Машина Минского, свойства нильпотентности и размерность Гельфанда-Кириллова в конечно-определенных полугруппах

Широко известна бернсайдова проблематика, охватывающая большой круг вопросов, как в теории групп, так и в смежных областях. Проблемам бернсайдовского типа посвящена обзорная статья Е. И. Зельманова [20]. В PI-случае вопросы локальной конечности алгебраических алгебр решаются положительно. В ассоциативном случае соответствующий результат был получен И. Капланским и Д.Левицким. Чисто комбинаторное доказательство для ассоциативного случая получается из теоремы Ширшова о высоте [21], [22]. Для PI-алгебр Ли соответствующий результат был получен Е. И. Зельмановым и А. И. Кострикиным. Подробная библиография по этому вопросу изложена в монографии [24].

Первый контрпример к «неограниченной» проблеме был найден Е. С. Голодом в 1964 году на основе универсальной конструкции Е. С. ГолодаИ. Р. Шафаревича. Вопрос о локальной конечности групп с тождеством хп = 1 был решен отрицательно в знаменитых работах П. С. Новикова и С. И. Адяна [1968]: было доказано существование для любого нечетного п ^ 4381 бесконечной группы с т > 1 образующими, удовлетворяющей тождеству хп — 1. Эта оценка была улучшена до п ^ 665 С. И. Адяном [1975]. Позднее А. Ю. Ольшанский предложил геометрически наглядный вариант доказательства для нечетных п > Ю10. В конечно-определенном случае все подобные вопросы сильно усложняются. В этом направлении работают многие исследователи, и определенного прогресса достигли М. Сапир и И. Рипс.

Построения в группах, как правило, более сложны, чем в полугруппах. Например, вопрос о существовании конечно-порожденной ниль-полугруппы, то есть полугруппы, каждый элемент которой в некоторой степени обращается в нуль, имеет тривиальный положительный ответ: уже в алфавите из двух букв имеются слова сколь угодно большой длины, не содержащие трех подряд одинаковых подслов (кубов). Первая конструкция такого рода принадлежит Туэ [1912]. Однако, если потребовать от полугруппы возможность ее задания конечным числом определяющих соотношений, ситуация сильно усложняется — вопрос о существовании такой полугруппы открыт (см. [Свердловская Тетрадь]).

На проблематику, связанную с построением разного рода экзотических объектов с помощью конечного числа определяющих соотношений обратил внимание В. Н. Латышев. Им же была поставлена проблема существования конечно определенного ниль-кольца [23].

В качестве продвижения в решении этого вопроса можно рассматривать результаты Хигмана, Г. П. Кукина, В. Я. Беляева о вложениях рекурсивно-определенных объектов в конечно-определенные. [7], [9], в частности, теорема Хигмана о вложении рекурсивно-определенных групп в конечно-определенные. В этом контексте можно рассматривать результат о существовании конечно-определенной полугруппы, содержащей ненильпотентный ниль-идеал, рассматриваемый в настоящей диссертации.

Хотя до сих пор и не удается построить контрпримеры к проблемам Бернсайдовского типа с помощью конечного набора определяющих соотношений, были построены конечно определенные объекты с разного рода «экзотическими» свойствами. В. А. Уфнаровским был построен пример конечно-определеной алгебры с промежуточным ростом [3]. Этот пример представляет собой универсальную обертывающую алгебру алгебры Ли со степенным ростом. В данной диссертации приведена конструкция конечно определенной полугруппы с нецелой размерностью Гельфанда-Кириллова.

Для построения конечно-определенных полугрупп с подобными «экзотическими» свойствами чрезвычайно эффективным оказывается подход, связанный с использованием машины Минского. Машина Минского эквивалентна Машине Тыоринга, но в ее конструкции используется только два регистра. Этим объясняется ее удобство при использовании в алгебраических конечно-определенных системах.

В настоящей диссертации данный подход используется для посторое-ния конечно-определенной полугруппы с размерностью ГельфандаКириллова, равной N + а, где, а — некоторое рекурсивное число, N — натуральное число, зависящее от а. В процессе построения в полугруппе реализуется машина Минского, вычисляющая соответствующее рекурсивное а. Кроме того, система соотношений определяет канонический вид слова для реализации требуемой размерности ГельфандаКириллова.

