Стабилизация хаотического поведения динамических систем
Диссертация
Значительную роль в развитии теории детерминированного хаоса сыграли различного рода абстрактные математические конструкции. В частности, чтобы опровергнуть гипотезу о плотности систем типа Морса-Смейла в пространстве Сг-диффеоморфизмов, С. Смейл построил пример («подкова Смейла»), показывающий, что если д — диффеоморфизм плоскости, обладающий трансверсальной гомоклиниче-ской траекторией… Читать ещё >
Содержание
- Введение
- 2. Хаос в динамических системах. Стабилизация хаотической динамики
- 2. 1. Общие положения
- 2. 2. Гомоклинические структуры
- 2. 3. Управление хаотическими динамическими системами
- 2. 3. 1. Метод резонансных возбуждений
- 2. 3. 2. Метод Гребоджи-Отта-Йорка
- 2. 4. Подавление хаоса
- 2. 4. 1. Параметрическое возбуждение
- 3. 1. Осциллятор Дюффинга
- 3. 2. Нелинейный маятник
- 3. 3. Метод Мельникова
- 4. 1. Общий подход
- 4. 2. Частные случаи
- 4. 2. 1. Случай
- 4. 2. 2. Случай
Список литературы
- A. Poincare. Calcul des Probabilities.— Paris, Gauthier-Villars, 1912.
- L. Boltzman. Uber die mechanischen Analogien des zweiten Hauptsatzes der Thermody-namik. // Journ. f. Mathem., 1887, bd.100, s.201−212.
- L. Boltzmann. Vorlesungen uber Gastheorie.— Leipzig, 1896.
- JI. Больцман. Статьи и речи.— М., Наука, 1970.
- P. Ehrenfest, Т. Ehrenfest.— Enzyklopaedie d. Math. Wiss., Bd. IV, T1.32. Leipzig, 1911.
- П. Эренфест. Сборник статей.— M., Наука, 1972.
- М. Кац. Вероятность и смежные вопросы в физике.— М., Мир, 1965.
- The Bolzmann Equation: Theory and Application. Ed. E.G.D. Cohen and W. Thirring.— Springer, Berlin, 1973.
- E. Fermi, J. Pasta and S. Ulam. Studies of Nonlinear Problems.— Los Alamos Scientific Report, LA-1940, 1955.
- J. Ford. Equipartion of energy for nonlinear systems. // J. Math. Phys., 1961, v.2, No3, p.387−393.
- E.A. Jackson. Nonlinear coupled oscillators. Perturbation theory: ergodic problem. //J. Math. Phys., 1963, v.4, No4, p.551−558
- А. Пуанкаре. Избранные труды. Том 1.— М., Наука, 1973.
- G.D. Birkhoff. Dynamical Systems.— American Mathematical Society, N.Y., 1927.
- H.C. Крылов. Работы no обоснованию статистической физики.— M.-JL, Изд-во АН СССР, 1950.
- М. Борн. Возможно ли предсказание в классической механике? // Успехи физ. наук, 1959, т.69, вып.2, с. 173−187.
- J. Ford. Foreword to Symbolic dynamics and hyperbolic dynamic systems by V.M. Alekseev and M.V.Yakobson. // Phys. Rep., 1981, v.75, No5, p.288−289.
- А.Н. Колмогоров. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега. // ДАН СССР, 1958, т.119, No5, с.861−864.
- А.Н. Колмогоров. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов. // ДАН СССР, 1959, т. 124, No4, с.754−755.
- Я.Г. Синай. О понятии энтропии динамической системы. // ДАН СССР, 1959, т.124, No4, с.768−771.
- S. Smale. Diffeomorphisms with many periodic points.— In: Differential and Combinatorial Topology, ed. S.S.Cairns. Princeton University Press, 1965, p.63−80.
- С. Смейл. Дифференцируемые динамические системы. // Успехи матем. наук, 1970, т.25, вып.1, с.113−185.
- Д.В. Аносов. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны.— М., Наука, 1967.
- Р. Боуэн. Методы символической динамики.— М., Мир, 1979.
- A. Katok, В. Hasselblatt. Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems.— Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995.
- Нитецки. Введение в дифференциальную динамику.— М., Мир, 1975.
- A. Lasota, М.С. Mackey. Chaos, Fractals and Noise. Stochastic Aspects of Dynamics.— Springer, Berlin, 1994.
- S. Boccaletti, C. Grebogi, Y.-C. Lai, H. Mancini, D. Maza. The control of chaos: theory and applications. // Phys. Rep., 2000, v.329, No, p. 103−197.
