Резольвента оператора дифференцирования и ее применение в некорректно поставленных задачах

В данной работе, отправляясь от резольвенты простейшего дифференциального оператора первого порядка, построены семейства интегральных операторов, позволяющих равномерно аппроксимировать непрерывные функции и их производные любого порядка на отрезке [0,1]. Затем эти семейства используются для аппроксимации решений некорректно поставленных задач.

Математическая задача называется корректно поставленной, если решение ее существует, единственно и непрерывно зависит от исходных данных.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то задача называется некорректно поставленной. Особый интерес представляют некорректно поставленные задачи, в которых не выполняется третье требование корректности. В данной работе рассматриваются именно такие задачи, то есть некорректность понимается в смысле отсутствия непрерывной зависимости решения от исходных данных, а существование и единственность решения предполагаются заранее.

Теория некорректно поставленп- .ix задач начала разрабатываться срав-, нительно недавно — с 60-х годов прошлого века: со времен Адамара ошибочно считалось, что такие задачи не представляют интереса для исследований. Однако, оказалось, что неустойчивые (некорректные) задачи возникают при описании многих физических явлений (см. [1−4]): в геофизике, спектроскопии, астрофизике и т. д., а также в теоретических исследованиях, например, в теории приближений.

Основоположниками теории некорректно поставленных задач являются российские ученые: А. Н. Тихонов, М. М. Лаврентьев, В. К. Иванов. В их работах [5−7] были заложены основы методов приближенного решения таких задач, которые получили дальнейшее развитие как в нашей стране, так и за рубежом.

Большой вклад в теорию некорректно поставленных задач внесли Агеев A. JL, Апарцин А. С., Арестов В. В., Бакушинский А. В., Васин В. В., Васильев Ф. П., Денисов А. М., Мельникова И. В., Морозов В. А., Романов В. Г., Ягола А. Г. и многие другие математики (см. обзоры в 1−4,8,9, а также работы [10−14]).

Из работ близких к исследованиям данной работы, укажем публикации [15−20] (см. также цитированную литературу в указанных работах).

Многие некорректно поставленные задачи приводятся к решению уравнения.

Аи = /, (1) где, А — линейный ограниченный оператор, действующий из пространства Х в пространство Х2 (Х и Х2 — банаховы), и такой, что обратный оператор А~г существует, но неограничен.

При таких условиях уравнение (1) называется операторным уравнением первого рода. Задача приближенного решения уравнения (1) рассматривается обычно в следующей постановке.

При указанных выше предположениях об операторе, А предполагается еще, что правая часть / задана ее 5 -приближениями в метрике пространства Х2, т. е. вместо / нам известны /j, такие, что \fs — f\x2 < Требуется по fs и 8 построить последовательность элементов и§так, чтобы 11⁵ — —> 0 при 5 0.

Для нахождения приближенных решений некорректно поставленных задач применяются методы, называемые методами регуляризации, Метод регуляризации для уравнения (1) состоит из двух частей [21, с. 56].

1. Строится семейство линейных операторов Та, зависящих от параметра а, действующих из пространства Х2 в пространство Х и обладающих свойствами: а) каждый из операторов Та определен на всем пространстве Х2 б) ЦТаЦхз-^Хх < оо при каждом значении параметра ав) для любого и € X1 выполняется сходимость:

ТаАи — u\Xl 0 при, а 0 (2) операторы Таобладающие свойствами а), б), в), называются регуляризиру-ющими [1, с. 44]).

2. Параметр, а согласуется с погрешностью S (cv = а (8)) так, чтобы а (<*)-«0 и 6\Ta{6)\X2^Xl ->0при£->0. (3).

Тогда элементы us = Та^)/б будут являться приближенными решениями уравнения (1).

В дальнейшем мы будем пользоваться известной из теории некорректно поставленных задач теоремой В. К. Иванова.

Для пояснения предварительно отметим, что условия (2) и (3) являются достаточными для сходимости:

Tafs ~ 4Ui -> 0 при, а 0, 5 0.

