Фрактальные методы анализа и прогнозирования для самоорганизованных технических, биологических и экономических систем

Актуальность темы

исследования.

Построение прогнозирующих моделей, для предсказывания дальнейшего поведения наблюдаемой величины является крайне актуальной задачей. При этом наблюдаемая величина будет являться результатом работы какой-либо самоорганизованной системы. Но для построения адекватной модели, предсказывающей дальнейшее изменение какой-либо величины, необходимо знать принципы работы системы. Однако в природе мы часто сталкиваемся с самоорганизованными системами, принцип работы которых очень сложен и на момент исследования в принципе не известен. Примеров таких самоорганизованных систем можно привести целое множество, однако следует ограничиться теми, которые рассмотрены в данной диссертационной работе. В частности, рынки энергоносителей и драгоценных металлов являются самоорганизованными системами (принцип формирования мирового рынка предполагает его самоорганизацию). Однако, даже математически описав все законы функционирования данных рынков, придется столкнуться со множеством неизвестных величин, без учета которых модель будет не полная и достоверного прогноза не даст. Следующими примерами хаотических систем являются рассмотренные в данной работе такие биологические системы, как желудочно-кишечный тракт человека и человеческий мозг. Эти системы также, безусловно, являются самоорганизованными, поскольку сам человеческий организм самоорганизуется из хромосомного набора еще в утробе матери и в этом процессе участие предыдущего поколения, кроме энергетического обеспечения, крайне минимально. Все эти системы чрезвычайно сложны, и полные модели этих систем построить практически невозможно. Однако, на практике чаще всего приходится сталкиваться с еще более сложной задачей. И самой сложной и интересной из них, по мнению автора диссертации, является построение прогностической модели самоорганизованной системы на основании одного лишь наблюдения за изменением поведения во времени одной лишь выходной величины системы. Это так называемая задача построения модели «черного ящика», внутри которого заключена неравновесная нелинейная самоорганизованная система. Причем основной информацией об этой системе является только временной ряд, представляющий собой зависимость выходной величины системы от времени. Для рассмотренных систем такие величины следующие: для рынка фьючерсов — цены на основные энергоносители, для рынка мировых товаров — цены на основные драгоценные металлы, для валютных рынков — соотношение евро к доллару (ежедневные значения для продолжительных торгов и ежеминутные значения для внутридневного трейдинга), для желудочно-кишечного тракта человекаэлектроэнтерографический (ЭГЭГ) сигнал, для человеческого мозга — электроэнцефалограмма (ЭЭГ).

Кроме вышеперечисленных, в работе уделено внимание таким техническим системам, как различные разновидности импульсных стабилизаторов напряжения. Это во многом уникальные системы. Во-первых, они являются реально существующими системами, которые обладают натурной моделью, и при учете достаточного количества параметров их математические модели могут с высокой степенью точности описать (или предсказать) их работу. Причем ни один из параметров не является математической абстракцией и абсолютно реален. Во-вторых, эти системы, несмотря на то, что описываются относительно небольшим числом уравнений, демонстрируют весьма сложные нелинейные эффекты. Это похоже на то, как простое популяционное логистическое уравнение дает сложнейшую нелинейную динамику и при изменении одного лишь его коэф-та (бифуркационного параметра), что, в свою очередь, позволяет построить бифуркационную диаграмму, в которой присутствует большинство бифуркационных явлений, отождествляемых с катастрофами.

Построение предсказывающих моделей и методов для рассмотренных выше систем является крайне актуальной задачей. Необходимо разработать или преобразовать алгоритм, позволяющий анализировать сигнал или временной ряд, поступающий от неравновесной нелинейной системы, и построить по результатам этого анализа прогностическую модель, дающую прогноз дальнейшего поведения этой системы. Соответственно, данный алгоритм также необходимо адаптировать к каждой конкретной области с учетом ее особенностей.

