Многомерные интегральные операторы с вырожденным символом в пространствах суммируемых и обобщенных функций

Вопросу разрешимости интегральных уравнений посвящены многие работы советских и зарубежных математиков /см., напр., монографии [I] - [б]/. Важное место среди них занимают исключительные случаи, к которым относят так называемые уравнения Фредголь-ма третьего рода и сингулярные интегральные уравнения с вырожденным символом. Отметим, однако, что по сравнению с одномерными интегральными уравнениями такого типа, многомерные интегральные уравнения в исключительном случае являются еще мало изученными. Наиболее завершенные результаты получены для уравнения.

Р" 1ФШц={, /I/ где Р — преобразование Фурье, впервые такое уравнение при условии, что символ Ф (9) обращается в ноль, начали исследовать В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский [7] - [в]. Ими были указаны пространства обобщенных функций, в которых уравнение /I/ разрешимо при всех | е, описано общее решение в таких пространствах и выделены условия, обеспечивающие единственность решения. Дальнейшие исследования в этом направлении проводились в статье В. Г. Мазьи, Б. А. Пламеневского, Ю. Е. Хайкина [9], а также в работах М. Лоренца [ю] - [13]. Заметим, что каждый раз при этом предполагалось, что символ сингулярного оператора не зависит от полюса или слабо зависит от него. Последнее означает, что символ Ф (Х, 0) остается постоянным при больших по модулю, X .

В ряде работ [14] - [22] исследовалась разрешимость краевых задач для вырождающихся псевдодифференциальных операторов. Найдены условия, при которых такие задачи являются нетеровыми в различных функциональных пространствах, отличных от, и пространств обобщенных функций, рассматриваемых в настоящей диссертации.

А.Э.Пасенчук [23] рассмотрел в пространстве + +) оператор свертки в четверть-плоскости Вч++ с символом, вырождающимся в конечном числе точек пространства К. Для этого случая был построен неограниченный обратный оператор, описан образ изучаемого оператора и даны корректные постановки задач для операторов в свертках с вырождающимся символом.

Заметим, что в отличие от перечисленных работ, основная цель диссертации — получить условия разрешимости многомерных интегральных уравнений в исключительном случае в терминах ортогональности правой части решениями союзного однородного уравнения в соответствующих пространствах обобщенных функций.

Предлагаемая диссертация состоит из трех глав, в первой главе исследуется разрешимость уравнения Фредгольма третьего рода ш)+= / 2 / в пространстве и некоторых пространствах обобщенных функций, содержащих слагаемые вида.. 3ХП].

Г. Р, Х1 сЦХ^. р — суммируемые со степенью р функции/.

Первая глава состоит из шести параграфов. §§ 1−3 носят вспомогательный характер, в первом параграфе даются определения предела в среднем и производных в среднем, являющихся непосредственными обобщениями аналогичных понятий, введенных в одномерном случае З. Пресдорфом [5]. Понятие предела в среднем сравнивается с известным определением следа функции.

Во втором параграфе введены пространства основных и обобщенных функций. Доказываются теоремы вложения, связывающие пространства основных функций с анизотропными пространствами Соболева и их аналогами. Эти теоремы применяются во второй главе при доказательстве ограниченности многомерного сингулярного оператора.

В третьем параграфе исследуется нормальная разрешимость оператора, А, определяется союзный к нему оператор в пространствах и обобщенных функций.

Четвертый параграф посвящен доказательству основного результата первой главы — теоремы о разрешимости уравнения / 2 / в цространстве ад Согласно этой теореме необходимыми и достаточными условиями разрешимости уравнения /2 / являются условия ортогональности правой части всем решениям союзного однородного уравнения в пространстве обобщенных функций.

Идея рассмотрения союзного пространства и союзного оператора вместо сопряженного пространства и сопряженного оператора в абстрактном случае принадлежит М. Г. Крейну [24]. Ее развитие содержится в статье [25] / см. также [2б] /. С других позиций к понятиям союзного пространства и союзного оператора подошел Р. В. Дудучава [27]. Заметим, что все перечисленные авторы применяли общие теоремы о замене сопряженного пространства и сопряженного оператора союзными к одномерным интегральным уравнениям,.

В пятом параграфе найдены необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения /2 /в пространстве обобщенных функций, как условия ортогональности правой части решениям союзного однородного уравнения в пространстве .

В шестом параграфе формулируются возможные обобщения полученных результатов.

Отметим, что в отличие от одномерного уравнения ©-редгольма третьего рода [28] - [зз], коядро оператора, А может оказаться бесконечномерным, поэтому техника исследования уравнения / 2 / существенно отличается от методики работ [28] - [32] .

Принципиальные трудности по сравнению с одномерным случаем возникают также и при изучении многомерного сингулярного уравнения с вырожденным символом хГ (шх) + +Т1{=/ з / где.

ОСм.

1x¹ 1x¹.

Главная из них — вопрос об ограниченности многомерного сингулярного оператора в пространстве основных функций г/{<�р<�с>°?т>{? ГЛ — целое/. Пространство } состоит из тех функций (|(Х)? ¿-£р (К), которые в полосе.

