Специальные асимптотические методы исследования высокомодовых стационарных режимов в системах с распределенными параметрами

В диссертационной работе рассматриваются специальные алгоритмы исследования феномена буферности в приложении к различным задачам начиная от моделей из механики до моделей из гидродинамики.

О феномене буферности принято говорить в случае, когда в фазовом пространстве некоторой динамической системы при подходящем выборе параметров можно гарантировать сосуществование любого фиксированного числа однотипных аттракторов (состояний равновесия, циклов, торов и т. д.).

Особо остановимся на различии таких понятий, как буферность и муль-тистабильность. Напомним, что мультистабильность означает сосуществование в фазовом пространстве системы сразу нескольких аттракторов. Далее, представим себе ситуацию, когда в некоторой системе при любом допустимом изменении параметров реализуется ровно сто устойчивых циклов. Ясно, что здесь мы имеем дело с мультистабильностью. Однако буферности в данной системе не будет, так как, и это ключевой момент, понятие «буферность» предполагает наличие некого бифуркационного процесса, в результате которого происходит неограниченное увеличение числа сосуществующих аттракторов. Упомянутый процесс характерен, главным образом, для систем с распределенными параметрами, хотя, как будет показано ниже, может наблюдаться и в системах с конечным числом степеней свободы.

Разумеется, в случае сосуществования небольшого числа устойчивых состояний равновесия или циклов буферность свидетельствует о наличии «порядка». Однако если их число излишне велико, то может происходить спонтанный переход системы с одного устойчивого стационара на другой под действием случайных возмущений начальных условий. В подобной ситуации говорят, что в динамической системе реализуется флуктуационный хаос.

Из результатов известной работы А. А. Витта [1], а так же из значительно боле поздних работ [2−6] следует, что буферность представляет собой универсальное нелинейное явление, возникающее в математических моделях из различных областей естествознания: радиофизики, механики, экологии, нелинейной оптики, теории горения и т. д. Поэтому весьма актуальна проблема изучения типовых сценариев накапливания аттракторов в различных динамических системах. К настоящему времени удалось выявить три таких сценария: в первую очередь это сценарий Витта, являющийся наиболее распространённым, а также тьюрингский и гамильтонов механизмы накапливания аттракторов.

Ситуация, в которой реализуется механизм Витта, заключается в следующем. Представим, что в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия некоторой динамической системы имеет место критический случай счетного числа чисто мнимых собственных значений, а при изменении каких-либо входящих в эту систему параметров происходит последовательное смещение точек спектра в правую комплексную полуплоскость. Тогда, как установлено в уже упоминавшихся работах [1−6], чаще всего в такой системе наблюдается феномен буферности в простейшем его варианте: происходит неограниченное накапливание устойчивых циклов, причем каждый отдельно взятый цикл рождается из нулевого состояния равновесия неустойчивым, а затем обретает устойчивость, подрастая по амплитуде.

Тьюрингский механизм отличается от механизма Витта по существу лишь тем, что каждый индивидуальный цикл (или состояние равновесия) при изменении управляющих параметров сначала обретает устойчивость, а затем снова её теряет. Таким образом, хотя общее число аттракторов и увеличивается, но их состав постоянно обновляется. Как показано в монографии [6], данная ситуация реализуется главным образом в системах типа реакция-диффузия при пропорциональном уменьшении коэффициентов диффузии, но может возникать и в системах с запаздыванием при неограниченном увеличении времени запаздывания. В частности, с ней сталкиваемся при рассмотрении известной модели «брюсселятор», изучавшейся ещё А. Тьюрингом [7] (отсюда название — тьюрингский механизм).

Описанные сценарии накапливания аттракторов характерны, естественно, только для систем с бесконечномерным фазовым пространством. Что же касается конечномерных систем, то в них простейшим механизмом возникновения буфености является, по всей видимости, так называемый гамильтонов сценарий, проиллюстрированный в [6] на ряде двумерных отображений из механики. Суть этого сценария состоит в следующем.

Рассмотрим сначала некоторую гамильтонову или консервативную систему обыкновенных дифференциальных уравнений с полутора или более степенями свободы. Согласно выработанным к настоящему времени общим представлениям о динамике таких систем хаотическое движение в них сосуществует со счетным числом так называемых островков устойчивости, примыкающих к эллиптическим состояниям равновесия или циклам. Предположим, далее, что наша система возмущена малыми добавками, обеспечивающими её диссипативность. Тогда некоторые из упомянутых состояний равновесия или циклов могут стать асимптотически устойчивыми и, что самое главное, количество последних может неограниченно увеличиваться при стремлении возмущений к нулю. А это как раз и означает, что в рассматриваемой системе наблюдается явление буферности, механизм возникновения которого уместно назвать гамильтоновым.