Это следует из оценки:

TafS — u\Xl < 6\Та\х2->Х1 + IIТаАи — u\Xl. (4).

Если рассмотреть вместо нормы ||Tafs — величину.

A (6,Ta, u) = sup{\Tafs-u\Xl: \f5 — Ли\Х2 < 6}, (5) то эти условия будут являться и необходимыми.

Теорема 0. 1[22]. Для того, чтобы А (5,Та, и) —> 0 при, а —0, S —> 0, необходимо и достаточно, чтобы \ТаАи — u||xi 0 при, а —> 0 и 5\Та\х2-^Хг 0 при, а 0, 5 0.

В данной работе рассматриваются две хорошо известные некорректно поставленные задачи: задача восстановления непрерывных функций и их производных в случае, когда функция задана ее приближением в среднеквадратичной метрике и задача решения уравнения первого рода с приближенно заданной правой частью.

В качестве пространств Xi и Х2 при решении уравнения первого рода берутся конкретные пространства: = Ср[0,1], р > 0 — целое, а для X2 рассматривается два случая: а) Х2 = Ь2[0,1], б) Х2 — С{0,1].

Основным отличием данных исследований от работ других авторов является то, что здесь получены некоторые модификации методов регуляризации по сравнению с традиционным определением. Именно, приближающие функции берутся из более широкого пространства, чем пространство, которому принадлежит точное решение.

Интерес к некорректно поставленным задачам постоянно поддерживается их разнообразными и многочисленными приложениями.

Поэтому всегда актуальной является задача построения методов приближенного решения, простых по конструкции, эффективных с точки зрения исследования их приближающих свойств.

Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы из 36 наименований.

В нумерации формул, принятой в данной работе, первая цифра обозначает номер главы, следующие цифры — порядковый номер данной формулы.

Во введении обозначено направление исследований, приведены некоторые утверждения и обозначения, используемые в дальнейшем, и приведены основные результаты.

В главе I вводятся в рассмотрение и исследуются операторы, имеющие вид: —XRx (L), где L — оператор дифференцирования, Rx (L) — его резольвента, Л — спектральный параметр. Операторы указанной структуры и различные конструкции из них изучаются с точки зрения их приближающих свойств по отношению к непрерывным и непрерывно дифференцируемым какое-то число раз функциям, заданным на отрезке [0,1].

Приближающие свойства операторов вида —XR (B), где В — некоторый оператор, известны и ранее (см., например, [23,24]).

В данной работе в качестве В берутся простейшие дифференциальные операторы первого порядка.

В параграфе 1.1 рассматривается дифференциальный оператор L\ ly = у 2/(0) — 0 и ег0 резольвента R (L). Она имеет вид: X.

R (Li)u = J ex{x-^u (t)dt. о.

Вводится оператор Г21г = rR-r (Li), г > 0, и также операторы DkQir, к = 1,., где DkQ, ru = D1 = D = -— и изучаются их приблиах жающие свойства.

Лемма 1. 2 и лемма 1.4. Если и (х) 6 Сг[0,1]- то имеет место сходимость: rDkR-.r{Li)u — w (fc)0)||c[e, i] 0 при г оо, к = 0,1,.,/, е — произвольное малое полооюительное число.

Лемма 1.7. Для и{х) G С[0,1] справедливы соотношения: ЦО^гг — u||c[e, i]-> 0 при г —> оо, к — 1,.

Для приближершя производных рассматриваются еще операторы DmQir при к>2ит — 1,., к — 1. Они имеют интегральный вид (лемма 1. 8) и для них справедлива.

Лемма 1.9. При к > 2, т = 1,. к — 1 для любой функции и (х) е Cfc-1[0,1] справедливы соотношения:

DmQ!{ru — 0 при т у оо, (6) где DmQ![ru определены в (1.21)-(1.22).

В параграфе 1.2 главы I аналогичная работа проделывается для оператора L2' 1у — у', у (1) = 0. Его резольвента имеет вид: 1.

Rx (L2)u = - J ех{х'ь)и (€)дЛ. X.

