С начала семидесятых годов за рубежом и в нашей стране стало развиваться новое научное направление, связанное с построением терретических моделей по экспериментальным данным — анализ идентифицируемости моделей. Подобные модели обычно формируются на основе известных законов или теоретических представлений о механизме функционирования исследуемой системы. В силу этого они имеют фиксированную структуру, определенную с точностью до неизвестных параметров, подлежащих отысканию из эксперимента. Задачи, связанные с их определением, называют обратными задачами математического моделирования.
Характерная особенность обратных задач состоит в том, что их решение нередко оказывается неединственным. Это один из признаков, по которым такие задачи относят к некорректным задачам. Неединственность решения может быть связана не с малым объемом экспериментальных данных или неудачным выбором точек плана эксперимента. Причина может быть более принципиальной. Неоднозначность оценок параметров может быть обусловлена отсутствием согласия между сложностью модели и числом содержащихся в ней параметров, с одной стороны, и ограниченностью информации о параметрах, которую можно извлечь из эксперимента, с другой стороны. В такой ситуации увеличение объема выборки и «рациональное» размещение точек в факторном пространстве делу не помогут.
Как выявить возможность возникновения такой ситуации априори? Какими последствиями это грозит исследователю и как, в частности, может сказаться на оцениваемых параметрах модели? Что необходимо делать в подобных случаях? На эти и другие вопросы дает ответ методология анализа априорной идентифицируемости параметров математических моделей, решению современных проблем которой посвящена настоящая диссертация.
Пик интереса исследователей к развитию теории структурной идентифицируемости динамических моделей пришелся на 80-е годы прошлого столетия.
К началу 90-х годов было разработано множество методов и подходов к исследованию идентифицируемости линейных и нелинейных моделей в пространстве состояний. Сложилось мнение, что основы теории полностью разработаны (во всяком случае, для линейных систем). Невозможность получения результата исследования моделей сравнительно больших размерностей объяснялась несовершенством вычислительной техники. Создалась иллюзия, что стоит увеличить мощность компьютера, и все проблемы будут решены.
Однако ускоренное развитие вычислительной техники в последнее десятилетие не устранило препятствий, возникающих на пути разработчиков моделей в пространстве состояний. Причина заключается в том, что анализ структурной идентифицируемости требует вычислений в символьном виде, так как предполагает исследование одновременно во всех точках параметрического пространства (на этапе построения модельной структуры числовые значения параметров неизвестны). Существующие на сегодняшний день методы проверки идентифицируемости даже для линейных систем требуют очень громоздких символьных вычислений, с которыми не справляются современные, версии систем компьютерной алгебры, установленные на современных мощных компьютерах. К тому же, разнообразие подходов и методов создает проблему выбора. В литературе по этому поводу приводятся расплывчатые рекомендации, что если один из методов не приводит к решению, нужно попробовать другой.
В то же время, существуют методы, которые, по сравнению с другими, генерируют менее сложные аналитические формулы. К последним относится метод преобразования подобия. Идея данного метода основывается на поиске преобразований, связывающих все эквивалентные модели (т.е. модели с одинаковой структурой и одинаковым входо-выходным поведением). Однако в том виде, в котором данный метод существует, он имеет ряд недостатков, не позволяющих полностью использовать его преимущества.
Во-первых, использование метода не предусматривает разделения на анализ локальной идентифицируемости и анализ глобальной идентифицируемости, и в любом случае предполагает решение системы алгебраических уравнений (системы уравнений подобия). Получается, что если решение системы уравнений подобия не может быть найдено, то мы не можем ответить на вопрос не только о глобальной, но и о локальной идентифицируемости модели. Известно, однако, что анализ локальной идентифицируемости может быть выполнен гораздо более простыми способами (например, вычислением ранга матрицы Яко-би).
Во-вторых, неизвестными в системе уравнений подобия являются не только элементы вектора неизвестных параметров (как в других методах), но и элементы матрицы преобразований подобия. Таким образом, мы получаем систему уравнений достаточно простого вида (билинейные уравнения) с очень большим числом неизвестных, что не слишком благоприятно для ее решения общеизвестным методом компьютерной алгебры для решения алгебраических систем — методом базисов Гребнера.