- B.B. Алексеев, А. Ю. Лоскутов. Дестохастизация системы со странным аттрактором посредством параметрического воздействия. // Вестник Моск. ун-та, сер. Физ.-Астр., 1985, т.26, № 3, с.40−44.
- В.В. Алексеев, А. Ю. Лоскутов. Управление системой со странным аттрактором посредством периодического параметрического воздействия. // Докл. АН СССР, 1987, т.293, No6, с. 1346−1349.
- Е. Ott, С. Grebogi, J.A. Yorke. Controlling chaos. // Phys. Rev. Lett., 1990, v.64, Noll, p.1196−1199.
- F.J. Romeiras, E. Ott, C. Grebogi, W.P. Dayawansa. Controlling chaotic dynamical system. // Physica D, 1992, v.58, Nol-4, p. 165−192.
- T. Shinbrot, C. Grebogi, E. Ott, J.A. Yorke. Using small perturbations to control chaos. // Nature, 1993, v.363, p.411−417.
- T. Shinbrot. Progress in the control of chaos. // Adv. Phys., 1995, v.44, No2, p.73−111.
- E. Ott, M.L. Spano. Controlling chaos. // Physics Today, 1995, v.48, No5, p.34−40.
- A. Loskutov. Chaos and control in dynamical systems. // Computational Mathematics and Modeling, 2001, v.12, No4, p.314−352.
- B.K. Мельников. Устойчивость центра при периодических по времени возмущениях. // Труды Моск. матем. об-ва, 1963, т.12, Nol, с.3−52.
- J. Milnor. On the concept of attractor. // Commun. Math. Physics, 1985, v.99, No2, p.177−196.
- B.C. Афраймович. Об аттракторах.— В кн. Нелинейные волны. Динамика и эволюция. Ред. А.В.Гапонов-Грехов, М. И. Рабинович.— М., Наука, 1989, с.16−29.
- J. Guckenheimer, P.J. Holmes. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcation of Vector Fields.— Springer, Berlin, 1990.
- В.И. Арнольд, B.C. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Теория бифуркаций.— В кн. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 5.— М., ВИНИТИ, 1986, с.5−218.
- А.Н. Шарковский. О проблеме изоморфизма динамических систем. В кн.: Труды V Междунар. конф. по нелинейным колебаниям.— Киев, Наук, думка, 1970, т.2, с.541−545.
- L. Block. Homoclinic points of mappings of the interval. // Proc. Amer. Math. Soc., 1978, v.72, p.576−580.
- А.Н. Шарковский, Ю. Л. Майстренко, Е. Ю. Романенко. Разностные уравнения и их приложения.— Киев, Наукова думка, 1986.
- J. Palis, F. Takens. Hyperbolicity and creation of homoclinic orbits. // Ann. of Math., 1987, v.125, p.337−374.
- J. Palis, F. Takens. Hyperbolicity and Sensitive-Chaotic Dynamics at Homoclinic Bifurcations.— Cambridge Univ. Press., Cambridge, 1993.
- L. Mora, M. Viana. Abundance of strange attractors. // Acta Math., v.171, p.1−71.
- S.E. Newhouse. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms. // Publ. Math. IHES, 1979, v.50, p.101−151.
- S.E. Newhouse. Lectures on dynamical systems. In: Progress in Mathematics, No8.— Birkhauser, Boston, 1978, p.1−114.
- S. Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos.— Springer, Berlin, 1990.
- P.J. Holmes, F.C. Moon. Strange attractors and chaos in nonlinear mechanics.— Trans. ASME, Ser. E, 1983, v.50, No4, p.1021−1032.
- J.A. Yorke, K.A. Alligood. Cascades of period doubling bifurcations: a prerequisite for horseshoes. // Bull. AMS, 1983, v.9, p.319−322.
- M. Viana. Chaotic dynamical behaviour.— Proc. of Xlth Int. Congress of Math. Phys. (Paris, 1994).-— Internat. Press, Cambridge, MA, 1995, p.1142−1154.
- C. Robinson. Bifurcation to infinitely many sinks. // Commun. Math. Phys., 1983, v.90, p.433−459.
- M. Viana. Strange attractors in higher dimensions. // Bull. Braz. Math. Soc., 1993, v.24, p.13−62.
- N. Romero. Persistence of homoclinic tangencies in higher dimensions.— Thesis IMPA, 1992.
- J. Palis, M. Viana. High dimension diffeomorphisms displaying infinitely many periodic attractors. // Ann. of Math., 1994, v.140, p.207−250.
- Л.П. Шильников. Об одном случае существования счетного множества периодических движений. // Докл. АН СССР, 1965, т.160, No3, с.558−561.