Вводится оператор г = —rRr (L2), г > 0 и операторы DkQ2r, к — 0,1,.

Лемма 1. 2а и лемма 1.4а. Если и (х) е С'[0,1], I > 0- целое, то имеет место сходимость: — rDkR (L2)u — ti (fc)(a-)||c[e, i] 0 при г оо, к = 0,1,., 1, е — произвольное малое положительное число.

Далее, рассматриваются операторы f^ri к ~ 1,2,.

Лемма 1. 7а. Для и{х)? С[0,1] справедливы соотношения: ll^w — и||с7[0,1-е] ->• 0 при г оо, к = 1,2,.

Для приближения производных рассматриваются операторы DmQ, 2r.

Лемма 1.9а. При к > 2, m = 1,., А: — 1 для любой функции и (х) Е С^" «1^, 1] справедливы соотношения:

Z)m^>-w (m)llc[o, i-?]->0 при т —^ оо, где DmQ, 2ru определены в лемме 1. 8а.

С целью получить приближения к функциям и их производным на всем отрезке [0,1], в параграфе 1.3 главы I вводятся в рассмотрение операторы: ги для X е [0,½], r ^ Qiru для х Е [½, 1].

Задание разрывной на отрезке [0,1] функции в таком виде здесь и в дальнейшем означает, что мы не обращаем внимания на то, как именно она задана в точке х = ½, поскольку это несущественно). На базе операторов Qru строятся операторы: г~)кГ) f Dkn2ru для X? [0,½], r ~ 1 DkQlru для ж € [½, 1], о (*)&bdquo- - I ги Для х Е [0,½], Ur U~ Пк1ги для х Е [½, 1],.

T^rriQ{k) Г DmQkru для X Е [0, ½], r Dmttkru для [½, 1].

Для них справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. 1. Для любой функции и (х) Е С1[0,1], I > 0, выполняется сходимость:

Dfcfiru-^(fc)||Loo[0)1] ->0 щи т у сю, к = 0,1,., 1.

Теорема 1. 2. Для любой функции и (х) Е Cfc-1[0,l] при k > 1, m — 0,., к — 1 выполняется сходимость:

DmnWu-uW\LeoM->0 при т у оо.

Достоинством операторов в теореме 1. 2 является их интегральный вид, что важно для приложений.

В главе II приближающие свойства операторов, рассмотренных в главе I, применяются для аппроксимации решений некорректно поставленных задач.

В параграфе 2.1 рассматривается задача нахождения равномерных приближений к непрерывной функции и (х) или ее непрерывной производной и (ш}(х) на отрезке [0,1] по заданному приближению fs{x) в метрике пространства ½ [0,1]. Это — частный случай задачи восстановления функции, впервые поставленной Морозовым В. А. 15]. Эта задача рассматривалась многими авторами (см., например, [15−18]).

Основные результаты параграфа сформулированы в теореме 2.2.

Теорема 2. 2. Для сходимости А (8, DmQ, iku) = sup{||jDmf2rfeV<* ~ w (m)IUoo[0,i]: \fs ~ и|и2[од] < 0 при 6 0 для к > 1, т = 0,., к — 1, необходимо и достаточно выполнения согласования г = г (6), удовлетворяющего условиям: г (5) —> оо и (г (5)) 2 5 0 при (5—^0.

В параграфе 2.2 рассматривается интегральное уравнение Фредгольма второго рода: 1.

Аи = и{х) — A J К (х, t) u (t)dt = f (x), (7) о в котором ядро суммируемо с квадратом, а однородное уравнение имеет только тривиальное решение. Если рассматривать оператор А, действующий в пространстве /^[О, 1], то по теореме Фредгольма [25] оно имеет единственное решение при любой правой части, а по теореме Банаха об обратном операторе [26] оператор А~1 ограничен, и, следовательно, задача решения уравнения (7) в пространстве 1] поставлена корректно.

В данной работе рассматривается случай, когда оператор, А действует из пространства Ср[0,1] в пространство ½ [0,1].

