Основные расчеты в технической механике

Задача № 1 (рис. 2)

Балка закреплена шарнирно в точка, А и удерживается в горизонтальном положении стержнем ВС, нагружена силами F_{1 ,} F₂ и парой сил с моментом М Определить реакции шарнира, А и стержня ВС

Решение:

Зададимся системой координат с центром в точке А.

Обозначим реакцию стержня ВС в точке В вектором R_B, направление же реакции шарнира, А не известно.

Составим уравнение моментов в точке А:

У_МА= 0

У_МА=М_А(F₁)+ М_А(F₂) — М_А(R_B)+ М_А(R_A) + M =0

Заметим, что момент реакции шарнира в точке, А будет равен нулю, так как плечо l=0

М_А(F₁)= F₁ • l₁=24 • 0,6 = 14,4 кН•м М_А(F₂)= F₂• (l₁+ l₂+l₃)= 40 • 2,5 = 100 кН•м М_А(R_A)= 0 кН•м М = - 3 кН•м получаем уравнение:

14,4 + 100 — 3 — М_А(R_B) = 0

— М_А(R_B) = - 14,4 — 100 + 3

— М_А(R_B) = - 111,4 кН•м М_А(R_B) = 111,4 кН•м Найдем реакцию R_B:

М_А(R_B) = R_B • cos 45? · (l₁ + l₂)

R_B=

R_B= = 78,8 кН Определим проекцию реакции R_A на ось x из уравнения суммы проекций:

УР_х= 0

УР_х= F_1x+R_Bx+F_2x+R_Ax=0

F_1x= F₁ • cos 90° = 0

F_2x= F₂ • cos 90° = 0

R_Bx= R_B • cos 45°= 79,6 · 0,7 = 55,72

УР_х= 55,72 + R_Ax =0

R_Ax= - 55,72

Определим проекцию реакции R_A на ось y из уравнения суммы проекций:

УР_y = 0

УР_y = F_1y+R_By+F_2y+R_Ay=0

F_1y = - F₁ • cos 0° = - 24

R_By = R_B • cos 45° = 78,8 · cos45° = 55,72

F_2y= - F₂ • cos 0° = - 40 • 1 = - 40

УР_y = -24 + 55,72 — 40 + R_Ay= 0

R_Ay= 24 — 55,72 + 40 = 8,28

Реакцию R_A найдем из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора :

R_A= кН Найдем угол между вектором реакции R_A и осью x по косинусу угла б

cos б ==

б? 8,5°

Для проверки определим сумму моментов сил и реакций в точке В, которая для тел находящихся в равновесии должна равняться нулю.

У_МВ = М_B(F₁)+ М_В(F₂)+M+ М_В(R_A)

М_В(F₁) = - F₁ •l₂ = - 24 • 1,4 = - 33,6 кН•м М_В(F₂) = F₂ • l₃ = F₂ • l₃ = 40 • 0,5 = 20 кН•м М_В(R_A) = R_A • sin 8,44? · (l₁ + l₂) = 56,332 · sin 8,5° · 2 = 16,65 кН•м

M = - 3 кН•м У_МВ = - 33,6 + 20 + 16,6 — 3? 0

Задача № 2 (рис. 19)

Определить место положения центра тяжести сечения составленного из прокатных профилей

Решение:

А₁ = 34,8 см² = 3480 мм²

А₂ = 115 • 10 = 1150 мм²

y₁ = 130

x₁ = 0

y₂ = 10: 2 = 5

x₂ = 0

Так как сечение симметрично относительно оси y достаточно определить только координату y_с

y_с = = 98,95 мм

x_c = 0

Задача № 3 (№ 23)

Груз массой 100 кг опускается равноускоренно с помощью невесомого троса, перекинутого через блок и в первые 4 секунды проходит 8 м. Определить силу натяжения троса.

Решение:

На груз действует сила натяжения троса F и сила тяжести mg, под действием которых он движется с ускорением а. Следовательно по второму закону Ньютона

mg + F = ma

Так как все силы направлены по вертикали, выберем вертикальную ось у с положительным направлением по ускорению (вниз) Проектируем

mg + F = ma

mg — F = ma или F = m (g — a)

Из кинематики :

h = at²/2

Следовательно :

F = m (g — 2h/t²) = 100 · (9,8 —) = 880 H

Задача № 4 (рис. 37)

Для ступенчатого стального бруса требуется:

а) определить значение продольной силы и нормального напряжения по длине бруса.

б) построить эпюру.

в) определить удлинение (укорочение) бруса.

Модуль продольной упругости: E = 2 •10⁵ мПа

Решение:

Разобьем брус на участки начиная от свободного конца. Границы участков определяются точками приложения сил и местами изменения размеров поперечного сечения.

Всего будет 4-ре участка. Проведя сечение и отбрасывая левые части бруса можно определить продольные силы в его поперечных сечениях.