Один из основных этапов данного алгоритма, требующий наиболее пристального внимания — метод выявления временного лага. Эта задача особенно актуальна при анализе временных выборок, представленных достаточно большим количеством отсчетов, к коим, например, относится рассматриваемый в работе электрогастроэнтерографический сигнал. Как будет показано в работе, существующие на данный момент методы определения временного лага не дают вразумительных результатов даже для аналитических моделей дискретно-нелинейных систем. Поэтому одной из главных целей данной диссертационной работы будет являться разработка фрактального метода выявления временного лага.

Вплоть до появления работ с участим автора данной диссертационной работы не поднималась задача об установлении начального отсчета исходного временного ряда для выборки с известным временным лагом. Данный номер первого отсчета при восстановлении псевдофазового пространства можно рассматривать как аналогию с фазовым сдвигом для гармонических сигналов. Это наиболее актуально для рассматриваемых в работе дискретно-нелинейных систем, у которых моменты переключения внутреннего тактового генератора наиболее полно отражают динамику их работы. Таким образом, актуальной является задача разработки метода выявления так называемого фазового сдвига применительно к дискретно-нелинейным системам.

Построение прогностических моделей для экономических систем было и будет являться крайне актуальной задачей. На данный момент существует множество методов для примерного предсказания поведения каких-либо экономических рядов. Современная тенденция такова, что наиболее хорошо применительно к некоторым сегментам рынка работают модели, учитывающие максимально возможное число параметров. В частности, модели, построенные на нейронных сетях, должны, согласно современным требованиям учитывать даже природные факторы, такие как погода и время года (не говоря уже о сезонных распродажах) [1]. Возможно, такой переизбыток информации и полезен для рынка продаж бытовых товаров и товаров повседневного спроса. Однако, данные модели разрабатываются целыми закрытыми институтами и являются крайне дорогостоящими продуктами, ориентированными на ограниченное число заказчиков. Соответственно, для нашей страны получение таких моделей также не является возможным из-за коммерческой тайны.

В данной диссертационной работе предложен совершенно иной подход. Он предлагает произвести анализ сложности динамики какого-либо экономического процесса на основании одного лишь временного ряда. Цель такого анализа — выявление момента качественного изменения поведения исследуемой экономической системы (т.е. кризиса в терминологии теории катастроф). С помощью фрактальных методов анализа и предложенной автором их модификации возможно определить моменты качественного изменения в поведении системы и, соответственно, предсказать их дальнейшее поведение в относительно долгосрочной перспективе. В рамках данного подхода самой актуальной задачей, решаемой разрабатываемыми методами, является выявление момента наступления крупных экономических кризисов (таких, например, как в 2008 г.), то есть их предсказания в краткосрочной перспективе для конкретных рынков энергоносителей и драгоценных металлов.

Однако, для некоторых практических задач и систем, рассмотренных в данной диссертационной работе, построение прогностической модели не является главной целью. В частности, для биологических систем наиболее актуально дифференцировать ЭГЭГ сигналы, поступающие от нормально и не нормально функционирующих систем, а для ЭЭГ сигналов классифицировать их отдельные участки для выявления функционального состояния мозга в диагностических целях.

Поскольку в работе рассматриваются самоорганизованные системы, разрабатываемые методы их анализа должны быть фрактальными, что наиболее хорошо согласуется с их природой.

Таким образом, решение вышеперечисленных проблем является крайне актуальной задачей.

Цели и задачи исследования.

Основные цели и задачи можно свести к следующим пунктам:

— построение математических моделей импульсных стабилизаторов напряжения для имитации их работы в неравновесном состоянии с учетом различных активных потерь;

— проведение разностороннего анализа пространственно-временного хаоса в дискретно-нелинейных системах с помощью фрактальных мер детерминированного хаоса и исследование их фрактальных и мультифрактальных свойств);

— разработка метода выявления временного лага для неравновесных нелинейных систем и его апробирование на примере дискретно-нелинейных систем;

— разработка метода предсказания качественной смены поведения системы применительно к рынкам драгоценных металлов и энергоносителей;

— применение разработанных методов фрактального анализа к выявлению нарушений в работе ЖКТ путем анализа биопотенциальных сигналов;

— разработка метода анализа биопотенциалов головного мозга с целью выявления фазы сна и построения гипнограммы.