- L. Perko. Differential Equations and Dynamical Systems.— Springer, Berlin, 1996.
- B.B. Алексеев, А. Ю. Лоскутов. О возможности управления системой со странным аттрактором.— В сб. Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Том VIII.— Ленинград, Гидрометеоиздат, 1985, с.175−189.
- G. Chen, X. Dong. Prom chaos to order — Perspectives and methodologies in controlling chaotic nonlinear dynamical systems. // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1993, v.3, No6, p. 1363−1409.
- T. Shinbrot. Chaos: Unpredictable Yet Controllable? // Nonlinear Sci. Today, 1993, v.3, No2, p. 1−8.
- J.F. binder, W.L. Ditto. Removal, suppression, and control of chaos by nonlinear design. // Appl. Mech. Rev., 1995, v.48, Nol2, p.795−807.
- A. Hiibler, R. Georgii, M. Kuckler, W. Stelzl, E. Lusher. Resonant stimulation of nonlinear damped oscillators by Poincare maps. // Helv. Phys. Acta, 1988, v.61, p.897−900.
- A. Hiibler. Adaptive control of chaotic systems. // Helv. Phys. Acta, 1989, v.62, p.343−346.
- E. Lusher, A. Hiibler. Resonant stimulations of complex systems. // Helv. Phys. Acta, 1989, v.62, p.544−551.
- G. Reiser, A. Hiibler, E. Luscher. Algorithm for the determination of the resonances of anharmonic damped oscillators. // Z. Naturforsch A, 1987, v.42, p.803−807.
- E.A. Jackson. Control of dynamics flows with attractors. // Phys. Rev. A, 1991, v.44, p.4839−4853.
- S. Rajasekar, M. Lakshmanan. Algorithms for controlling chaotic motion: application for the BVP oscillator. // Physica D, 1993, v.67, Nol-3, p.282−300.
- Ph.V. Bayly, L.N. Virgin. Practical considerations in the control of chaos. // Phys. Rev. E, 1994, v.50, Nol, p.604−607.
- T. Shinbrot, E. Ott, C. Grebogi, J.A. Yorke. Using chaos to direct trajectories to targets. // Phys. Rev. Lett, 1990, v.65, p.3215−3218.
- T. Shinbrot, C. Grebogi, E. Ott, J.A. Yorke. Using chaos to target stationary states of flows. // Phys. Lett. A, 1992, v.169, p.349−354.
- T. Shinbrot, E. Ott, C. Grebogi, J.A. Yorke. Using chaos to direct orbits to targets in systems describable by a one-dimensional map. // Phys. Rev. A, 1992, v.45, No6, p.4165−4168.
- E. Kostelich, C. Grebogi, E. Ott, J.A. Yorke. Higher dimensional targetting. // Phys. Rev. E, 1993, v.47, p.305−310.
- J.D. Farmer, J.J. Sidorovich. Optimal shadowing and noise reduction. // Preprint of the Los Alamos National Lab., No LA-UR-90−653.— 30pp.
- S. Bielawski, D. Derozier, P. Glorieux. Controlling unstable periodic orbits by a delayed continuous feedback. // Phys. Rev. E, 1994, v.49, No2, p.971−974.
- R. Mettini, T. Kurz. Optimized periodic control of chaotic systems. // Phys. Lett. A, 1995, v.206, No5−6, p.331−339.
- K. Pyragas. Stabilization of unstable periodic and aperiodic orbits of chaotic systems by self-controlling feedback. // Z. Naturforsch A, 1993, v.48, p.629−632.
- M. Ding, E. Ott, C. Grebogi. Controlling chaos in a temporally irregular environment. // Physica D, 1994, v.74, Nol-2, p.386−394.
- P. So, E. Ott. Controlling chaos using time delay coordinates via stabilization of periodic orbits. // Phys. Rev. E, 1995, v.51, No4, p.2955−2962.
- I.M. Starobinets, A.S. Pikovsky. Multistep controlling chaos. // Phys. Lett. A, v.181, p.149−152.
- S. Hayes, C. Grebogi, E. Ott, A. Mark. Experimental control of chaos for communication. // Phys. Rev. Lett., 1994, v.73, Nol3, p.1781−1784.
- A. Garflnkel, M.L. Spano, W.L. Ditto. Controlling cardiac chaos. // Science, 1992, v.257, p.1230−1235.
- S.J. Schiff, К. Jerger, D.H. Duong, T. Chang, M.L. Spano, W.L.Ditto. Controlling chaos in the brain. // Nature, 1994, v.370, p.615−620.