Лемма 2.1. Вели в уравнении (7) А е (Ср[0,1] L2[0,1]) (р > 0 -целое) и А~1 существует, то А-1 неограничен.

Из леммы 2.1 следует, что уравнение (7), имеющее вид интегрального уравнения второго рода, с оператором А, определенным в лемме, по существу является частным случаем операторного уравнения первого рода. Для такого уравнения в параграфе 2.2 строятся методы приближенного решения.

Сначала рассматривается случай р = 0 и семейство операторов.

Trf = ПГА где, А есть оператор А, рассматриваемый как оператор из Ьг[0,1] в Ь2[0,1].

Теорема 2. 3. Если и (х) € С[0,1], то для сходимости.

Д (5,ТГ,") = sup{||Tr/5 — u||Loo[0>i]: || fs — Au\L2m < 0 при 5 —> 0, достаточно выбрать г = г (5) так, чтобы г (S) —> оо, (г{5))1'25 0 при 6 0.

Затем рассматривается случай р ф 0, pi про аналогии с предыдущим случаем строится семейство операторов:

Tr (m)/ = D™^1^ A'1 f.

Для этого семейства доказывается.

Теорема 2. 4. Если и (х)? Ср[0,1], р > 1, то для сходимости А (5,Т^и) = {sup \T™fs — ^Ц^рд]: \.fs ~ Аи\Ь2[0Л] < <5} -> О при 6 —> 0, m = 1,., р} достаточно выбрать г — г (6) так, чтобы.

2тЧ-1 г (6) +оо, (r (J))~(5-yO при 60.

Теоремы 2.3 и 2.4 конкретизируются для уравнения (7) с вырожденным ядром, т. е. с ядром, имеющим вид: п г= 1 где {vi (t)}^=l — линейно независимые системы функций в.

И 0,1].

В этом случае получен конкретный вид операторов Тг и Trm.

Теорема 2. 5. Если в уравнении (7) ядро K (x, t) имеет вид (8), то операторы Тг имеют вид: т, / т2г/, х е [0,½], г/~1 г1г/, as G [½, 1],.

1 1 T2rf = r J T2(x, t, r)f{t)dt, Tlrf = r J Тг (М, г)/М<�Й, (9) где f n.

Z) 92j (x, r) Vj (t), t.

T2(x, t, r)= { j=1 i=i.

Ti (x, t, r) e-^-Q + 'Egvix^Vjit), t.

T, 9ij (x, r) vj{t),.

3 = 1 t > X,.

11) n Л.

92j (x, r) = J2-XTIT7* / ^ T)^®dr'.

Д (А) n л г ж.

7ji / е.

— г (ж—т).

5i (T)dr,.

Д (Л) =.

1 — Логц — Ла.

12 Ла.

In.

— Ла. nl.

Хап2. — Ла.

77.7).

12) ctij = (gj, Vi), тji — алгебраическое дополнение элемента, стоящего в j — ой строке, гом столбце определителя Д (Л).

Теорема 2. 6. Если в уравнении (7) ядро K (x, t) имеет вид (8), то операторы Тг&trade-^ определяются по формулам: где то&bdquo-,, = I 7Г7- * 6 [0,½] «7 ^ Т’Г1/, ® е [½, 1], i.

T^)f = rm+lJ Ttx, t, r)f (t)dt,.

T< x. n.

K2m (x, t, m + l, r) + J2 ai? (x'r)vi (t)> 1? ж>

3=1 tl.

KLm (x, t, m+l, r) + X) 1 < i=i t > x,.

3 = 1 jFClm (x, t, m-f I,?"), K2m{x, t, га + l, r) определены в леммах 1.8,1. 8a при k = m + 1, A (A), aij, Jji ~ в условии теоремы 2. 5, g^x, r) (g2jx, r)) отличаются от gj (x, r) (g2j (x, r)) теоремы 2. 5 заменой на.

К2т{х, т, т + 1, г) (ег^х~т) на Klm (x, т, m + 1, г)).