Если бы результатом исследования являлся только односложный ответ на вопрос, идентифицируема модельная структура или нет, то особого смысла в использовании символьных вычислений, значительно усложняющих анализ, не было бы. В этом случае можно было бы случайным образом выбрать точку в параметрическом пространстве, выполнить анализ в этой точке и с вероятностью 1 сделать вывод об идентифицируемости модельной структуры во всем параметрическом пространстве. Использование символьных вычислений особенно полезно тогда, когда в случае неидентифицируемости мы имеем возможность получить некоторую качественную информацию, которую можно использовать для элиминирования неидентифицируемости — преобразования исходной модельной структуры к идентифицируемой. Отметим, что метод преобразования подобия в том виде, в котором он был предложен ранее, не предоставлял подобной возможности (кроме аналитического вида и числа решений задачи параметрической идентификации). Все вышесказанное позволяет сформулировать цель данной диссертационной работы.
Целью работы является создание комплексного подхода к построению идентифицируемых модельных структур в пространстве состояний, обеспечивающего исследователя эффективными методами анализа структурной идентифицируемости, а также способами преобразования неидентифицируемых модельных структур к идентифицируемым.
Для достижения поставленной цели чрезвычайно актуальными являются три задачи. Первая заключается в разработке таких критериев (условий) идентифицируемости, проверка которых требует наименее громоздких аналитических вычислений. Решение данной задачи базируется на использовании метода преобразования подобия. Вторая задача состоит в разработке специализированных методов и алгоритмов компьютерной алгебры, эффективных при проверке предложенных критериев идентифицируемости, так как встроенные в компьютерные системы алгоритмы ориентированы на самый широкий класс матриц и нелинейных алгебраических систем уравнений, и поэтому не всегда эффективны (а часто и не всегда применимы) в конкретных условиях. Третья задача заключается в разработке способов элиминирования локальной и глобальной неидентифицируемости модельных структур.
Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы теории систем, теории идентификации, теории неявных функций, линейной и компьютерной алгебры.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1. Установлены пределы эмпирической информации при идентификации системных параметров естественно параметризованной модельной структуры. Предложен наиболее удобный для формулировки условий идентифицируемости способ введения априорной информации в виде системы линейных ограничений на системные параметры.
2. Доказаны теоремы, дающие необходимое и достаточное условие локальной идентифицируемости и достаточное условие глобальной идентифицируемости (условия ранга для локальной и глобальной идентифицируемости) системных параметров модельной структуры общего вида.
3. Выделены три подкласса модельных структур, являющихся подмножествами исходного общего класса и широко используемых в практических приложениях. При этом удалось существенно понизить размерность матриц идентифицируемости, и тем самым упростить проведение анализа в символьном виде. Для каждого из классов получены условия порядка — неравенства, задающие минимально необходимое для обеспечения идентифицируемости число ограничений на системные параметры.
4. Для четырех классов модельных структур получен общий вид системы детерминирующих уравнений для поиска параметрических функций, допускающих локальное оценивание (ПФДЛО), на основе которого может быть сделан вывод о локальной идентифицируемости отдельных параметров модели неполного ранга. Предложены методы элиминирования локальной неидентифицируемости, не требующие вычисления базиса ПФДЛО.
5. Доказано необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости, являющееся результатом дальнейшего развития условия ранга, являющегося лишь достаточным. Разработан эффективный алгоритм компьютерной алгебры проверки условия ранга (достаточного условия) для глобальной идентифицируемости. Результатом работы алгоритма является множество соотношений, для которых достаточное условие глобальной идентифицируемости не выполняется.
6. Разработан метод нахождения истинных сепараторов — гиперповерхностей, разделяющих параметрическое пространство на непересекающиеся множества, каждое из которых содержит одно и только одно решение задачи параметрической идентификации, на основе СГИ-матрицы. Предложены способы использования истинных сепараторов для элиминирования глобальной неидентифицируемости.
7. Разработано необходимое и достоточное условие дискриминируемости конкурирующих модельных структур с числовыми матрицами управления и наблюдения.
8. С использованием разработанного подхода доказано, что полностью замкнутые цепные модели являются глобально идентифицируемыми для любой размерности, а полностью замкнутые звездные модели являются лишь локально идентифицируемыми для любой размерности модели. Для моделей звездного типа получена зависимость числа решений задачи параметрической идентификации от размерности модели.
9. Для моделей камерного типа, допускающих только балансовые ограничения, разработаны необходимые и достаточные условия идентифицируемости, которые ввиду простоты их использования были названы условиями порядка. Произведена классификация исключающих ограничений. По степени влияния на идентифицируемость модельной структуры исключающие ограничения отнесены к одной из четырех групп. Получены условия независимости ограничений внутри каждой из групп. Для моделей с исключающими ограничениями сформулированы уточненные условия порядка, задающие минимально необходимое для обеспечения идентифицируемости количество ограничений, не являющихся исключающими.