- B. Hiibinger, R. Doerner, W. Martienssen. Local control of chaotic motion. // Zietschrift fur Phys. B, 1993, v.90, p. 103−106.
- R. Meucci, W. Gadomski, M. Ciofini, F.T. Arecchi. Experimental control of chaos by weak parametric perturbations. // Phys. Rev. E, 1994, v.49, No4, p.2528−2531.
- J.E.S. Socolar, D.W. Sukow, D.J. Gauthier. Stabilizing unstable periodic orbits in fast dynamical systems. // Phys. Rev E, 1994, v.50, No4, p.3245−3248.
- Y. Liu, N. Kikuchi, J. Ohtsubo. Controlling dynamical behavior of a semiconductor laser with external optical feedback. // Phys. Rev. E, 1995, v.51, No4, p.2697−2700.
- V. Petrov, M.J. Crowley, K. Showalter. Tracking unstable periodic orbits in the Belousov-Zhabotinsky reaction. // Phys. Rev. Lett., 1994, v.72, Nol8, p.2955−2958.
- V. In, W.L.Ditto, M.L. Spano. Adaptive control and tracking of chaos in a magnetoelastic ribbon. // Phys. Rev. E, 1995, v.51, No4, p.2689−2692.
- B. Blazejczyk, T. Kapitaniak, J. Woewoda, J.Brindley. Controlling chaos in mechanical systems. // Appl. Mech. Rev., 1993, v.46, No7, p.385−391.
- A.Yu. Loskutov, G.E. Thomas. On a possible mechanism of self-organization in a two-dimensional network of coupled quadratic maps. // SPIE, 1993, v.2037, p.238−249.
- А.Ю. Лоскутов, Г. Э. Томас. Хаос и дестохастизация в двумерной решетке сцепленных отображений. // Вестн. Моск. ун-та, сер. Физ.-астр., 1993, т.34, No5, с.3−11.
- А.Ю. Лоскутов, А. И. Шишмарев. Об одном свойстве семейства квадратичных отображений при параметрическом воздействии. // Успехи матем. наук, 1993 т.48, вып.1, с.169−170.
- A.Yu. Loskutov, A.I. Shishmarev. Control of dynamical systems behavior by parametric perturbations: an analytic approach. // Chaos, 1994, v.4, No2, p.351−355.
- A.Yu. Loskutov. Non-feedback controlling complex behaviour: ал analytic approach.— In: Nonlinear Dynamics: New Theoretical and Applied Results. Ed. J.Awreicewicz.— Springer, Berlin, 1995, p. 125−150.
- A.Yu. Loskutov. Dynamics control of chaotic systems by parametric destochastization. // J. Phys. A, 1993, v.26, Nol8, p.4581−4594.
- A.N. Deryugin, A.Yu. Loskutov, V.M. Tereshko. Inducing stable periodic behaviour in a class of dynamical systems by parametric perturbations. // Chaos, Solitons & Fractals, 1996, v.7, NolO, p. 1555−1567.
- N.L. Komarova, A.Yu. Loskutov. Stabilization of chaotic oscillations in dynamical systems: rigorous results. // SPIE, 1993, v.2037, p.71−81.
- H.JI. Комарова, А. Ю. Лоскутов. Стабилизация хаотического поведения колебательной химической реакции. // Матем. моделирование, 1995, т.7, NolO, с. 133−143.
- A.Yu. Loskutov, S.D. Rybalko, U. Feudel, J. Kurths. Suppression of chaos by cyclic parametric excitation in two-dimensional maps. // J. Phys. A, 1996, v.29, Nol8, p.5759−5773.
- А.Ю. Лоскутов. Проблемы нелинейной динамики. II. Подавление хаоса и управление динамическими системами. // Вестн. Моск. ун-та, сер. Физ.-астр., 2001, No3, с.3−21.
- A.Yu. Loskutov, V.M. Tereshko, K.A. Vasiliev. Predicted dynamics for cyclic cascades of chaotic deterministic automata. // Int. J. Neural Systems, 1995, v.6, p.175−182.
- A.H. Дерюгин, А. Ю. Лоскутов, B.M. Терешко. К вопросу о рождении устойчивого периодического поведения параметрически возбуждаемых динамических систем. // ТМФ, 1995, т. 104, No3, с.507−512.
- А. Лихтенберг, М.Либерман. Регулярная и стохастическая динамика.— М., Мир, 1984.
- Ю.И. Неймарк, П. С. Ланда. Стохастические и хаотические колебания.— М., Наука, 1987.
- Г. Шустер. Детерминированный хаос. Введение.— М., Мир, 1988.