Следует заметить, что гамильтонов механизм несмотря на его простоту ранее был наименее изученным. Кроме уже упоминавшихся двумерных отображений до выхода [8] он не был подкреплен какими-либо другими содержательными примерами.

В данной работе приводится результаты, дополняющие исследования [8] гамильтонового сценария для уравнения с полутора степенями свободы. А именно, изучалась следующая классическая задача механики маятникового типа с периодическими по времени малыми добавками: х + ех + sin х = еа cos 1st, где 0 < е < 1, а > 0, у > 0. Для указанной задачи ставится вопрос о существовании в ней устойчивых периодических решений как вращательного, так и колебательного типов. Применение специфических асимптотических методов позволило установить, что в системе реализуется гамильтонов сценарий буферности. Строгий, но локальный результат был несколько расширен численным тестированием модели при значениях параметров, отстоящих от критических. Были получены портреты периодических решений при некоторых фиксированных значениях параметров.

Помимо изучения модели, демонстрирующей простейший гамильтонов сценарий возникновения буферности, основное внимание уделено системам с тьюрингским механизмом накопления аттракторов. В частности следующий описываемый в работе результат посвящен изучению дифференциально-разностных уравнений второго порядка описывающих работу RCL-генератора с запаздыванием в цепи обратной связи. x + ax + x = F (kx (t-e)), (0.0.1) где F (x) = —х + сх2 + с2£3 + ., 0 < а < у/2, с2 > 0, с — любое. В данной задаче особый интерес представляет возможность использовать подобие возникающих периодических решений при изучении их устойчивости.

Существенный интерес представляют изучение сложных систем, в которых буферность связана с процессами спонтанного нарушения высокой степени симметрии их макроскопического состояния. В результате подобных процессов возникают так называемые диссипативные структуры, т. е. устойчивые самоподдерживающиеся образования с характерными пространственно-временными формами. Подобные структуры представляют интерес для исследователей различных специальностей. Биологов они интересуют в связи с вопросом происхождения жизни, с проблемами пред-биологической эволюции, морфогенезаэкологов — в связи с изучением законов функционирования биоценозовфизиков — в связи с возможностью создания новых типов автогенераторов на распределенных структурах и т. д. Следует отметить, что для возникновения феномена самопроизвольного нарушения симметрии с понижением ее степени система с необходимостью должна быть открытой, а ее математическая модель — нелинейной.

В предлагаемой работе проводится исследование феноменологических моделей гидродинамики, описывающих микроциркуляции в неравномерно нагреваемых жидкостях или газах. Для исследуемых систем, представляющих собой модификации уравнения Свифта-Хоэнберга, был установлен тью-рингский механизм накопления неоднородных стационарных решений при подходящем изменении управляющего параметра. дгт = еги-(1 + д2х)2т + /Н, (0.0.2) д^ = еги — (1 + д1)2и> - тдхт, (0.0.3) где ?^0, 0 ^ х ^ I, ги = ги^, х) — вещественная скалярная функция, удовлетворяющая граничным условиям.

Н*=о = Мх=1 = = д2хтх=1 = 0. (0.0.4) дг = д/д1,дх = д/дх, е— положительный параметр (надкритичность). Относительно функции /(го) предполагаем, что /(ги) € С°° нечётна и /'(0) = 0, /'" (0)/3! = а < 0.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Методы, применяемые в в данной работе, могут быть использованы в дальнейших исследованиях сложного поведения нелинейных краевых задач и систем дифференциально-разностных уравнений, связанного с мультистабильностью.

Материал диссертации представляет интерес для специалистов в области дифференциальных уравнений, нелинейной динамики и хаоса. Работа может быть востребована во многих отечественных и международных математических центрах, где ведутся исследования, связанные с дифференциальными уравнениями и их приложениями.

Апробация результатов.

Основные результаты работы докладывались на научном семинаре, проводимом научно-образовательным центром ЯрГУ «Нелинейная динамика, а также на семинаре кафедры дифференциальных уравнений МГУ в октябре 2009, и обсуждались на научных конференциях:

1) Воронежская математическая школа имени Крейна, январь 2008 года;

2) III Международная конференция, посвященная 85-летию Л. Д. Кудрявцева, март 2008;

3) 61-ая научно-техническая конференция студентов, магистрантов, и аспирантов, посвященная 1000-летию Ярославля, апрель 2008;

4) BRHE 2008 Summer Training Language Camp, Тамбов, июль;

5) Международная конференция научно-образовательных центров, посвященная 10-летию программы BRHE в октябре 2008 года;

6) Всероссийская выставка научно-технического творчества молодежи НТТМ-2009, 24−27 июня;

7) XLVIII Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 10−14 апреля 2010;

8) Nonlinear Dynamics on Networks, Киев, июль 5−9 2010;

9) First German-Russian Interdisciplinary Workshop on the Structure and Dynamics of Matter, Berlin, October 18−20, 2010;

10)Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках всероссийского фестиваля науки, РГСУ, Москва, сентябрь 24, 2011.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 10 работах, из них 4 статьи в научных журналах списка ВАК и 6 тезисов докладов, 2 из них опубликованы международными конференциями.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Диссертация содержит 17 рисунков. Общий объем диссертации составляет 79 страниц.