10. Построен электронный каталог сведений об управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости трехкамерных моделей со стандартными числовыми матрицами управления и наблюдения. Предложенная иерархическая структура каталога позволяет быстро найти информацию о требуемой модельной структуре.
На защиту выносятся:
1. Условия ранга для локальной и глобальной идентифицируемости модельных структур четырех классов: моделей в пространстве состояний общего вида, моделей со стандартными параметризованными матрицами управления и наблюдения, моделей с произвольными числовыми матрицами управления и наблюдения, моделей со стандартными числовыми матрицами управления и наблюдения.
2. Условия порядка (необходимые условия идентифицируемости) для трех последних из перечисленных в п. 1 классов модельных структур, а также для модельных структур, допускающих исключающие ограничения на элементы матрицы состояния.
3. Метод построения системы детерминирующих уравнений для поиска параметрических функций, допускающих локальное оценивание, применительно к моделям неполного ранга. Методы элиминирования локальной неидентифицируемости.
4. Необходимое и достаточное условие глобальной идентифицируемости модельных структур общего вида. Алгоритм проверки достаточного условия глобальной идентифицируемости (вычисления соотношений, для которых это условие не выполняется).
5. Метод анализа глобальной идентифицируемости, базирующийся на построении истинных сепараторов параметрического пространства. Способы элиминирования глобальной неидентифицируемости с испольльзованием истинных сепараторов.
5. Необходимое и достаточное условие дискриминируемое&tradeмодельных структур и разработанный на его основе метод анализа дискриминируемости.
6. Условия идентифицируемости модельных структур камерного типа с исключающими и балансовыми ограничениями на элементы матрицы состояния.
7. Электронный каталог сведений об управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости трехкамерных модельных структур.
Практическая ценность и реализация результатов исследования. Разработанный в диссертации подход может найти применение при моделировании технических, физических, химических, биологических и пр. явлений и процессов, везде, где используются модели в пространстве состояний. Разработанные в рамках подхода методы, алгоритмы и комплекс программ позволяют наиболее эффективным и целенаправленным способом построить идентифицируемую модельную структуру, удовлетворяющую необходимым априорным ограничениям. Использование программного обеспечения, реализующего разработанный подход, позволяет исследовать структурные свойства моделей существенно больших размерностей (анализ локальной идентифицируемости удается проводить для моделей размерности 20−25, анализ глобальной — для моделей размерности до 10).
С использованием разработанного подхода была исследована идентифицируемость моделей технических систем: системы стабилизации летательного аппарата и класса систем, в которых матрицей состояния является матрица Фробениуса (системы стабилизации летательного аппарата по тангажу, системы управления перегрузкой летательного аппарата, различных следящих систем: с гибкой и жесткой обратной связью, с асинхронным двухфазным двигателем и т. п.). Получены условия, при которых модельные структуры являются глобально идентифицируемыми. В диссертации проведен анализ идентифицируемости ряда практически значимых кинетических (химическая кинетика и фармакокинетика) модельных структур и предложены способы элиминирования локальной или глобальной неидентифицируемости. Построен каталог сведений о структурных свойствах моделей камерного типа. Эффективность подхода наглядно подтверждается сравнением с другими наиболее широко известными методами по таким двум критериям, как время счета и принципиальная возможность получения результатов в символьном виде.
Разработанные алгоритмы и программы, а также каталог структурных свойств камерных моделей, вошли в комплекс математического моделирования камерных фармакокинетических моделей, разрабатываемый в Государственном НИИ Органической Химии и Технологии (г. Москва). Результаты проведенных исследований используются соискателем в курсах лекций «Методы идентификации систем» и «Математические методы планирования эксперимента», читаемых для магистрантов факультета прикладной математики и информатики Новосибирского государственного технического университета, а также при выполнении дипломных проектов и при подготовке кадров высшей квалификации (руководство аспирантами).
Диссертационная работа выполнялась в рамках тематического плана по заданию МО РФ на 1999;2001 гг. «Моделирование стохастических статических и динамических объектов на основе наблюдений» (НГТУ.1.3.99), на 2002;2005 гг. «Математическое моделирование многофакторных объектов на основе наблюдений» (НГТУ.1.1.02), а также являлась частью исследований по федеральной целевой программе «Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки» 1997;2001 гг.
Проведение диссертационных исследований было поддержано грантом МО РФ по фундаментальным исследованиям на 2001;2002 гг. «Разработка методов анализа идентифицируемости и дискриминируемости модельных структур в пространстве состояний» (научный руководитель Авдеенко Т. В., шифр гранта Е00−2.0−9).