В параграфе 2.3 главы II рассматривается интегральное уравнение Вольтерра первого рода: X.

Аи = J А (х, t) u (t)dt = f (x) (13) о с ядром A (x, t), удовлетворяющим условиям:

A (x, t), Ax (x, t), Axt (x, t) непрерывны, А{х, х) — 1, Ах (х, t) t~x = 0.

Уравнение вида (13) в различных постановках являлось предметом исследования многих авторов (см., например, [18−20] и обзор в [27]).

В данной работе оператор, А рассматривается в двух случаях: а) А<=(С[0,1]-^С[0,1]), б) Лб (С[0,1]->Ь2[0,1]).

Для каждого из этих случаев получены методы нахождения равномерных приближений к решению и{х) с помощью операторов, исследованных в главе I.

В п. 1 рассматривается простейшее уравнение (13) с ядром А (ж, t) ~ 1 -в случае а).

Строится семейство операторов:

Тг°/ = QrA~lf.

Лемма 2. 2. Операторы Тг° имеют вид: г2 / f (t)dt + r (e-^-)/(1) — /(яг)) ее Т2°г/, 0 < х < ½,.

Тг7 = { х X.

— г2 J e'^-^fWdt + rf (x) = Т? г/, ½ < х < 1. о.

Лемма 2.3. Для норм операторов Т®справедлива двусторонняя оценка, асимптотическая по г при г —У оо- - г V < Н^ЦсрдЬЬооР,!] < 2 г + те~г'.

Теорема 2. 7. Для сходимости А (д, Т]п, и) = sup{J|T,?/<5 — «мЦ^^од]: II/5 — /||с[о, 1] < <5} —О при 5 —У 0, необходимо и достаточно выбрать г = г ($) так, чтобы г (8) —У 00, а г (6)5 —>¦ 0 при 5 —у 0.

В п. 2 параграфа 2.3 рассматривается уравнение (13) с оператором, А общего вида в случае а).

Для этого оператора указывается обратный оператор А" 1 и рассматриваются, как и пункте 1, операторы Тг —.

Теорема 2. 8. Операторы Тг имеют вид:

Trf = Тг°/ + тД/, где Т®определены в лемме 2. 2, 1.

TrV = J Ti (x, t) f (t)dt, о 1.

T}{x, t) = -г J er{x~T)Nt (r, t) dT при t < х, хе [0,½], х 1.

T}(x, t) = -г J er{x-T)Nt (T, t) dr при t>x, x? [0,½], t X.

TXx, t) = -rfe-^Ntir, t) dr nPu t <, , 6 [X/2, !], t.

T*{x, t) = 0 при t > x, x G [½, 1].

Теорема 2. 9. Для сходимости.

5,Tr, u) = sup{||Tr/, -ix||Leo[0li]: \fs — f\C[o.i) < <5} 0 при 5 —> 0 необходимо и достаточно выбрать г — г (<5) т, ак, чтобы г (5) —> оо, а г (5)6 —" О при 5 —у О.

В пункте 2 параграфа 2.3 рассматривается простейшее уравнение (13) в случае б). Здесь строится другое семейство операторов Тг°, использующее операторы, а именно: о ГrQ2rf + rQlf, х Е [0,½], ^^{r^J-rnlf, х Е [½, 1].

Лемма 2. 7. Для любой и (х) Е С[0,1] имеет место сходимость: ||Т^Аи — u||Loo[0)i] 0 при г -> оо.

Лемма 2. 8. Для норм ||Тг0||^2[од]>Ьоо[о, 1] имеет место асимптотическая по г при г —" оо формула:

3/2.

Н^НыолЬ^о,!] = V + о (г^е^).

Теорема 2. 10. Для сходимости Д («5, Тг°,») ее sup{||T?fs — u\Loo[Qil]: || fs — /||l2[o, i] < <5} О при 50 необходимо и достаточно выбрать г = г (<5) так, чтобы г (8) —> ооа (r (J))3/2? 0 при 5-^-0.

В пункте 4 рассматривается уравнение (13) с оператором общего вида в случае б).