Объект исследования. Первоначальными объектами исследования явились дискретно-нелинейные системы, которые были представлены импульсными стабилизаторам напряжения различных типов и структур, а также с различным видами обратных связей. Следующими объектами исследования явились системы мирового ценообразования на основные энергоносители. В частности, исследовались рынки фьючерсов на нефть-сырец и отопительную нефть. Также исследовались рынки ценных металлов, таких как платина, золото и палладий. Кроме того, исследовались такие экономические системы, как мировые валютные рынки. В частности, рассматривались ежедневные и ежеминутные курсы соотношения единой европейской валюты (Euro) к американскому доллару (USD). Также в рамках диссертационной работы исследовались биологические системы. Были рассмотрены последовательности биоэлектрических потенциалов в виде эквидистантных временных рядов, поступающих от желудочно-кишечного тракта человека. Также были рассмотрены биоэлектрические потенциалы человеческого мозга в различных стадиях его функционирования. Таким образом, было проведено исследование нелинейной динамики, пространственно-временного хаоса и явления самоорганизации в неравновесных физических, биологических и экономических системах.

Предмет исследования. Предметом исследования в дискретно нелинейных системах явились их выходные сигналы, представленные в виде эквидистантных временных рядов. Поскольку в качестве дискретно-нелинейных систем выступали импульсные стабилизаторы напряжения, то рассматривалось их выходное напряжение. Основное внимание уделено исследованию данных систем в неравновесном состоянии, когда их фазовое пространство демонстрировало проявление пространственно-временного хаоса, на фоне которого явственно прослеживалось явление самоорганизации, выраженное во фрактальных и мультифрактальных свойствах сигналов, поступающих от исследуемых систем.

Для данных систем решалась задача выявления временного лага и фазового сдвига для корректного вычисления фрактальных характеристик. Затем данные характеристики использовались для построения нейронных сетей, предсказывающих дальнейшее поведение данных систем. Показано на конкретном примере каким образом можно использовать данные прогнозирующие системы для вычисления спектра ляпуновских характеристических показателей и определения горизонта прогнозирования с помощью энтропии Колмогорова.

Для экономических систем были исследованы временные ряды фьючерсных цен на такие энергоносители, как нефть-сырец и отопительная нефть, и решалась задача разработки фрактального метода предсказания приближающейся смены тенденции. Та же самая задача решалась и применительно к ценовым рядам стоимости таких драгоценных металлов, как платина, золото и палладий. Также было проведено исследование ежедневных и ежеминутных соотношений Euro/USD с целью выявления корреляции между их фрактальными свойствами.

Одним из предметов исследования биологических систем явился низкочастотный сигнал, поступающий от ЖКТ человеческого организма. Задачей исследования ставилось выявление различий во фрактальных свойствах сигналов здоровых людей и пациентов с жалобами на работу ЖКТ. Для решения данной задачи был применен метод, разработанный на основе фрактального анализа дискретно-нелинейных систем. Другим предметом исследования биологических систем была электроэнцефалограмма человеческого головного мозга, находящегося в различных стадиях бодрствования и сна. Задачей исследования данного предмета была разработка фрактального метода выявления стадии сна на основании одного лишь биоэлектрического сигнала, снятого с кожного покрова головы. На основании полученных результатов строится гипнограмма, позволяющая специалисту диагностировать различные расстройства здоровья, связанные со сном.

Методологическая и теоретическая основа исследования.