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, симпозиумах и конгрессах: III Всесоюзная конференция «Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов» (Гродно, 1988 г.) — VI Всесоюзная школа-семинар «Применение математических методов для описания и изучения физико-химических равновесий» (Новосибирск, 1989) — IX Всесоюзная конференция «Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях» (Москва, 1989 г.) — Международная конференция «Нестационарные процессы в катализе» (Новосибирск, 1990 г.) — II, IV и V Международные конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Новосибирск, 1994 г., 1998 г., 2000 г.) — Российско-Корейские Международные Симпозиумы «Научные основы высоких технологий» KORUS '99, KORUS '2000, KORUS '2001 (Новосибирск, 1999 г.- Ульсан,.
Корея, 2000 г.- Томск, 2001 г.) — Международный Конгресс по прикладной и индустриальной математике ИНПРИМ-2000 (Новосибирск, 2000 г.) — XIII, XIV, XV Международные научные конференции «Математические методы в технике и технологиях» ММТТ-13, ММТТ-14, ММТТ-15 (Санкт-Петербург, 2000 г.- Смоленск, 2001 г.- Тамбов, 2002 г.) — 15 Всемирный Конгресс IF АС (Барселона, Испания, 2002 г.) — II Международная Конференция «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO'03 (Москва, 2003).
Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в ведущих рецензируемых журналах из перечня ВАК, а также в трудах международных конференций, симпозиумов и конгрессов. Всего по результатам диссертации опубликовано более 40 печатных работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованных источников из 182 наименований. Объем работы составляет 322 страницы основного текста, включает 23 рисунка, 2 таблицы. В приложении приведено описание программного обеспечения, а также документы, свидетельствующие о практической реализации результатов исследований и разработок автора.
6.4. Выводы по главе.
В данной главе были проведены следующие исследования.
1. Приведена объединенная схема практической реализации разработанного подхода, описаны возможности разработанного программного обеспечения.
2. Исследована идентифицируемость моделей технических систем. Проведен анализ некоторых реальных кинетических моделей, анализ идентифицируемости которых другими методами вызывал затруднения. Предложенные в диссертации методы позволили не только исследовать структурную идентифицируемость указанных моделей, но и предложить способы элиминирования локальной и глобальной неидентифицируемости.
2. Произведено сравнение трех методов анализа идентифицируемости на примере реальных кинетических моделей и типовых камерных модельных структур. Сравнение проводилось по времени счета и по принципиальной возможности получения результатов в символьном виде. По обоим критериям подход, разработанный в диссертации, оказался существенно эффективнее.
3. С использованием разработанного алгоритмического и программного обеспечения построен электронный каталог сведений об управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости трехкамерных моделей со стандартными числовыми матрицами управления и наблюдения. Предложенная иерархическая структура каталога позволяет оперативно получать информацию о требуемой модельной структуре. При построении каталога были выявлены случаи, когда наложение дополнительных ограничений не улучшает, а даже ухудшает показатели идентифицируемости.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
Характеризуя полученные результаты в целом, можно заключить, что в диссертации разработан комплексный подход к построению идентифицируемых модельных структур в пространстве состояний, обеспечивающий наибольшую эффективность и результативность по сравнению с существующими методами исследования. Подход включает множество условий и методов проверки, которые в совокупности дают возможность полного и всестороннего анализа идентифицируемости модельной структуры, построенной на основании имеющейся априорной информации об исследуемом процессе. Все разработанные методы можно разбить на три основных тесно связанных между собой модуля.
Первый модуль составляют условия идентифицируемости моделей в пространстве состояний. Этот модуль является базовым, определяющим суть предлагаемого подхода. В диссертации разработаны разнообразные необходимые и/или достаточные условия локальной и глобальной идентифицируемости (условия ранга и порядка). Эффективность здесь достигается тем, что матрицы в условиях идентифицируемости являются разреженными, и, что очень важно, элементы этих матриц являются линейными функциями оцениваемых параметров вне зависимости от размерности модели. Условия идентифицируемости адаптированы для различных подклассов модельных структур, что выражается в сокращении размерности матриц идентифицируемости и уточнении условий порядка, а, в конечном счете — в повышении эффективности предлагаемого подхода за счет уменьшения времени счета и увеличения размерности моделей, допускающих качественный анализ с получением аналитических результатов.