Заключение

.

В заключение перечислим основные результаты полученные в работе.

1) Для уравнения с полутора степенями свободы были проведены исследования, позволяющие обосновать утверждение о реализации гамиль-тонового сценария буферности. То есть показано, что при подходящем выборе параметров в его фазовом пространстве существует любое наперед заданное конечное число устойчивых периодических решений как вращательного так и колебательного типа.

2) Для дифференциально-разностного уравнения второго порядка, описывающего работу 11СЬ-генератора с запаздыванием в цепи обратной связи показано, что с увеличением параметра запаздывания происходит каскад бифуркаций, в результате которых может сосуществовать сколь угодно большое количество устойчивых циклов.

3) Для специальных обобщений уравнения Свифта-Хоэнберга с граничными условиями типа Дирихле установлено, что при увеличении длины промежутка изменения пространственной переменной и при фиксированной достаточно малой надкритичности количество сосуществующих устойчивых состояний равновесия у этих краевых задач неограниченно растет.

Выражаю глубочайшую благодарность своему научному руководителю А. Ю. Колесову, во-первых, как моему преподавателю, благодаря которому в своё время я увлеклась изучением дифференциальных уравнений, во-вторых, как деятельному ученому, за обилие поставленных передо мной исследовательских задач, и в третьих, как профессионалу высокого уровня, работа с которым не только приносит удовольствие, но и дает образцы, формирует ориентиры научной деятельности.

Так же хотелось бы поблагодарить С. Д. Глызина за неизменные энтузиазм, доброжелательность и терпение, неоднократно проявленные им в многочисленных научных беседах.

Цитированная литература.

1. Витт A.A. Распределенные автоколебательные системы /A.A. Витт// Журн. технич. физики. — 1934. — Т.4. № 1. — С. 144 — 157.

2. Колесов А. Ю. Асимптотические методы исследования периодических решений нелинейных гиперболических уравнений? А. Ю. Колесов, Е. Ф. Мищенко, Н.Х. Розов//Тр. МИАН им. В. А. Стеклова — Т. 222 -М., 1998.

3. Колесов А. Ю. Специфика автоколебательных процессов в резонансных гиперболических системах/Л.Ю. Колесов, Н. Х. Розов, В.Г. Сушко// Фундамент, и прикл. математика. 1999. — Т. 5, № 2 — С. 437 — 473.

4. Колесов А. Ю. Явление буферности в резонансных системах нелинейных гиперболических уравнений /А.Ю. Колесов, Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов // УМН. 2000. — Т.55, Вып. 2(332) — С. 95 — 120.

5. Колесов А. Ю. Явление буферности в распределенных механических системах/А. Я). Колесов, Н. Х. Розов // ПММ. 2001. — Т. 65. Вып. 2. -С. 183 — 198.

6. Мищенко Е. Ф. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией /Е.Ф. Мищенко, В. А. Садовничий, А. Ю. Колесов, Н.Х. Розов//М., 2005.

7. Turing A. The chemical basis of morphogenesis /А. Turing //Phil.Trans. Roy. Soc. Lond. — 1952. — V. 237. — P. 37 — 72.

8. Глызип С. Д. Явление буферности в системах с полутора степенями свободы / С. Д. Глызип, А. Ю. Колесов, Н.Х. Розов// Ж.вычисл.матем.и матем.физ. — 2006. — Т. 46, Вып.9 — С. 1582 — 1593.

9. Морозов А. Д. Резонансы, цыклы и хаос в квазиконсервативных системах /А.Д. Морозов//М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» — Институт компьютерных исследований, 2005.

10. Ландау JI.Д. Теоретическая физика. Т.1. Механика /Л.Д. Ландау, Е. М. Лифшиц //М., 1988.

11. Уиттекер Э. Т. Курс современного анализа. 4.2. Трансцендентные функции Теоретическая физика /Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон// М.: Физматлит, 1963.

12. Колесов А. Ю. Явление буферности в RCLG-автогенераторе: теоретический анализ и результаты эксперимента / А. Ю. Колесов, Н. Х. Розов // Тр. МИАН. — 2001. — Т. 233. — С. 153 — 207.

