Основы линейной алгебры

1. Найти произведение заданных матриц, А и В

Решение:

Матрицы: А — размерность, В-размерность .

Так как количество столбцов матрицы: А равно количеству строк матрицы В, то произведение, А на В существует.

Итоговая матрица имеет размерность :

Ответ:

2. Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса

Решение:

а) Решим систему по формулам Крамера Для системы 3-х линейных алгебраических уравнений если 0, можно найти единственное решение по формулам Крамера:

, .

? =; ₁=; ₂=; ₃= ;

Найдем значение определителя? по формуле:

Аналогично вычислим значения определителей ₁, ₂, ₃

? =2· 1·3 +4· 2·(-2)+4·(-5)·(-1) — (-2)· 1·(-1) — 4•4· 3−2·2·(-5)= -20 0

₁=-8· 1·3 +4· 2·18+14·(-5)·(-1) — 18· 1·(-1) — 14•4· 3 — (-8)· 2·(-5)=-40

₂ =2· 14·3 +(-8)· 2·(-2)+4·18·(-1) — (-2)· 14·(-1) — 4•(-8)· 3−2·2·18=40

₃=2· 1·18 +4· 14·(-2)+4·(-5)·(-8) — (-2)· 1·(-8) — 4•4· 18−2·14·(-5)=-80

Сделаем проверку:

Получили равенства.

Ответ:

б) Решим систему матричным методом Систему линейных алгебраических уравнений можно представить в матричном виде: А • X = В, где, А — матрица системы из коэффициентов при неизвестных, Х и В-матрицы — столбцы из неизвестных, , и свободных членов соответственно:

.; .

Для нахождения неизвестных используется формула Х = А^-1 • В, где А^-1 — обратная матрица к квадратной матрице, А Обратная матрица вычисляется по формуле:

А^-1=•А^Т, где А^Т = - транспонированная матрица к

— главный определитель матрицы А,

А_ij — это алгебраическое дополнение равное A_ij = (-1)^i+jМ

Минор — это определитель, полученный из главного определителя вычеркиванием i-ой строки и j-гo столбца Для исходной системы:

Найдем обратную матрицу. Значение главного определителя известно:

? =-20 0

Найдем алгебраические дополнения А_ij:

;

Умножая обратную матрицу А^-1 на, получаем матрицу .

Ответ:

в) Решим систему методом Гаусса Это метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы.

В первом уравнении выбираем коэффициент, отличный от нуля. Затем 1-ое уравнение делим на этот коэффициент, и далее с помощью первого уравнения исключаем первое неизвестное из всех уравнений, кроме первого (вычитанием).

Применим метод Гаусса, составив таблицу:

После проделанных операций система привелась к треугольному виду Начинаем обратный ход метода Гаусса.

Ответ:

3. Показать, что векторы а₁, а₂, а₃ образуют базис в пространстве R³, и найти координаты вектора а в этом базисе.

Решение

Вычислим определитель, столбцами которого служат координаты векторов а₁, а₂, а₃:

Так как Д? 0, то система векторов а₁, а₂, а₃ образует базис в R³. Вектор а₄ разлагается по векторам этого базиса, т. е. справедливо равенство вида Последнее равенство в координатной форме имеет следующий вид:

Согласно определению равенства векторов и действиям над векторами получим систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными:

Решим эту систему методом Крамера:

Ответ:

4. Определить ранг заданной матрицы

Решение Методом окаймляющих миноров найдем ранг матрицы.

Высший порядок миноров матрицы, А — третий. Вычислим эти миноры.

Вычислим сначала угловой минор второго порядка:

Он отличен от нуля.

Составим и вычислим два минора третьего порядка, которые окаймляют этот минор. Один из таких миноров — угловой минор:

Следующий минор:

Все миноры третьего порядка равны нулю.

Следовательно, ранг матрицы, А равен двум.

Ответ:

5. Привести систему к системе с базисом методом ЖорданаГаусса и найти одно базисное решение

Решение

Матрица, А и расширенная матрица В данной системы имеют одним из миноров высшего порядка минор второго порядка:, который отличен от нуля. Следовательно, r (А) = r (В) = 2. Система совместна, и так как r < n (n = 5), то она имеет бесчисленное множество решений. Число ее базисных решений не превосходит числа .

Так как ранг системы равен двум, то и число базисных переменных равно двум. Так как n — r = 5 — 2 = 3, то свободными будут три переменные.

Представим коэффициенты при неизвестных в виде таблицы и решим систему методом Жордана-Гаусса:

В результате трех итераций система преобразовалась к виду:

Следовательно, исходная система имеет бесчисленное множество решений.

Последняя система уравнений есть система с базисом и разрешается относительно базисных неизвестных х₁, х₂, (х₃, х₄, х₅ — свободные неизвестные):

Методом Жордана-Гаусса получено общее решение исходной системы.

Найдем одно базисное решение:

Сделаем проверку:

Ответ: - общее решение исходной системы

- базисное решение системы

матрица уравнение крамер гаусс

Библиографический список

1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. — М: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1998

2. Бутузов В. Ф., Крутицкая Н. Ч., Шишкин А. А, Линейная алгебра в вопросах и задачах: Учеб. пособие / Под ред. В. Ф. Бутузова. — ФИЗМАТЛИТ, 2002. -248 с.

3. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Н. Ш. Кремер, Б. А. Путко, И. М. Тришин, М. Н. Фридман; Под ред. проф. Н. Ш. Кремера — М.: ЮНИТИ, 2003. — 471 с.

4. Карасев А. И., Аксютина З. М., Савельева Т. И. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1, ч. 2.-М.: Высшая школа, 1982. — 320 с.

5. Тиунчик М. Ф. Математика, часть 1. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие. Хабаровск: ХГАЭП, 2002, — 104 с.