Второй модуль составляют методы и алгоритмы компьютерной алгебры для проверки условий глобальной идентифицируемости и дискриминируемости модельных структур. Необходимость разработки таких методов была обусловлена отсутствием или недостаточной эффективностью для конкретных задач соответствующих программных средств в существующих системах символьных вычислений. Разработанные в диссертации методы компьютерных вычислений позволяют повысить размерность решаемых задач в 2−3 раза.
Третий модуль составляют способы элиминирования локальной и глобальной неидентифицируемости, позволяющие на основе результатов анализа неидентифицируемой модели определить, какие дополнительные ограничения или изменения в схеме проведения эксперимента приведут к повышению степени идентифицируемости. Разработанные в диссертации способы элиминирования используют качественную информацию, полученную при проверке условий идентифицируемости, составляющих основу предлагаемого подхода.
Суммируем основные результаты диссертационной работы с указанием их практической ценности:
1. Предложена двухшаговая процедура анализа идентифицируемости моделей в пространстве состояний с произвольной параметризацией, позволяющая сократить сложность необходимых вычислений. На первом шаге предлагается исследовать идентифицируемость естественно параметризованной модельной структуры, в которой оцениваемыми параметрами являются элементы системных матриц. На втором шаге выясняется возможность определения конечных параметров из идентифицируемых системных параметров. Установлены пределы эмпирической информации при оценивании системных параметров. Предлагается эффективный способ задания ограничений на системные параметры.
2. Разработаны условия ранга (необходимые и достаточные условия) для локальной и глобальной идентифицируемости системных параметров четырех наиболее важных в смысле практического применения классов модельных структур. Показана взаимосвязь между классами и соответствующими условиями идентифицируемости. Использование условий для наиболее подходящего конкретному случаю класса модельных структур позволяет понизить размерность матриц в условиях ранга и, тем самым, уменьшить сложность необходимых символьных вычислений, обеспечивая максимальную эффективность.
3. Разработаны условия порядка, чаще всего являющиеся лишь необходимыми условиями идентифицируемости, для различных классов модельных структур, включая класс моделей камерного типа, широко используемых в химической кинетике, фармакокинетике, экологии. Практическая польза от разработанных условий порядка заключается в том, что для их проверки не требуется проведения трудоемких символьных вычислений. Подобные условия рекомендуется использовать на начальном этапе конструирования модельной структуры на основе имеющейся априорной информации для обоснованного отбрасывания целого множества параметризаций, заведомо являющихся не-идентифицируемыми.
4. Для локально неидентифицируемых моделей разработан метод построения системы детерминирующих уравнений для поиска параметрических функций, допускающих локальное оценивание. Предложены эффективные способы элиминирования локальной неидентифицируемости, не требующие решения системы детерминирующих уравнений.
5. Разработан метод компьютерной алгебры, являющийся комбинацией метода базисов Гребнера и метода исключения Гаусса, для проверки необходимого и достаточного условия глобальной идентифицируемости. Данный метод включает алгоритм для проверки достаточного условия глобальной идентифицируемости, позволяющий получить соотношения, для которых достаточное условие не выполняется, и последующую процедуру проверки необходимости условия на основе вычисленных соотношений.
6. Предложен метод анализа глобальной идентифицируемости, базирующийся на построении истинных сепараторов параметрического пространства. Данный метод открывает перспективы анализа глобальной идентифицируемости модели с использованием условий локальной идентифицируемости нескольких модельных структур, получающихся из исходной структуры добавлением ограничений-сепараторов. Эффективность предложенного метода вытекает из сравнения трудоемкости (и принципиальной возможности), с одной стороны, решения системы алгебраических уравнений в символьном виде и, с другой стороны, вычисления ранга нескольких символьных матриц. Предложен способ элиминирования глобальной неидентифицируемости с использованием уравнений сепараторов.
7. Предложено необходимое и достаточное условие дискриминируемости конкурирующих модельных структур, положенное в основу разработки метода компьютерной алгебры для исследования дискриминируемости.
8. С использованием разработанного в диссертации подхода проведен анализ идентифицируемости ряда модельных структур, описывающих конкретные физические процессы, происходящее в технических, химических, биологических системах. Сравнение подхода с другими методами позволило убедительно показать его эффективность, как по времени счета, так и по принципиальной возможности получения результатов в символьном виде.
9. Построен электронный каталог сведений об управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости модельных структур камерного типа. Предложенная иерархическая структура каталога позволяет избежать дублирования симметричных моделей и предоставляет возможность оперативного получения информации. Собранная информация позволяет судить о соотношении числа моделей неполного ранга, локально и глобально идентифицируемых моделей в выбранном естественным образом множестве моделей.