Участок I — не деформируется и продольные силы в нем будут равны нулю.

N₁ = 0

N₂ = N₃ = 100 кН

N₄ = F₁ — F₂ = 100 — 50 = 50 кН т. е. на всех участках брус растянут, а продольные силы будут равны:

на участках II и III — 100 кН на участке IV — 50 кН

Чтобы определить нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса нужно разделить значения продольных сил на площади сечений.

для участка II: у_II =

для участка III: у_III =

для участка IV: у_IV =

Определим относительное удлинение на разных участках бруса. По закону Гука, относительное удлинение:

е_II =

е_III =

е_II =

Абсолютное удлинение на участках:

II = 0,25 • 500 = 0,125 мм

III = 0,0002 • 200 = 0,04 мм

IV = 0,0001 • 400 = 0,04 мм

Общее удлинение бруса будет равно:

0,125 + 0,04 + 0,04 = 0,205 мм

Задача № 5 (рис.43)

Для заданной консольной балки построить эпюру изгибающих моментом и подобрать из условий прочности размеры поперечного сечения в двух вариантах:

— сдвоенный швеллер

— прямоугольник с отношением

Сравнить массы балок по обоим расчетным вариантам.

Материал балки — сталь Ст. 3 [у] = 160 мПа

Решение:

Разобьем балку на участки, границы которых определим точками приложения внешних сил.

На первом участке балки момент будет равен:

— в точке D

М₁ = - М = - 10 кН· м

— в точке С

М₁ = - М = - 10 кН· м На втором участке:

— в точке С М₂ = - М = - 10 кН· м

— в точке В М₂ = - М — F₂ · z₂ = - 10 — 8 · 0,8 = - 16,4 кН · м На третьем участке:

— в точке В М₃ = - М — F₂ · z₂ = - 10 — 8 · 0,8 = - 16,4 кН · м

— в точке, А М₃ = - М — F₂ · (z₂ + z₃) — F₁ · z₃ = - 10 — 8 · (0,4 + 0,8) — 24 · 0,4 = - 29,2

Наибольший по величине изгибающий момент наблюдается в месте жесткой заделки балки в точке A и равен он:

Найдем требуемый момент сопротивления

W_x ?

Подбираем сечение балки в двух вариантах:

1. Сечение — сдвоенный швеллер

W_x? 182,5 см³ см³

Подходит швеллер № W_x = см³

2. Сечение — прямоугольник с отношением сторон

для прямоугольника

W_x=;

подставив сюда и приняв W_x равным требуемому значению, получим:

W_x== = 182,5 см³

отсюда

h = 11,8 см

b = 11,8: 3 = 3,9 см

Задача № 6 (рис.55)

Для заданного привода машины необходимо

а) дать характеристику привода и его отдельных передач

б)определить общие КПД и передаточные отношения.

в)определить мощность, вращающие моменты и угловые скорости для всех валов.

При расчетах принять следующие средние значения КПД (с учетом потерь на трение в опорах валов) передач:

зубчатая цилиндрическая — 0,97 (закрытая)

— 0,96 (открытая) зубчатая коническая — 0,96 (закрытая)

— 0,95 (открытая) червячная — 0,8 (закрытая) цепная — 0,92 (открытая) клиноременная — 0,95 (открытая)

Решение:

I ступень — закрытая зубчатая цилиндрическая передача с числом зубьев на ведущем колесе Z=21, на ведомом — Z = 42;

II ступень — открытая зубчатая цилиндрическая передача с числом зубьев на ведущем колесе Z=15, на ведомом — Z =54;

II ступень — цепная передача с числом зубьев на ведущем колесе Z=20, на ведомом — Z=60;

Определим передаточные отношения на отдельных передачах и на всем приводе:

i₁₋₆= i₁₋₂ • i₂₋₄ • i₅₋₆ = 2 •3 •3 = 18

Для определения КПД, нам требуется значение угловой скорости каждой передачи и всего привода.

щ₁ = щ_дв = 74,8 с^-1

из определения передаточного числа знаем:

i₁₋₂ =

отсюда:

щ₃ = щ₂ = 37,4 с^-1

щ₅ = щ₄ = 12,47 с^-1

Определим мощности для каждой передачи и всего привода:

Р₁=Р_дв=5,5 кВт; з_I = 0,97 (по условию) Р₂=з_I • Р₁ = 0,97 • 5,5 = 5,335 кВт аналогично для остальных передач:

Р₃=Р₂= 5,335 кВт; з_II = 0,96 (по условию) Р₄=з_II • Р₃ = 0,96 • 5,335 = 5,122 кВт Р₅= Р₄= 5,122 кВт; з_III = 0,92 (по условию) Р₆=з_III • Р₅ = 0,92 • 5,122 = 4,71 кВт з_прив. = з_I? з_II? з_III = 0,97 •0,96 •0,92 = 0,857

Определим вращающие моменты для каждого вала