1 = и"1.х1> • •¦, Х&bdquo-) = (Х1,Ч)?РчП :|Х11<1} имеют представление т-1.

Х) — хГ ЧЧх) + Т./, Щ, V€Л^ХрГ1).

Норма в пространстве равна т-1.

Решению этого вопроса посвящена вторая глава диссертации. Отметим, что ранее ограниченность многомерного сингулярного оператора доказывалась в различных функциональных пространствах / библ. см. в [зз^ - [35]/ «которые существенно отличаются от.

ЫтДЧ.

В связи с этим результаты, полученные во второй главе, представляют, на наш взгляд, самостоятельный интерес.

Вторая глава состоит из четырех параграфов. В первом из них формулируются известные вспомогательные утверждения. Второй и третий параграфы посвящены доказательству теоремы об ограниченности многомерного сингулярного оператора Ш.

— ) хп R характеристика которого не зависит от полюса, в пространстве.

Ц<�р<�схо, П1>1). Теорема об ограниченноети доказывается вначале в § 2 для Ж = I, затем в § 3 методом математической индукции обобщается на случай произвольного целого ГП > i .

В четвертом параграфе доказана теорема об ограниченности многомерного сингулярного оператора в пространстве XpllTl^R^ - характеристика которого зависит от полюса.

В третьей главе изучается разрешимость уравнения /3 / в пространстве. Аналогичные вопросы в одномерном случае для пространств гельдеровских функций рассматривались в работах В. С. Рогожина и Т. Н. Радченко [зб] - [зэ] .

Третья глава состоит из четырех параграфов.

Основное содержание § I составляет теорема I. I, согласно которой при определенных ограничениях на характеристику ?1(0) многомерный сингулярный оператор Cil + К можно^ непрерывно продолжить на пространство, сопряженное к ], так что он при этом останется непрерывно обратим.

Во втором параграфе исследуется нормальная разрешимость многомерных сингулярных операторов с вырожденным символом в пространстве и в пространствах обобщенных функций.

В третьем параграфе, следуя методике главы I, доказывается теорема о разрешимости многомерного сингулярного уравнения/3 /в пространстве р (в терминах ортогональности правой части решениям союзного однородного уравнения в пространстве обоб -¡-ценных функций.

В четвертом параграфе приводятся примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

По теме диссертации опубликовано четыре работы [48] - [51], в которых содержится основная часть изложенных ниже результатов.

I 10.

1. Мусхелишвили H.И. Сингулярные интегральные уравнения. — 3-е изд., перераб. и доп.-М.: Наука, 1968. — 512 с.

2. Гахов Ф. Д. Краевые задачи.- 3-е изд., перераб. и доп.-M.îНаука, 1977. 640 с.

3. Михлин' С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения.- M., 1962. 256 с.

4. Гохберг И. Ц., Крупник Н. Я.

Введение

в теорию одномерных сингулярных операторов.- Кишинев: Штиинца, 1973. 426 с.

5. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений М.: Мир, 1979. 494 с.

6. ЩМж S.&.tPiossclobf i. ?'ш^иА?mtорш^огиь.-Bbvun- ¦ (ic^imAj^)/еп1ау, 19&0г51Ц

7. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. 0 сингулярных уравнениях с символом, обращающемся в нуль.- Докл. АН СССР, 1965, т.160, № 6, с.1250−1253.

8. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. 0 задаче Коши для гиперболических сингулярных интегральных уравнений типа свертки.- Вестник Ленинградского университета, 1965, № 19, вып.4, с.161−163.

9. Вишк М.й., Грушин В. В. Об одном классе вырождающихся эллиптических уравнений высших порядков" — Матем. сборник, 1966, т. 79, № I, с. 3−36.

10. Вишик М. И., Грушин В. В. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области.- Матем. сборник, 1969, т.80,1Р 122, с. 455−491.

11. Глушко В. П. Оценки в и разрешимость общих граничных задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка, — Труды Московского матем. об-ва, 1970, № 23, с. 113 178.

12. Грушин В. В. Об одном классе эллиптических псевдодифференциальных операторов, вырождающихся на многообразии.- Матем. сборник, 1971, т.84, № 2, с.163−195.

13. Глушко В. П. О разрешимости смешанных задач для гиперболических уравнений второго порядка с вырождением, — Докл. АН СССР, 1972, т.207, № 2, с.266−269.

14. Левендорский С. З. Краевые задачи в полупространстве для квазиэллиптических псевдодифференциальных операторов, вырождающихся на границе.- Матем. сборник, 1980, III /153/, № 4, 483 -502.

15. Катрахов В. В. Общие краевые задачи для одного класса сингулярных и вырождающихся эллиптических уравнений.- Матем. сборник, 1980, т.112, № 3, с.354−379.

16. Барановский Ф. П. Смешанная задача для вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка с двумя переменными.-Дифференциальные уравнения, 1978, т. 14, № 8, с. 1424−1438.