Построение разного рода конечно определенных экзотических объектов тесно связано с алгоритмической проблематикой. Известно, что проблема равенства в конечно-определенной полугруппе, а следовательно, и алгебре, алгоритмически неразрешима. С другой стороны, эта проблема разрешима, если идеал соотношений задан конечным базисом Грёбнера, замкнутым относительно композиции [12]. В этой связи В. Н. Латышев в 1980 году поставил опрос о существовании алгоритма определения, является ли данный элемент делителем нуля или нильпотентом в случае, когда идеал соотношений задан конечным базисом Грёбнера.

Кроме этого, В. Н. Латышевым был поставлен также аналогичный вопрос для мономиальных автоматных алгебр. Для этого случая существование алгоритма проверки, является ли данный элемент нильпотентом, было установлено В. В. Борисенко, а существование алгоритма для делителей нуля — А. Я. Беловым и В. В. Борисенко [2]. Аналогичный результат для некоторого класса квадратичных алгебр был получен Н. К. Иы-уду [13], [14] а также Д. И. Пиоитковским [15]. Все эти результаты вытекают из разрешимости системы линейных рекурентов на дереве [17]. Из результата работы [17] вытекает также существование алгоритма для установления делителей нуля для целого класса алгебр с ограпичепой переработкой (аналогичной условию малых сокращений в теории групп.

Определение 0.0.1. Пусть на мономах алгебры, А с фиксированной системой образующих есть порядок, для которого существует нормальный базис, т. е. базис из мономов, не представимых в виде линейной комбинации меньших. Алгебра, А называется алгеброй с ограниченной переработкой справа, если при некотором d Е N для любого нормального слова W в алгебре, А и любой образующей щ выполняется равенство.

Wat = W- (? (0.1) 3 где Aj Е F для всех j, кроме того, WWj суть нормальные слова алгебры A, Wj ^ 2d, а слово W есть начальный кусок слова W длины W — d.

Если множество слов нормального базиса образует регулярный язык, каждому слову отвечает вершина автомата и все коэффициенты зависят только от типа вершины графа, отвечающего слову W, то, А есть автоматная алгебра с ограниченной переработкой справа.

Аналогичным образом определяется (автоматная) алгебра с ограниченной переработкой слева.

Один из основных результатов данной диссертации показывает, что условие ограниченной переработки является необходимым. Мы строим алгебру с алгоритмически неразрешимой проблемой делителей нуля, и идеалом соотношений, заданным конечным базисом Грёбнера. Тем самым дается отрицательный ответ на вопрос, поставленный В. Н. Латышевым.

Построение основано на подходе, связанным с использованием машины Минского. Для этого в полугруппе конструируется машина Минского, реализующая универсальную машину Тыоринга, одна элементарная операция работы которой соответствует умножению слева на выделенную букву. Остановка машины соответствует обнулению слова.

Таким образом, основные результаты диссертации таковы:

1. Построен пример алгебры, идеал соотношений которой задан конечным базисом Грёбнера, в которой вопрос, является ли элемент делителем нуля, алгоритмически неразрешим.

2. Построен пример конечно-определенной полугруппы с рекурсивной размерностью ГельфандаКириллова.

3. Построен пример бесконечной конечно-определенной полугруппы, содержащей ненильпотентный нильидеал.

Методы исследования. В работе использованы методы построения полугрупп с нулем и полугрупповых алгебр, с помощью введения определяющих соотношений. Основным элементом конструкции является реализация машины Минского. В первой главе реализуется универсальная машина для доказательства алгоритмической неразрешимости. При построении полугрупп с нецелой и рекурсивной размерностью Гельфанда-Кириллова машина используется как вычисляющий инструмент.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер.

Апробация работы. Основные результаты диссертации многократно докладывались на семинаре «Кольца и модули» кафедры высшей алгебры МГУ в 2000;2006 гг., а также на следующих конференциях:

1. Международная алгебраическая конференция в честь Е. С. Ляпина, Санкт-Петербург, 1999.

2. 65-th International Workshop in Algebra (AAA65) and Conference of Young Algebraists (CYA), Potsdam University, 2003.

Часть результатов опубликована в работе [10], автору диссертации принадлежит часть, относящаяся введению определяющих соотношений реализующих конструкцию обмена сигналами.

Отдельная часть результатов опубликована в статье [11], автору принадлежит часть, относящаяся к введению определяющих соотношений.

Основные результаты также опубликованы в сборниках тезисов докладов на международных конференциях (см. [??]).

Структура диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введения, пяти глав и списка литературы, который включает 25 наименований.

