О корректной постановке задачи рассеяния упругим клином

Исторический обзор

История задач о рассеянии угловыми областями имеет своим началом работы Пуанкаре [1], [2], опубликованные в конце 19 века. В этих работах с помощью метода рядов впервые была рассмотрена стационарная акустическая задача дифракции на клине с условиями Дирихле и Неймана.

Вскоре Зоммерфельдом было получено решение задачи о дифракции плоской электромагнитной волны на экране, с идеальными граничными условиями (см. [3]). Найденное им интегральное представление для решения задачи носит его имя- «интеграл Зоммерфельда» .

В 1932 В. И. Смирновым и JI. С. Соболевым (см. [4]) был предложен новый аналитический метод решения двумерных нестационарных задач дифракции. С его помощью было найдено решение задачи о рассеянии на клине с идеальными граничными условиями акустического поля с точечным источником. Детальное изложение этого метода и его приложение к задаче об акустическом угле можно найти в написанной Соболевым гл. 12 [5]. М. М. Фридман [6],[7] и А. Ф. Филиппов [8] применили этот подход для решения задачи дифракции упругой волны на трещине. Решение этой задачи в стационарной постановке было найдено Мауэ [9] с помощью метода Винера-Хопфа.

В середине 50'ых годов прошлого века Г. Д. Малюжинец [10]-[11] нашел решение задачи о рассеянии акустической плоской волны клином с импедансными граничными условиями. Используя представление решения в виде интегралов Зоммерфельда, он свел задачу к разностным уравнениям для аналитических функций вида.

F (z±a) = R±(z)F (-z±a), (0.0.1) где F неизвестная мероморфная функция, R* = (—sinz — a±)/(sin2 — Ь±-), a а* и b± известные константы. Подробное изложение метода Малюжинца можно найти в [12]. Независимо решение этой же задачи было найдено Вильямсом [13].

На протяжении 60-ых и 70-ых годов были найдены решения в нескольких вырожденных случаях: так скользко-твердый упругий клин (нулевые касательные напряжения и нормальное смещение) был рассмотрен Б. В. Костровым (см. [14]) — упругий клин со смешанными граничными условиямиВ. Б. Поручиковым (см. [15]). Детальный обзор этих и более ранних работ можно найти в работе Кнопова [16].

Итак, по сей день, аналитическое решение задачи о рассеянии плоской упругой волны на клине с нулевыми нормальными напряжениями найдено лишь для трещины, т. е. клина с углом раствора 360° ([6]), [7],[8] и [9]), а также в ряде вырожденных случаев, как симметричное падение поперечной волны на клин с раствором 90°, когда решение есть сумма плоских волн, т. е. волна, рассеянная вершиной, отсутствует.

Начиная с середины 80-ых было разработано несколько подходов к численному решению задачи об упругом угле1. Так Гаутезен рассматривал задачу о рассеянии волны Рэлея в работах [17]- [21]. Его подход основан на представлении поля смещений в виде потенциалов простого слоя, выводе для преобразования Фурье плотностей этих потенциалов сначала функциональных, а далее и интегральных уравнений, с последующим их численным решением. Эту же задачу (рассеяние волны Рэлея) численно рассматривали Фуджи [22] и Б. В. Будаев и Боджи [23]- [27]. Автором вместе с В.

1 Всюду далее выражение «упругий угол» (клин) подразумевает угол с с нулевыми нормальными напряжениями.

М. Бабичем, В. А. Боровиковым, Л. Фрадкин и Б. А. Самокишем в работах [28]—[30] был пересмотрен подход Будаева, основанный на представлении решения в виде интегралов Зоммерфельда, и предложен альтернативный метод решения выведенных им сингулярных интегральных уравнений и вычисления рассеянного поля для случаев падения как волны Рэлея так и объемных волн. Перечисленные подходы имеют как недостатки, так и достоинства, в число которых входит их вычислительная надежность: почти все численные результаты, приведенные в этих работах, хорошо между собой согласуются (см. сравнение в [30]).

Тем не менее, во всех перечисленных работах на первое место выходила вычислительная сторона задачи, в то время как вопрос корректной постановки задачи,-теоремы существования и единственности, — оставался в стороне.

