Значительный прогресс последних двадцати лет в теории интегральных операторов связан с изучением свойств операторов Вольтерра вида в весовых пространствах Лебега.
Кроме самостоятельного значения эти преобразования играют существенную роль в различных приложениях к спектральной теории операторов, интегральным и дифференциальным уравнениям, вложениям пространств Соболева.
При исследовании операторов (1) главным вопросом является поиск критериев их ограниченности и компактности, при этом качество критериев играет определяющую роль при решении дальнейших задач, связанных с оценками характеристических чисел и приложениями. Наглядным примером в этом отношении является исследование оператора (1) при к (х, у) = р{х) ^ 0, предпринятое в рамках спектральной теории уравнения Штурма-Лиувилля (см., например, [4]). Эти результаты, берущие начало в работах Г. Харди и Дж. Литтльвуда [15], начиная с 70-х годов XX века, обобщались многими авторами, достигнув в определенном направлении максимальной общности на классе ядер Ойнарова, когда к (х, у) ^ 0 и.
D~1k (x, y) < к (х, z) + k (z, у) ^ Dk (x, y), b^x^z^y^a, (2) где константа D ^ 1 не зависит от х, у, z. К данному классу, в частности,.
1) относятся ядра операторов Римана-Лиувилля к (х, у) = (х — у)01 при, а ^ 1. Однако, при 0 < а < 1 эти ядра не удовлетворяют условию (2). В связи с этим в диссертации рассматриваются две задачи. Первая состоит в нахождении критерия ограниченности и компактности для операторов вида.
Kf (x) = [КХ) к (х, у) f (y)dy, (3).
J а (х) содержащих (1) как частный случай. При этом ядро удовлетворяет модифицированному условию (2), а граничные функции а (х) и Ь{х) такие, что i) а (х) и Ь{х) непрерывны и строго возрастают на R± ii) а (х) < Ь (х) для любого х е (0, оо), а (0) = 6(0) = 0, (4) а (оо) = Ь (оо) = оо.
Вторая задача посвящена нахождению критерия ограниченности в весовых нормах Лебега для дробного оператора Римана-Лиувилля на полуоси.
Iaf{x) = Г{Х — y) a~1f{y)dy, 0 < а < 1. (5).
J о.
В общем случае этот вопрос пока остается открытым. Мы даем в качестве «приближенного решения» критерии выполнения весовых оценок на более узких, чем все пространство Лебега, классах монотонных или кусочно-монотонных функций. Найденное решение справедливо для всех, а > 0.
Перейдем в точной постановке задач и подробному изложению результатов диссертации.
Пусть 0 < р ^ оо, —оо ^ а < Ь ^ оо, f’mPdx)K 0 < р < оо, esssup |/(ж)|, р = оо. х?[а, Ь].
Обозначим р' — р/(р — 1) ПРИ 0<�р<�ооир' — оо при р = 1. Для фиксированной почти всюду конечной и измеримой по Лебегу на [а, Ь] весовой функции v определим весовое пространство Лебега Ц,[а, Ъ] как совокупность всех измеримых на [а, Ь] функций / таких, что ||/J|p, v: = Ц/^Цр < оо. Если, а = 0 и b = оо, будем обозначать Щ: = L%[0, сю]. Предположим также, что вес v локально суммируем на [а, Ъ] со степенью р, а вес ljv— локально суммируем на [а, Ь] со степенью р'. Не ограничивая общности, будем считать весовые функции неотрицательными.
Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 9 параграфов, и списка цитируемой литературы.
1. Батуев Э. Н., Степанов В. Д., О весовых неравенствах типа Харди, Сибир. матем. журнал., 30, 1989, 13−22.
2. Канторович JI.B., Акилов Г. П., Функциональный анализ, М.: Наука, 1977.
3. КОКИЛАШВИЛИ В.М., О неравенствах Харди в весовых пространствах, Сообщ. АН ГССР, (1) 96, 1979, 37−40.
4. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., соболевский г. Е., Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М.: Наука, 1966.
5. ПРОХОРОВ Д.В., Весовые оценки интегралов Римана-Лиувилля, Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, Хабаровск: ВЦ ДВО РАН, 2001.
6. Харди Г. Г., Литтлвуд Д. Е., Полиа Г., Неравенства, М., 1948.
7. Ando Т., On compactness of integral operators, Nederl. Akad. Wetensh. Proc., ser. A-65, (2) 24, № 2 Indag. Math., 1962.
8. BRADLY J.S., Hardy inequalities with mixed norms, Canad. Math. Bull., (1) 21, 1978, 405−408.20. chen Т., Sinnamon G., Generalized Hardy operators and normalizing measures, Preprint, 1999.
9. Edmunds D.E., Stepanov V.D., On the singular numbers of certain Volterra integral operators, J. Fund. Anal., 134, 1995, 222−246.
10. Gogatishvili A., Lang J., The generalized Hardy operators with kernel and variable integral limits in Banach functions spaces, J. Ineq. Appl., 4, 1999, 1−16.
11. Gol’dman M.L., Heinig H.P., Stepanov V.D., On the principle of duality in Lorentz spaces, Can. J. Math., 48 (5), 1996, 959−979.
12. Heinig H.P., Sinnamon G., Mapping properties of integral averaging operators, Studia Math., 129, 1998, 157−177.
13. OlNAROV R., On weighted norm inequalities with three weights, J. London Math. Soc., 48, 1993, 103−116.
14. SAWYER E.T., Boundedness of classical operators on classical Lorents spaces, Studia Math., 96, 1990, 145−158.
15. SlNNAMON G., Weighted Hardy and Opial type inequalities, J. Math. Anal. Appl., 160, 1991, 434−445.
16. SlNNAMON G., STEPANOV V.D., The weighted Hardy inequality: new proofs and the case p=l, J. London Math. Soc., 54, 1996, 89−101.
17. STEPANOV V.D., Weighted inequalities for a class of Volterra convolution operators, J. London Math. Soc., (2) 45, 1992, 232−242.37. stepanov v.d., Integral operators on the cone of monotone functions, J. London Math. Soc., (2) 48, 1993, 465−487.
18. STEPANOV V.D., The weighted Hardy’s inequality for nonincreasing functions, Trans. Amer. Math. Soc., (1) 338, 1993, 173−186.
19. STEPANOV V.D., Weighted norm inequalities of Hardy type for a class of integral operators, J. London Math. Soc., (2) 50, 1994, 105−120.
20. УШАКОВА Е.П., Весовые неравенства для операторов Римана-Лиувилля на кусочно-монотонных функциях, Мат. заметки ЯГУ, 7, (2), 2000, 113−149.
21. УШАКОВА Е.П., Весовые неравенства для одного класса интегральных операторов, Препринт, Хабаровск: Вычислительный центр ДВО РАН, 41, 2000.
22. УШАКОВА Е.П., Весовые неравенства для оператора с ядром Ойнарова и переменными пределами интегрирования, Дальневосточной матем. школа-семинар им. Е. В. Золотова, Тез.докл., Владивосток: «Дальнаука», 2000, 108−109.
23. Степанов В. Д., Ушакова Е. П., Об интегральных операторах с переменными пределами интегрирования, Труды Матем. института им. В. А. Стеклова, М.: Издательство «Наука», 232, 2001, 298−317.