Методы исследования. Бенуа Мандельброт — математик, впервые предложивший термин «фрактал» применительно к самоподобным структурам, является одним из основателей фрактальной методологии. Используемый в работе метод нормированного размаха Хёрста (ИУЗ анализ) впервые был применен к фрактальным одномерным рядам именно Мандельбротом. Фрактальность многих биологических и экономических систем создается за счет явления самоорганизации. Наиболее основательно теорию самоорганизации впервые рассмотрел Герман Хакен, развив целую отрасль науки, названную им впоследствии «синергетика». В рамках синергетики, Хакен выявил и исследовал используемый в данной диссертационной работе принцип подчинения, позволяющий сложнейшие хаотические процессы описать относительно небольшим числом независимых переменных. Извлечение максимальной информации о фрактальных свойствах систем на основании только лишь одномерного ряда на их выходе стало возможным благодаря теореме Такенса и его методу восстановления аттрактора в псевдофазовом пространстве. Впоследствии к этому аттрактору становятся применимы такие методы, как метод Грассбергера-Прокаччиа для вычисления корреляционной размерности, метод ложных ближайших соседей, метод аппроксимационной энтропии и различные методы определения спектра фрактальных размерностей Реньи с помощью различных методов покрытия фазового пространства. Определение странности аттрактора производится с использованием определения устойчивостей по Ляпунову и Пуассону. Определение спектра ляпуновских характеристических показателей (ЛХП) производилось по модифицированному алгоритму Бенеттина с использованием стандартного метода ортогонализации Грама-Шмидта. Для рассматриваемых временных рядов это стало возможным благодаря предложенному В. А. Головко методу вычисления спектра ЛХП с использованием нейросетевого моделирования. Построение нейронных сетей производилось на теоретических базах теоремы Колмогорова-Арнольда и работы Хехт-Нильсена. Предлагаемые в работе прогнозирующие нейронные сети полностью отвечают требованиям объединенной теоремы Колмогорова-Арнольда-Хехт-Нильсена, вытекающим из ее следствий. Для обучения нейронных сетей применялись такие методы, как стандартный метод обратного распространения ошибки и градиентный метод Левенберга-Марквардта. Определение горизонта прогнозирования производилось с помощью вычисления энтропии Колмогорова через положительные члены спектра ЛХП.

Применение результатов фрактального анализа к экономическим системам производилось на основании предложенной Петерсом теории фрактального рынка. Некоторые практические аспекты конкретных реализаций многих вышеперечисленных методов можно найти в работах Анищенко.

Информационная база исследования. В качестве основной методологической и информационной базы исследования использовались методы и данные из научных книг и статей, а также иностранных научных статей по исследуемой тематике на языке оригинала. Также в работе использовались данные, взятые из докладов на различных международных конференциях. Основой диссертационной работы являются данные, взятые автором из материалов собственных расчетов и исследований, основные результаты которых опубликованы в виде монографий и статей, а также доложены на различных всероссийских и международных конференциях. Исследуемые в рамках диссертационной работы финансовые временные ряды брались из открытых бесплатных источников сети Интернет. Рассматриваемые в работе биоэлектрические сигналы мозга и желудочно-кишечного тракта были получены в результате их клинического съема с пациентов-добровольцев, проводившегося на базе кафедры неврологии при СОКБ им. Калинина и в городской больнице № 8 г. Самары соответственно.

Научная новизна работы состоит в разработке теоретических положений, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное научное достижение в теории анализа самоорганизованных неравновесных технических, экономических и биологических систем, а именно:

— впервые введено понятие «фазового сдвига» применительно к эквидистаннтным временным рядам различного происхождения и предложен фрактальный метод его выявления.

— предложена модификация метода БЛС применительно к финансовым временным рядам, которая впервые применена в качестве индикатора, предсказывающего качественное изменение в поведении исследуемой экономической системы;

— впервые применен разработанный алгоритм фрактального анализа к электрогастроэнтерографическому сигналу с целью выявлению нарушений в работе ЖКТ;

— впервые применен фрактальный метод нормированного размаха к выявлению стадий сна при полисомнографии;

— впервые проведен мультифрактальный анализ дискретно-нелинейных систем;

— впервые проведено обобщение для неравновесных технических, экономических и биологических систем с точки зрения теории самоорганизации (синергетики) для определения сложности происходящих в них динамических процессов.