- R.L. Devaney. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems.— New York, Amsterdam, Addison-Wesley Publ. Co., 1993 (Second Edition).
- W. de Melo, S. van Strien. One-Dimensional Dynamics.— Springer, Berlin, 1993.
- A.Yu. Loskutov, S.D. Rybalko. Parametric perturbations and suppression of chaos in n-dimensional maps.— Preprint ICTP IC/94/347, Trieste, Italy, November 1994.
- R. Lima, M. Pettini. Suppression of chaos by resonant parametric perturbations. // Phys. Rev. A, 1990, v.41, No2, p.726−733.
- L. Fronzoni, M. Geocondo, M. Pettini. Experimental evidence of suppression of chaos by resonant parametric perturbations. // Phys. Rev. A, 1991, v.43, p.6483−6487.
- R. Chacon. Maintanance and suppression of chaos by weak harmonic perturbations: a unified view. // Phys. Rev. Lett., 2001, v.86, No9, p.1737−1740
- M. Pettini. Controlling chaos through parametric excitations. In: Dynamics and Stochastic Processes. Ed. R. Lima, L. Streit, R. Vilela Mendes.— Springer, Berlin, 1990, p.242−250.
- Y. Kivshar, F. Rodelsperger, H. Benner. Suppression of chaos by non-resonant parametric perturbations. // Phys. Rev. E, 1994, v.49, Nol, p.319−324.
- G. Duffing. Erzwungene Schwingungen bei Veranderlicher Eigenfrequenz.F. Vieweg und Sohn, Braunschweig, 1918.
- F.C. Moon, P.J. Holmes. A magnetoelastic strange attractor. // J. Sound Vib., 1979, v.65(2), p.285−296.
- F.C. Moon, P.J. Holmes. Addendum: a magnetoelastic strange attractor. // J. Sound Vib., 1980, v.69(2), p.339.
- P.J. Holmes A nonlinear oscillator with a strange attractor. // Phil. Trans. Roy. Soc. A, 1979, v.292, p.419−448.
- P.J. Holmes, D.C. Whitley On the attracting set for Duffing’s equation, I: Analitical methods for small force and damping.— In Partial Differencial Equations, W.E. Fitzgibborn III (ed.), Pitman: London, 1984, p.111−123.
- Jose L. Trueba, Joaquin Rams, Miguel A. F. Sanjuan.— Int. J. of Bif. and Chaos, 2000 v.10, No9, p.2257.
- В.Г. Гельфрейх, В. Ф. Лазуткин. Расщепление сепаратрис: теория возмущений, экспоненциальная малость. // Успехи матем. наук, 2001, т.56, No3 (339), с. 79−142.
- P. J. Holmes, J.E. Marsden. Horseshoes in perturbations of Hamiltonians with two degrees of freedom. // Commun. Math. Phys., 1982, v82, p.523−544.
- А.Ю. Лоскутов, A.P. Джаноев Стабилизация хаотического поведения в динамических системах. // Докл. Акад. Наук России, 2003, т.392, No4, с. 481−483.
- A. Loskutov and A. Janoev. Homoclinical chaos suppression.— In: Proc. of 2003 Int. Conf. «Physics and Control», August 20−22, Saint Petersburg, Russia. Eds. A.L.Fradkov and A.N.Churilov.— IEEE, 2003, p.403−409.
- A. Loskutov, A. Janoev. Homoclinical chaos suppression.— In: The Book of Abstracts of the XXXI Summer School—Conference «Advanced Problems in Mechanics», St. Petersburg (Repino), Russia June 22-July 2, 2003, p.67.
- A. Loskutov, A. Janoev. Application of the Mel’nikov method to the investigation of complex behavior.— In: The Book of Abstracts of the 4th Int. Symp. «Molecular Order and Mobility in Polymer Systems», St. Petersburg, June 3−7, 2002, p.226.
- А.Лоскутов, A.P. Джаноев Подавление хаоса в окрестности сепаратрисы. // ЖЭТФ, 2004, т.125, No4, с. 191−200.
- F. Cuadros, R. Chacon. Comments on «Suppression of chaos by resonant parametric perturbations». // Phys. Rev. E, 1993, v.47, No6, p.4628−4629.
- R. Lima and M. Pettini. Reply to Comments on «Suppression of chaos by resonant parametric perturbations». // Phys. Rev. E, 1993, v.47, No6, p.4630−4631.
- R. Chacon. «Suppression of chaos by selective resonant parametric perturbations». // Phys. Rev. E, 1995, v.51, Nol, p.761−764.
- B.B. Козлов. Симметрии, топология и резонансы в гамилътоповой механике.— Ижевск, УдГУ, 1995.