13. Стрелков С. П.

Введение

в теорию колебаний / С. П. Стрелков // М.: Наука. — 1964.

14. Азъян Ю. М. Об автоколебаниях в системе с запаздывающей обратной связью /Ю.М. Азьян, В.В. Мигулин// Радиотехника и электроника. — 1965. — Т.1, № 4. — С. 418 — 427.

15. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений /Дж. Хейл // М.: Мир, 1984.

16. Swift J. Hydrodynamic fluctuations at the convective instability/J. Swift, P. S. Hohenberg// Phys. Rev. — 1977. — V. A15, № 1 — P. 319 — 328.

17. Haken, H. Advanced synergetics /Н. Haken//Berlin — N.Y. Springer, 1983.

18. Гетлинг, A.B. Конвекция Релея-Бенара /A.B. /Ъшшмг//М.:Эдиториал УРСС, 1999.

19. Tlidi, М. Transverse patterns in nancsent optical bistability/M. Tlidi, M. Georgiou, P. Mandel// Phys. Rev. — 1993. — V. 48, № 5. — P. 4605−4609.

20. Lega, J. Swift-Hohenberg equation for lasers/ J. Lega, J. V. Moloney, A. Newell// Phys. Rev. — 1994. — V. 73. — P. 2978 — 2981.

21. Гленсдорф, П. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций/Я. Гленсдорф, И. Пригоэюин// М.:Наука. — 1974.

22. Митропольский, Ю. А. Интегральные многообразия в нелинейной меха-нике/Ю.А. Митропольский, О.В. Лыков//М.гНаука. — 1973.

23. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ 2 008 611 464. Пакет программ для анализа динамических систем «Tracer» / Глызин Д. С. (RU). — Заявка 2 008 610 548. Дата поступления 14 февраля 2008 г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 24 марта 2008 г.

Публикации по теме диссертации1.

Публикации в журналах из списка ВАК.

1. Сандуляк, Д. В. Явление буферности в одном уравнении маятникового типа/ Д. В. Сандуляк// Моделирование и анализ информационных систем. — 2007. — Т. 14, № 2. — С. 68−74.

2. Сандуляк, Д. В. Явление буферности в уравнениях с запаздыванием/ Д. В. Сандуляк// Моделирование и анализ информационных систем. — 2008. — Т. 15, № 2. — С. 18−25.

3. Сандуляк, Д. В. Явление буферности в уравнениях с запаздыванием/ДБ. Сандуляк// Дифференциальные уравнения. — 2009. — Т. 45, № И — С. 1664−1666.

4. Сандуляк, Д. В. Явление буферности в обобщенном уравнении Свифта-Хоэнберга/Д. В. Сандуляк// Моделирование и анализ информационных систем. — 2010. — Т. 17, № 1. — С. 83−92.

Прочие публикации.

5. Сандуляк, Д. В. Явление буферности в одном уравнении маятникового типа/ Д. В. Сандуляк // Сборник лучших студенческих научных работ городского конкурса 2007 года «Ярославль на пороге тысячелетия». — Ярославль, 2007. — С. 11−19.

1 Фамилия Сандуляк в связи с заключением брака изменена соискателем на фамилию Малозёмова.

6. Сапдуляк, Д. В. Гамильтонов сценарий явления буферности в уравнении маятникового типа//Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна. Тезисы докладов. — Воронеж: ВорГУ, 2008 — С. 122.

7. Сандуляк, Д. В. Явление буферности в уравнениях с запаздыванием/ Д. В. Сандуляк // Сборник лучших студенческих научных работ городского конкурса «Ярославль на пороге тысячелетия». — Ярославль, 2008. — С. 29−38.

8. Сандуляк, Д. В. Гамильтонов сценарий явления буферности в уравнении маятникового типа /Д. В. Сандуляк // Тезисы докладов 3-й международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования поев. 85-летию Л. Д. Кудрявцева. — М.: МФТИ, 2008. — С.317.

9. Сандуляк, Д. В. Гамильтонов сценарий явления буферности в уравнении маятникового типа /Д. В. Сандуляк // Шестьдесят первая научно-техническая конференция студентов, магистров и аспирантов. Тезисы докладов. — Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2008. — С. 317.

10. Сандуляк, Д. В. Численные исследования явления буферности в уравнении однократного 11СЬ-генератора с запаздыванием в цепи обратной связи/Д. В. Сандуляк //Современные проблемы математики и информатики: Сборник научных трудов молодых ученых, аспирантов и студентов.— Ярославль, 2008 — Вып. 9. — С. 72.