Практическая значимость работы.

Разработанные в диссертационной работе фрактальные методы выявления временного лага и фазового сдвига могут найти широкое применение в прикладных и теоретических областях науки, связанных с анализом хаотических временных рядов. Это области исследования нелинейной динамики, прикладной физики, синергетики фрактального анализа. Разработанные методы для экономических систем могут быть применены в экономических областях связанных со стратегическим планированием торгово-экономической политики. Разработанные методы анализа электрогастроэнтерограмм совместно с прикладным оборудованием могут быть применены не только в стационарах, где находятся послеоперационные пациенты, но и во всех широкопрофильных поликлиниках. Разработанный метод анализа электроэнцефалограмм может быть использован в любых медицинских учреждениях, связанных с неврологией. На базе методологии могут быть разработаны малогабаритные или мобильные приборы регистрации ЭЭГ с автоматизированным построением гипнограмм для широкого спектра задач.

Апробация результатов исследования.

Результаты диссертационной работы апробировались на IX Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2002 г.), X Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2003 г.), IX Международной НТК «Радиолокация, навигация и связь» (г. Воронеж, 2003 г.), II Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2003 г.), XI Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2004 г.), III Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Волгоград, 2004 г.), IV Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Нижний Новгород, 2005 г.), XII Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2005 г.), V Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2006 г.), VI международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Казань, 2007 г.), VII Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2008 г.), XVI Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2009 г.), X Международной научно-технической конференции «Проблемы техники и технологии телекоммуникации» (г. Самара, 2009 г.), XVII Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2010 г.), IX Международной НТК «Физика и технические приложения волновых процессов» (г.Челябинск, 2010 г.), XVIII Российской научной конференции профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов (г. Самара, 2011 г.).

Основные материалы диссертационной работы опубликованы в следующих научных журналах, рекомендованных ВАК :

Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2003. — Т. 6. — № 3. Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2004. — Т. 7. — № 3. Электромагнитные волны и электронные системы. — Москва, 2005. — Т. 10. — № 9 Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2006. — Т. 9. — № 4 Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2006. — Т. 9. — № 4 Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2007. — Т. 10. — № 4 Нелинейный мир. — Москва, — 2008. — Т. 6. — № 7.

Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2008. — Т. 11. — № 3 Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2009. — Т. 12. — № 3 Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. — 2010. — Т. 18 — № 1 Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2010. — Т. 13. — № 2 Экономические науки — 2010, Май, № 5(66).

Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2010. — Т. 13. — № 3 Биомедицинская радиоэлектроника. — 2010. — № 10.

Физика волновых процессов и радиотехнические процессы, — 2010. — Т. 13 — № 4 ДАН, 2011.-Том 436.-№ 1 ISSN 1028−3358 Doklady Physics, 2011, Vol. 56, № 1, Инфокоммуникационные технологии. — 2011. — № 1 (9).

Физика волновых процессов и радиотехнические процессы, — 2011. — Т. 14 — № 1 Физика волновых процессов и радиотехнические процессы, — 2011. — Т. 14 — № 2.

Также материалы диссертации составили основу для написания монографий:

1. Антипов О. И., Неганов В. А., Потапов A.A. Детерминированный хаос и фракталы в дискретно-нелинейных системах. — М.: Радиотехника, 2009. — 235 с.

2. Антипов О. И., Неганов В. А. Анализ и прогнозирование поведения временных рядов: бифуркации, катастрофы, синергетика, фракталы и нейронные сети. — М.: Радиотехника, 2011.-350 с.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Фрактальный и мультифрактальный анализ дискретно-нелинейных систем.

2. Фрактальный метод выявления временного лага и фазового сдвига хаотических временных рядов.

3. Алгоритм построения прогнозирующих нейронных сетей по результатам фрактального анализа временных рядов.

4. Фрактальный метод прогнозирования экономических кризисов по финансовым временным рядам.

5. Алгоритм фрактального анализа электрогастроэнтерографического сигнала.

