В заключительной, третьей главе диссертационной работы исследуется задача рассеяния для нелокального потенциала вида V = eW (x)+A (-, фо) х фо. В первом разделе изучается одномерная задача рассеяния. Доказывается существование и полнота волновых операторов Q±(H, Hq) (см. общую теорию рассеяния в нестационарном подходе в монографиях [37], [38]) — для «пленочного» оператора Шредингера с локальным потенциалом волновые операторы исследовались в статье [1−4]). На основе стационарного подхода получена асимпотика решений уравнения Липнмана-Швингера (0.3) при х —> ±-оо, при достаточно малых е и, А = Кеа + о (еа), где К — const, а? (0,+сю). Исследованы амплитуды прохождения и отражения частицы. (О связи упомянутых стационарного и нестационарного подходов см. замечание после теоремы 3.2)..

Во втором разделе исследуется вопрос о конечности числа собственных значений оператора Шредингера для кристаллической пленки, доказывается существование решения уравнения Липпмана — Швингера — одного из основных инструментов изучения рассеяния, а также устанавливается связь уравнения Липпмана — Швингера и аналогичного уравнения, возникающего при использовании функции Грина оператора Н (к\) вместо функции Грина оператора Но (к^)..

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15], [32], [39]-[42]..

Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, ведущему научному сотруднику Ю. П. Чубурину за постановку задачи, внимательное и чуткое руководство..

1. Ландау, Л. Д. Квантовая механика (нерелятивистская теория) / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М.: Физматгиз, 1963..

2. Вольф, Г. В. Особенность рассеяния низкоэнергетических электронов тонкими пленками кубических кристаллов / Г. В. Вольф, Ю. П. Чубурин // Физика твердого тела. 2005. — Т. 46. — Вып. 6. — С. 1015−1018..

3. Цише, П. Достижения электронной теории металлов. Т.2. / П. Цише, Г. Леманн. М.: Мир, 1984..

4. Davies, Е.В. Skattering from infinite sheets / E.B. Davies // Cambr. Philos. Soc. 1977. — V. 82. — P. 327−334..

5. Davies, E.B. Scattering theory for systems with different spatial asymp-totics on the left and right / E.B. Davies, B. Simon // Commun. Math. Phys. 63. 1978. — P. 277−301..

6. Herczynski, J. On the spectrum of the Schrodinger operator / J. Herczyn-ski // Bull de LAcad. Pol. des Sciences. Ser. des sci.-math. 1981. — V. 29. -No. 1−2. — P. 73−77..

7. Simon, B. The bound state of weakly coupled Schrodinger operators in one and two dimensions / B. Simon // Ann. Phys. 97. 1976. — P. 279−288..

8. Чубурин, Ю. П. Об операторе Шредингера с малым потенциалом в случае кристаллической пленки / Ю. П. Чубурин // Матем. заметки. -1992. Т. 52. — Вып. 2. — С. 138−143..

9. Чубурин, Ю. П. Асимптотическое представление Флоке решений уравнения Шредингера в случае полуограниченного кристалла /Ю.П. Чубурин // Теор. и матем. физика. 1988. — Т. 77. — № 3. — С. 472−478..

10. Чубурин, Ю.П. О решениях уравнения Шредингера в случае иолу-ограничепиого кристалла / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. -1994. Т. 98. — № 1. — С. 38−47..

11. Чубурин, Ю.П. О малых возмущениях оператора Шредингера спериодическим потенциалом / Чубурин Ю. П. // Теор. и матем. физика. -1997. Т. 110. — № 3. — С. 443−453..

12. Чубурин Ю. П. Об аппроксимации «пленочного» оператора Шредин-гера «кристаллическим» / Ю. П. Чубурин // Матем. заметки. 1997. — Т. 62. — Вып. 5. — С. 773−781..

13. Чубурин, Ю. П. Об операторе Шредингера с малым потенциалом типа возмущенной ступеньки / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика.- 1999. Т. 120. — jY° 2. — С. 277−290..

14. Гадыльшин, P.P. О локальных возмущениях оператора Шредингера па оси / P.P. Гадыльшин // Теор. и матем. физика. 2002. — Т. 132. — № 1. С. 97−104..

15. Сметанина, М. С. Об уравнении Шредингера для кристаллической пленки с нелокальным потенциалом /М.С. Смстаиипа, Ю. П. Чубурин // Вестник УдГУ. Сер. Математика. 2003. — № 1. — С. 19−31..

16. Плотникова, Н. И. Об уровнях оператора Шредингера с возмущенным ступенчатым потенциалом / Н. И. Плетникова // Вестник УдГУ. Сер. Математика. 2005. — № 1. — С. 155−166..

17. Карпешина, Ю. Е. Спектр и собственные функции оператора Шредингера с точечным потенциалом типа однородной решетки в трехмерном пространстве / Ю. Е. Карпешина // Теор. и матем. физика. 1983. — Т. 57. № 2. С. 304−313..

18. Карпешина, Ю. Е. Спектр и собственные функции оператора Шредингера в трехмерном пространстве с точечным потенциалом типа однородной двумерной решетки / Ю. Е. Карпешина // Теор. и матем. физика.- 1983. Т. 57. — № 3. — С. 414−423..