17. Брюханов В. А. Задача Коши для одного класса вырождающихся гиперболических уравнений.- В кн.: Дифференциальные уравн. с частн. производи.: Тр. семинара С. Л. Соболева, йн-т математ. СО АН СССР, Новосибирск, 1979, № 2, с.33−41.

18. Пасенчук А. Э. Об одном классе двумерных интегральных операторов с вырождающимся символом.- В кн: Мат. анализ и его приложения. Ростов-на-Дону, 1981, с. I05-II2.

19. Крейн М. Г. Про л1н1йн1 ц1лком непреривн1 оператори в функц1ональних просторах з двома нормами.- Сб. праць 1н-ту матем. АН УРСР, 1947, № 9, с. 104−129.

20. Гохберг И. Ц., Замбицкий М. К. К теории линейных операторов в пространствах с двумя нормами.- Укр. матем. журнал, 1966, № 18, вып. I, с.11−23.26. JJmdlaiul W. Ъ’т (ШшшЬтfm OfwafowrU) du, kzucfuJu шш^ ^?uUnmui.

21. Расламбеков С. Н. К теории линейных интегральных уравнений третьего рода в классе обобщенных функций, I. Казань 41 976. 17 с. Рукопись представлена ред.ж." Изв. вузов. Матем." Деп. в ВИНИТИ I июля 1976, № 2475−76.

22. Расламбеков С. Н. К теории линейных интегральных уравнений третьего рода в классе обобщенных функций, П.- Казань, 1977. 18 с. Рукопись представлена ред.ж. «Изв. вузов. Матем.» Деп. в ВИНИТИ I марта 1977, Р 791−77.

23. Рогожин В. С., Расламбеков С. Н. Теория Нетера для интегральных уравнений третьего рода в пространствах непрерывных и обобщенных функций.- Изв. вузов, Матем., 1971, № 3, 41−49.

24. Дынькин Е. М., Осиленкер Б. П. Весовые оценки сингулярных интегралов и их приложения.- В кн.: Итоги науки и техники.М., 1983, т.21, с.42−129.

25. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций.- М.: Мир, 1973. 342 с.

26. Дудучава Р. В. 0 многомерных сингулярных интегральных уравнениях. Предварительные теоремы.- Сообщ. АН ГССР, 1983, т.109, Р 2, с.241−244.

27. Рогожин B.C., Радченко Т. Н. Об индексе и нормальной разрешимости сингулярного интегрального уравнения в исключительном случае.- Изв. вузов. Матем., 1977, № б, с.131−144.

28. Радченко Т. Н. Об индексе и нормальной разрешимости сингулярного интегрального уравнения третьего рода.- Ростов-на-Дону, 1976. 14 с. — Рукопись представлена Ростовск. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 7 декабря 1976, № 4250−76.

29. Радченко Т. Н. Сингулярные интегральные уравнения третье1/ /У) 9) У Ч * fP*го рода в пространствах г/ у (cL)) oUq- - <г% } у %. Ростов-на-Дону, 1976. — 34 с. — Рукопись представлена Ростовск. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 7 декабря 1976, № 4251−76.

30. Радченко Т. Н. Сингулярное интегральное уравнение третье1. О) V СГ V Ср Уго рода в пространствах П у , — i/"г и и^В кн.: Теория функций. Диф. уравнения и их приложения. Элиста, 1976, с.138−155.

31. Дыбин В. Б. Нормализация сингулярного интегрального уравнения в исключительном случае.- В кн.: Матем. анализ и его прилож. Ростов-на-Дону, 1974, с.45−61.

32. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения.- М.: Наука, 1969. 480 с.

33. Эдварде 9. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1969.1072 с.

34. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Основные положения о дефектных числах, корневых числах и индексах линейных операторов.- УМН, т.12, вып.2, 1957, с.44−118.

35. Канторович Л. В., Акилов Г. П. функциональный анализ. -М.: Наука, 1977. 744 с.

36. Радченко Т. Н. Сингулярные интегральные уравнения в исключительном случае в пространствах гельдеровых и обобщенных функций. Дис.. канд. физ.-мат. наук.- Ростов-на-Дону, 1978. -III с.

37. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.- M. i Мир, 1972. 740 с.

38. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1971. 512 с.

39. Тимофеева Е. П. Двумерное интегральное уравнение Фредголь-ма третьего рода. Изв. вузов. Матем., 1980, № 7, с. 54−64.

40. Баран Е. П. Об одном двумерном интегральном уравнении Фредгольма третьего рода. Ростов-на-Дону, 1983. — 14 с. — Рукопись представлена Ростовск. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 24 марта 1983, № 1488−83.

41. Баран Е. П. Об условиях разрешимости двумерного интегрального уравнения третьего рода. Казань, 1984. — 9 с. — Рукопись представлена ред. ж. «Изв. вузов. Мат.» Деп. в ВИНИТИ 27 июня 1984, № 4400−84.

42. Баран Е. П. Об условиях разрешимости многомерного сингулярного уравнения с вырожденным символом.- Краматорск, 198 436 с. Рукопись представлена Краматорским индустр. ин — том. Деп. в Укр ШИНТИ 17 июля 1984, № 1263 Ук — 84.