В начале 90-ых годов Лебо разработал оригинальный подход к решению задач этого рода, — т.н. метод спектральных функций, — метод исследования задач рассеяния в «угловых областях», никак не опирающийся на разделение переменных и позволяющий обосновывать метод предельного поглощения. В частности, с его помощью была рассмотрена задача об упругом клине, погруженном в жидкость: в работе [31] был сделан первый значительный шаг к корректной постановке в задачах этого типа: в ситуации общего положения было доказано существование решения задачи о падении плоской волны в виде потенциала простого слоя.

С помощью этого же метода в работе [32] был рассмотрен упругий клин и доказано как существование решения задачи о падении плоской объемной волны, так и его единственность в классе функций, удовлетворяющих условиям излучения, сформулированных в [32].

В обеих работах ([31] и [32]) не рассматривался случай критического падения, — т. е. ситуация, при которой возникает плоская волна, распространяющаяся вдоль одной из сторон угла к его вершине. Автором в работе [33] был заполнен этот пробел: было доказано существование и единственность решения также и в этом случае. Использованный новый подход тесно связан с методом спектральных функций и состоятелен не только для критического падения, но и в общем случае.

Организация Диссертации.

В настоящей работе рассматриваются следующие вопросы:

• Построение теории спектральных функций для упругого клина;

• Доказательство существования решения задачи о падении плоской волны;

• Доказательство существования тензора Грина для упругого клина;

• Формулировка условий излучения для упругого клина;

• Доказательство теоремы единственности для задач рассеяния на упругом клине.

Диссертация построена следующим образом: в первой главе вводятся все основные обозначения и формулировки полученных результатов. Во второй главе излагается метод спектральных функций в применении к задаче об упругом клине, доказывается центральная для подхода теорема «об изоморфизме», доказывается существование решения задачи о «невырожденном» падении плоской волны. В третьей главе с помощью техники спектральных функций доказывается существование тензора Грина для* упругого угла и вычисляется его асимптотика на бесконечности. В четвертой главе формулируются условия излучения и доказывается теорема единственности. В пятой главе рассматривается задача о падении плоской волны в общем случае (в т.ч. и в критическом), доказывается существование решения.

Материалы диссертации изложены в совместной с Лебо работе [32], а также в персональной работе автора [33].

1. Poincare, J. H. Sur la polarization par diffraction. Acta Math., 16:297−339, 1892.

2. Poincare, J. H. Sur la polarization par diffraction. Acta Math., 20:313−355, 1897.

3. Sommerfeld, A. Mathematische Theorier der Diffraktion. Math. Ann., 47:317−374, 1896.

4. Smirnoff, V. I. and Sobolev, S. L. Sur le probleme plan des vibrations elastiques. C. R. Acad. Sci., Paris" 194:1437−1439, 1932.

5. Франк, Ф. и Мизес, П. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики, Часть II. М., 1937.

6. Фридман, M. М. Диффракция плоской упругой волны относительно полубесконечной прямолинейной жестко закрепленной щели. Доклады АН СССР, 60(7), 1948.

7. Фридман, M. М. Диффракция плоской упругой волны относительно полубесконечного прямолинейного разреза, свободного от напряжений. Доклады АН СССР, 66(1), 1949.

8. Филлипов, А. Ф. Трехмерная задача диффракции упругой волны на остром ребре. Ж. Прикл. Мат. и Мех., 23:989−996, 1959.

9. Maue, A. W. Die Bendung elastischer Wellen an der Halbebene. Z. angew. Math, und Mech., ½:1−10, 1953.

10. Малюжинец, Г. Д. Излучение звука колеблющимися гранями произвольного угла I. Акустич. жури., 1:144−164, 1955.

11. Малюжинец, Г. Д. Возбуждение, отражение и излучение поверхностных волн на клине с заданными импедансами граней. Доклады АН СССР, 121(3):436—439,1957.

12. Osipov, А. V. and Norris, А. N. The Malyuzhinets theory for scattering from wedge boundaries: a review. Wave Motion, 29:331−340, 1999.

13. Williams, W. E. Diffraction of a polarized plane wave by an imperfectly conducting wedge. Proc. Roy. Soc. bond. A, 252(2):376−393, 1959.