6. Фрактальный метод определения фазы сна по электроэнцефалографическому сигналу.

Обоснованность и достоверность результатов работы подтверждается:

— использованием обоснованных физических моделей и строгих (или с известными оценками сходимости) математических методов решения поставленных задач;

— сравнением отдельных полученных результатов с расчетными данными, приведенными в научной литературе;

— сравнением некоторых результатов математического моделирования с результатами исследования построенного макета.

Структура и объем диссертации

.

Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка использованных источников из 183 наименований, и содержит 300 страниц текста, в том числе 182 рисунков.

6.4. Выводы по главе 6.

Таким образом, с помощью разработанных в работе алгоритмов были исследованы сигналы различного происхождения, поступающие от биологических систем. Применение данных алгоритмов позволило решить различные задачи, возникающие при диагностировании. В частности, предлагаемый автором алгоритм полного фрактального анализа с использованием авторских модификаций метода ложных ближайших соседей позволил дифференцировать электрогастроэнтерографические сигналы на поступающие от здоровых людей и от пациентов с жалобами на работу ЖКТ. Правомерность использования фрактальных методов, применительно к электрогастроэнтерографическим сигналам подтверждается проведенным автором предварительным их анализом, который показал наличие и них фрактальных свойств.

Также, авторский фрактальный подход был применен к анализу электроэнцефалограммы при полисомнографии. Это позволило автоматизировать процедуру определения принадлежности каждой отдельной эпохи сна к соответствующей стадии функционирования человеческого мозга. Показан удовлетворительный результат применения фрактального подхода, сопоставимый с результатом, выдаваемым квалифицированным специалистом при стандартном, ручном анализе. В результате, кропотливый труд дипломированных специалистов, затрачивающих в среднем по несколько часов на анализ одной полисомнограммы, может быть сведен к нескольким минутам работы современного мобильного компьютера. Также автором предложен алгоритм анализа ЭЭГ сигнала, основанный на методе нормированного размаха Хёрста с использованием известных статистической обработки данных. Показано, что данный алгоритм не только дает результаты с такой же точностью, что и другие фрактальные методы, но и обладает большей вычислительной скоростью, отличающейся минимум на порядок от всех остальных рассмотренных методов.

Таким образом, показано, что разработанные автором фрактальные алгоритмы позволяют использовать их в диагностических целях путем автоматизированного анализа различных сложнейших биологических сигналов.

Заключение

.

В заключении необходимо сформулировать следующие основные выводы:

1. Построены математические модели дискретно-нелинейных систем с учетом активных потерь, и доказана правильность их работы как путем сравнения с работами зарубежных авторов, так и экспериментальным путем.

2. Подтверждены фрактальные и мультифрактальные свойства дискретно-нелинейных систем, что подтверждает их неравновесное состояние и возникшее на это фоне явления самоорганизации.

3. Предложен новый алгоритм выявления временного лага на основании исследования неравновесного состояния дискретно-нелинейных систем, содержащий авторские модификации известных фрактальных методов.

4. Предложен новый алгоритм выявления «фазового сдвига» для дискретно-нелинейных систем, основанный на известном фрактальном методе.

5. Разработан алгоритм построения прогностических моделей на базе нейронных сетей для неравновесных динамических систем, предсказывающих их поведение, содержащий авторские методы выявления временного лага и фазового сдвига.

6. Предложен новый метод, основанный на модификации известного фрактального метода, позволяющий анализировать финансовые временные ряды и предсказывать тенденции в экономических системах.

7. Предложен алгоритм анализа (включающий авторские модификации фрактальных методов) биоэлектрических сигналов ЖКТ, позволяющий дифференцировать здоровых людей от людей с неправильно функционирующими ЖКТ.

8. Предложен алгоритм анализа ЭЭГ сигналов при полисомнографии, позволяющий дифференцировать различные стадии функционирования человеческого мозга в диагностических целях. Данный алгоритм основан на фрактальных методах с использованием синергетического подхода.