Строятся операторы f (n22rA-'f — r2e-^-*)(l — x) f (l) = f2r/, * E [0,½], rJ X П1А-1/ = Г1г/, *E [½, 1], где оператор А-1 определен в лемме 2.4.

Теорема 2. 11. Операторы Тг имеют вид:

Trf = T? f+Trlf, где Тг°/ определены в (14) 1.

Trlf = J Trx, t) f (t)dt, о 1 т}(х, t) — -г2 J (гx)er^Nt (r, t) dr t.

T}(x, t) = -r2 J (rx)erix~T)Nt (T, t) dr t>x, xe[0,½], г X.

T}(x, t) = -r2^(x-T)e~r{x-T)Nt{T, t) dT t < x, x 6 [½, 1], t.

T*(x, t) = 0, x 6 [½, 1].

Теорема 2. 12. Длл сходимости.

A (8,Tr, u) = supdlTJj — 11Loo[o, i]: И/л ~ /IU2[o, i] < -> 0 npu <5-^0 необходимо и достаточно выбрать г — г (5) так, чтобы г (6) —> со, а (г{5))^25 0 при 5 0.

В главе 3 рассматривается уравнение (13) в случае а) и для него предлагается метод нахождения приближенных решений с помощью операторов Фейера Fn. Из теории приближений периодических функций [28] строится семейство операторов Fni определяемых из соотношения Fnu — Fnu, где й{х) — непрерывное периодическое с периодом 2 продолжение функции и (х) на всю вещественную ось.

Лемма 3. 1. Справедливо равенство: 1.

Fnu = Fnu, где Fu = j Fn (x, t) u (t)dt, о / k Fn (x71) = 1 + 2 2 (1—) cos kirt cos к-кх. k=l ^.

В пункте 1 рассматривается простейшее уравнение вида (13) и строятся операторы = FnA~l.

Лемма 3. 2. Операторы Т®имеют вид:

T°f l + {-l)kcos ктгх /(1) -2тг]Г —^ kcoskirx ! sin knt f (t)dt.

Лемма 3. 3. Операторы T®, рассматриваемые как операторы в пространстве С[0,1], являются ограниченными при каждом фиксированном п и для их норм справедлива двусторонняя оценка: п < ||ТП°|| < 2/Зп2 + 2тг-Ь1/3.

Теорема 3. 1. Для сходимости.

А (6Х,") = sup{||T°fs — M||c (0li]: \fs -/!!с[о, 1] < О при <5 —О, необходимо выбрать п = п (8) так, чтобы п{8) —> оо, а п{8)8 0 при 8 —У 0 и достаточно — чтобы п{8) —> оо, а п2(8)8 —> 0 при 8-^0.

В пункте 2 рассматривается уравнение (13) общего вида и строятся операторы Тп — FnA~l.

Теорема 3. 2. Операторы Тп имеют вид: гр грО, rpl ¦^п 72 Г х п ' где операторы определены в лемме 3. 2, 1 г&bdquo-7= I T^(xtt)mat, N.

Tn1(x, t) = - J Fn{x, T) Nl{r, t) dT, t.

N (r, t) — ядро оператора N.

Теорема 3. 3. Для сходимости.

A (S, Tn, u) ЕЕ sup{||Tn/, — «||с[0|1]: II/, — /||с[0>1] < 5} О при 8 0, необходимо выбрать п = п (5) так, чтобы п (5) —>¦ оо, а п (5)5 —у О при 5 —У 0 и достаточно — так чтобы п{5) —> оо, а п2(5)8 —У 0 при 5 0.

1. Иванов В. К. Теория линейных некорректных задач и ее приложения Текст]/В. К. Иванов, В. В. Васин, В. П. Танана. — М.:Наука, 1978. -206 с.

2. Васин В. В. Некорректные задачи с априорной информацией Текст]/В. В. Васин, А. Л. Агеев. Екатеринбург: Уральская издат. фирма «Наука», 1993. — 262 с.