19. Карпешина, Ю. Е. Теорема разложения по собственным функциям задачи рассеяния на однородных периодических носителях типа цепочки в трехмерном пространстве / Ю. Е. Карпешина // Проблемы математической физики. Вып. 10. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1983. — С. 137−163..

20. Чубурин, Ю.П. О рассеянии для оператора Шредингера в случае кристаллической пленки / Ю. П. Чубурин // Тсор. и матем. физика. 1987. Т. 72. № 1. — С. 120−131..

21. Арсеньев, A.A. Резонансное рассеяние на бесконечных листах / A.A. Арсеньев // Теор. и матем. физика. 2001. — Т.127. — № 1. — С.21−33..

22. Фаддеев, Л. Д. Лекции по квантовой механике для студентовматематика Л. Д. Фаддеев, O.A. Якубовский. Л.: ЛГУ, 1980..

23. Хейне, В. Теория псевдопотенциала / В. Хейне, М. Коэн, Д. Уэйр.- М.: Мир, 1973..

24. Альбевсрио, С. Решаемые модели в квантовой механике / С. Альбеверио, Ф. Гестези, Р. Хеэг-Крон, X. Хольден. М.: Мир, 1991..

25. Шадан, К. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния / К. Шадан, П. Сабатье. М.: Мир., 1980..

26. Демков, Ю. Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике / Ю. Н. Демков, В. Н. Островский. Л.: ЛГУ, 1975..

27. Владимиров, B.C. Уравнения математической физики / B.C. ВладимировМ.: Наука, 1976..

28. Займан, Дж. Принципы теории твердого тела / Дж. Займан. М.: Мир, 1974..

29. Рид, М. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов / М. Рид, Б. Саймон. М.: Мир, 1982..

30. Скриганов, М. М. Геометрические и арифметические методы в спектральной теории многомерных периодических операторов /М.М. Скриганов // Тр. МИАН им. В. А. Стеклова. 1985. — Т. 171. — С. 1−124..

31. Чубурин, Ю.П. О рассеянии на кристаллической пленке / Ю. П. Чубурин // ФТИ УНЦ АН СССР. Свердловск, 1985. — 44 с..

32. Смстанина, М. С. Об уравнении Шредингера с нелокальным потенциалом / М. С. Сметанипа // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. -2002. Вып. 3 (26). — С. 99−114..

33. Чубурин, Ю.П. О попадании собственного значения (резонанса) оператора Шредингера на границу зоны / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. 2001. — Т. 126. — № 2. — С. 196−205..

34. Гатаулин, Т.М. О возмущении квазиуровней оператора Шредингера с комплексным потенциалом / Т. М. Гатаулин, М. В. Карасев // Теор. и матем. физика. 1971. — Т. 9. — № 2. — С. 252−263..

35. Базь, А. И. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике / А. И. Базь, Я. Б. Зельдович, A.M. Переломов. М.: Наука, 1966..

36. Тейлор, Дж. Теория рассеяния. Квантовая теория нсрелятивистских столкновений / Дж.Тейлор. М.: Мир, 1975..

37. Березин, ФА. Уравнение Шредингера / Ф. А. Березин, М. А. Шубин. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983..

38. Рид, М. Методы современной математической физики. Т. З. Теория рассеяния / М. Рид, Б. Саймон. М.: Мир, 1982..

39. Сметанина, М. С. Об уровнях оператора Шредингера для кристаллическо. пленки с нелокальным потенциалом / М. С. Сметанина, Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. 2004. — Т. 140. — № 2. — С. 297−302..

40. Сметанина, М.С. О рассеянии для оператора Шредингера с нелокальным потенциалом /М.С. Сметанина // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. 2004. — Вып. 1 (29). — С. 109−124..

41. Сметанина, М. С. Асимптотика уровней одномерного оператора Шредингера с нелокальным потенциалом / М. С. Сметанина // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. 2005. — Вып. 1 (31). — С. 99−106..

42. Сметанина, М. С. Об уровнях оператора Шредингера с возмущенным нелокальным потенциалом / М. С. Сметанина // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ 2006. — Вып. 1 (35). С. 98−104..

43. Шабат, Б.В.

Введение

в комплексный анализ. 4.II. Функции нескольких переменных / Б. В. Шабат. М.: Наука, 1976..

44. Шефер, X. Топологические векторные пространства / Х.Шефер.М.: Мир, 1971..

45. Эдварде, Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде. М.: Мир, 1969..

46. Ганнинг, Р. Аналитические функции многих комплексных переменных / Р. Ганнинг, X. Росси. М.: Мир, 1969..

47. Рихтмайер, Р. Принципы современной математической физики / Р. Рихтмайер. М.: Мир, 1982..

48. Чубурин, Ю. П. Возмущение резонансов и собственных значений на непрерывном спектре оператора Шредингера для кристаллической пленки / Ю. П. Чубурин // Теор. и матем. физика. 2005. — Т. 143. — № 3. — С. 417 430..

49. Рид, М. Методы современной математической физики. Т 1. Функционалы анализ / М. Рид, Б. Саймон. М.: Мир, 1977..