Благодарности. Автор глубоко благодарен своем научным руководителям — доктору физико-математических наук профессору Алексею Яковлевичу Белову и доктору физико-математических наук Александру Васильевичу Михалеву за постановку задач, обсуждение результатов и постоянное внимание к работе.

Также автор хотел бы поблагодарить за внимание и обсуждения работы доктора физико-математических наук, профессора Латышева Виктора Николаевича, и доктора физико-математических наук, профессора Артамонова Вячеслава Александровича.

Автор выражает свою отдельную благодарность кандидату физико-математических наук Богданову Илье Игоревичу за детальное обсуждение работы.

1. Krause G. R., Lenagan Т. H. Growth of algebras and Gelfand-Kirillov dimension. LondonPitman Adv. Publ. Program, 1985, 182.

2. Belov A. J., Borisenko V. V., Latysev V. N. Monomial Algebras. NY. Plenum, 1997.

3. Уфнаровский В. А. О росте алгебр. Вестник МГУ. вып 1, 1978, 4, 59−65.

4. Gelfand I. М., Kirillov A. A. Sur les corps lies aux algebras enveloppantes des algebras de Lie. Pubis, math. Inst, hautes etud. sci., 1966, 31, 509 523.

5. Sapir M. V. Algorithmic Problems for Amalgams of Finite Semigroups.

6. Latyshev V. On the recognizable properties of associative algebras. Special vol. J.S.C.: On computational aspects of commutative algebras. London: Acad. Press, 1988, 237−254.

7. Kukin G. P. The variety of all rings has Higman’s property. Algebra and Analysis. Irkutsk. 1989 91−101.

8. Bokut L. A., Kukin G. P. Algoritmic and combinatorial aldebra. Math, and its appl. 233.

9. Belyaev V. Ya. Imbeddability of recursively defined inverse semigroups in finitely presented semigroups. Sibirsk. Math. Journal 25 no. 2., 1984. 50−54.

10. Belov A. Ya. Ivanov I. A Construction of Semigroups with Some Exotic Properties, Comm. in Algebra, Volume 31, Number 2, 2003. 673−696.

11. Belov A. Ya. Ivanov I. A Construction of Semigroups with Some Exotic Properties, Acta Appl. Math 85 (2005), no 1−3, 49−56.

12. Bergman G. The diamond lemma for ring theory. Adv. Math., 1978, 29, 2, 178−218.

13. Иыуду Н. К. Алгоритмическая разрешимость проблемы распознавания делителей нуля в одном классе алгебр. Фунд. и прикл. матем., 1995, 2, 1, 541−544.

14. Иыуду Н. К. Стандартные базисы и распознаваемость свойств алгебр, заданных копредставлением. Дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ. мат. наук — Москва, 1996, 73.

15. Пионтковский Д. И. Базис Грёбнера и когерентность мономиальной ассоциативной алгебры. Фунд. и прикл. матем., 1996, 2, 2, 501−509.

16. Пионтковский Д. И. Некоммутативные базисы Гребнера, когерентность ассоциативных алгебр и делимость в полугруппах. Фунд. и прикл. матем., 2001, 7, 2, 495−513.

17. Белов А. Я. Линейные рекуррентные уравнения на дереве. Математические заметки, 78, N5, 643−651.

18. Уфнаровский В. А. Комбинаторные и асимптотические методы в алгебре. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. мат. Фундам. направления. М.: ВИНИТИ, 1990, 57, 5−177.

19. И. А. Иванов-Погодаев, «Алгебра с конечным базисом Грёбнера, и неразрешимой проблемой делителей нуля», Фундаментальная и прикладная математика, том 12(4), 2006.С.55−65.

20. Zelmanov Е. On the nilpotency of nilalgebras. Lect. Notes Math., 1988, 1352, 227−240. РЖМат, 1989, 7A188).

21. Ширшов А. И. О некоторых неассоциативных ниль-кольцах и алгебраических алгебрах. Мат. сб., 1957, 41, 3, 381−394. (РЖМат, 1958, 164).

22. Ширшов А. И. О кольцах с тождественными соотношениями. Мат. сб., 1957, 43, 2, 277−283. РЖМат, 1958, 7544).

23. Днестровская тетрадь: оперативио-информац. сборник — 4-е изд. — Новосибирск: изд. ин-та матем. СО АН СССР, 1993, 73.

24. Кострикин А. И. Вокруг Бернсайда. М.: Наука, 1986, 232.