3. Тихонов А. Н. Нелинейные некорректные задачи Текст]/А. Н. Тихонов, А. С. Леонов, А. Г. Ягола. М.:Наука, 1995. — 311 с.

4. Лаврентьев М. М. Некорректные задачи мематической физики и анализа Текст]/ М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, С. П. Шишатский. -М.:Наука, 1980. 272 с.

5. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач Текст]/ А. Н. Тихонов // Доклады АН СССР. 1963. Т. 153.,№ 1. — С. 49−52.

6. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики Текст]/ М. М. Лаврентьев. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. — 92 с.

7. Иванов В. К. О линейных некорректных задачах Текст]/ В. К. Иванов // Доклады АН СССР. 1962. — Т. 145, № 2. — С. 270−272.

8. Морозов В. А. Линейные и нелинейные некорректные задачи Текст]/ В. А. Морозов // Итоги науки и техники. Математический анализ. -М.: ВИНИТИ, 1973. Т. 11. — С. 129−178.

9. Бакушинский А. Б. Некорректные задачи, Численные методы и приложения Текст]/ А. Б. Бакушинский, А. В. Гончарский. М.:Изд-во Моск. ун-та, 1989. — 199 с.

10. Танана В. П. Методы решения операторных уравнений Текст]/ В. П. Танана. М.:Наука, 1981. — 155 с.

11. Иванов В. К. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи Текст]/ В. К. Иванов, И. В. Мельникова, A. JI. Филинков.- М.: Наука, 1995. 171 с.

12. Алифанов О. М. Экстремальные методы решения некорректных задач Текст]/ О. М. Алифанов, Е. А. Артюхин, С. В. Румянцев. М.: Наука, 1988. — 286 с.

13. Арестов В. В. О равномерной регуляризации задачи восстановления значений оператора Текст]/В. В. Арестов//Матем. заметки. 1977. Т. 22, № 2. С. 231−249.

14. Васильев Ф. П. Линейное программирование Текст]/Ф. П. Васильев, А. Ю. Иваницкий. М.: Факториал, 1998. — 176 с.

15. Морозов В. А. О восстановлении функций методом регуляризации Текст]/ В. А. Морозов //Ж. вычисл. мат. и матем. физ. — 1967. — Т. 7, № 4. С. 874−884.

16. Васин В. В. Об устойчивом вычислении производной в пространстве С (—оо, оо) Текст]/В. В. Васин // Ж. вычисл. мат. и матем. физ. -1973. Т. 13, № 6. — С. 1383−1389.

17. Колпаков В. И. Восстановление функции и ее производной в условиях задания функции с погрешностью Текст]/В. И. Колпаков // Доклады Рос. Академии естеств. наук. Саратов: Изд-во Сарат. гос. технич. ун-та. 1999. — № 1. — С. 100−124.

18. Хромова Г. В. О конструировании методов регуляризации в пространствах дифференцируемых функций Текст]/Г. В. Хромова, Е. В. Шишкова // Ж. вычисл. мат. и матем. физ. 2006. — Т. 46, № 11. — С. 1915;1922.

19. Денисов А. М. О приближенном решении уравнения Вольтерра I рода Текст]/ А. М. Денисов //Ж. вычисл. мат. и матем. физ. — 1975. — Т. 15, № 4. С. 1053−1056.

20. Хромов А. А. О нахождении приближений к непрерывным решениям уравнений I рода Текст]/ А. А. Хромов, Г. В. Хромова // Ж. вычисл. мат. и матем. физ. 2009. — Т. 49, № 2. — С. 225−231.

21. Хромов А. А. Приближение решений интегрального уравнения первого рода с помощью сумм Фейера Текст]/ А. А. Хромов // Математика. Механика. Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. -Вып. 10. — С. 89−92.

22. Хромов А. А. Приближающие свойства степеней резолбвенты оператора дифференцирования Текст]/ А. А. Хромов // Известия Сарат. ун-та. Серия Математика. Механика.Ннформатика. Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Т. 9. — Вып. 3. — С. 75−78.