14. Костров, Б. В. Диффракция плоской волны на жестком клине, вставленном без трения в безграничную упругую среду. ПММ, 30(1):198—203, 1966.

15. Поручиков, В. Б. Методы динамической упругости. М. Наука, 1986.

16. Knopoff, L. Wave Propagation in Solids, chapter Elastic wave propagation in a wedge. American Society of Mechanical Engineers, 1969.

17. Gautesen, A. K. Scattering of Rayleigh wave by an elastic quarter space. J. Appl. Mech., 52:664−668, 1985.

18. Gautesen, A. K. Scattering of an obliquely incident Rayleigh wave by an elastic quarter space. Wave Motion, 8:27−41, 1986.

19. Gautesen, A. K. Scattering of a Rayleigh wave by an elastic quarter space revisted. Wave Motion, 35:91−98, 2002.

20. Gautesen, A. K. Scattering of a Rayleigh wave by an elastic three-quarter space. Wave Motion, 35:99−106, 2002.

21. Gautesen, A. K. Scattering of a Rayleigh wave by an elastic wedge whose angle is greater than 180 degrees. J. Appl. Mech., 68:476−479, 2001.

22. Fujii, K. Rayleigh-wave scattering of various wedge corners: Investigation in the wider range of wedge angles. Bull. Seismol. Soc. Am., 84(6):1916;1924, 1994.

23. Budaev, B.V. Diffraction by Wedges. Longman Scientific & Technical, Harlow, 1995.

24. Budaev, B.V. and Bogy, D.B. Rayleigh wave scattering by a wedge. Wave Motion, 22:239−257, 1995.

25. Budaev, B.V. and Bogy, D.B. Rayleigh wave scattering by a wedge II. Wave Motion, 24:307−314, 1996.

26. Budaev, B.V. and Bogy, D.B. Rayleigh wave scattering by two adhering elastic wedges. Proc. Roy. Soc. Lond. A, 454:2949−2996, 1998.

27. Budaev, B.V. and Bogy, D.B. Rigorous solutions of acoustic wave diffraction by penetrable wedges. J. Acoust. Soc. Am, 105:74−83, 1999.

28. Babich V.M., V.A. Borovikov, Fradkin L.Ju., Gridin D., Kamotski V.V. and Smyshlyaev V.P. Diffraction coefficients for tilted surface-braking cracks. In Proc. IUTAM Symposium, number 10, pages 321−337, 2000.

29. Kamotski V.V., Babich V.M., Borovikov V.A. and Fradkin L.Ju. On Budaev and Bogy’s approach to diffraction by a 2D traction-free elastic wedge: Theoretical aspects. Proc. R. Soc. Lond. A, 2003. to appear.

30. Kamotski V.V., Babich V.M., Borovikov V.A., Fradkin L.Ju. and Samokish B.A. On Budaev and Bogy’s approach to diffraction by a 2D traction-free elastic wedge: Numerical aspects. Proc. R. Soc. bond. A, 2003. to appear.

31. J.-P. Croisille and G. Lebeau. Diffraction by an immersed elastic wedge, volume 1723 of Lecture notes in mathematics. Springer, 1999.

32. Kamotski, V. Lebeau, G. Diffraction by an elastic wedge with stress-free boundary: existence and uniqueness. Препринт ПОМИ 08/2003, Proc. R. Soc. Lond. A, 2003. to appear.

33. Камоцкий В. В. О падении плоской волны на упругий клин под критическим углом. Алгебра и Анализ, 15(3):145—169, 2003.

34. Gilles Lebeau. Propagation des ondes dans les diedres. Mem. Soc. Math. Fr. Nouv. Ser., 60, 1995.

35. V.A. Borovikov. Uniform stationary phase method., volume 40 of IEE Electromagnetic Waves Series. London: IEE, Institution of Electrical Engineers, 1994.

36. С Wilcox. A generalization of Theorems of Rellich and Atkinson. Proc. of Amer. Math. Soc., 7(2).

37. G. Duvaut and J.L. Lions. Les inequations en mecanique et en physique, volume 21 of Travaux et recherches mathematiques. Paris: Dunod. XX, 1972.