Конечные группы с заданным набором порядков элементов

Множество порядков элементов конечной группы несет богатую информацию о самой группе. Подтверждением этого является факт существования групп, которые восстанавливаются с точностью до изоморфизма по своему множеству порядков элементов. Характер изменения этого множества при расширениях является популярным предметом изучения. Классическим примером служит известная работа Ф. Холла и Г. Хигмэна [1], в которой в связи с ослабленной проблемой Бернсайда изучаются порядки р-элементов в накрытии р-разрешимой группы Н = О/М для случая, когда N — элементарная абелева р-группа и Н действует точно на ./V при сопряжении в О. Холл и Хигмэн доказали, что при таких условиях G, как правило, содержит р-элемент, порядок которого отличен от порядка любого элемента группы Н. Упомянем еще работу [2], в которой доказывается, что в случае, когда N — прямое произведение простых групп, = 1 и Я = — циклическая 2-группа, всегда существует 2-элемент, порождающий по модулю ТУ, порядок которого больше порядка группы Н.

Обозначим через ш{Н) множество порядков элементов конечной группы Н. Скажем, что группа Н распознаваема по множеству ш (Н), если из равенства и (Н) = следует изоморфизм Н и О для любой конечной группы Ст. Нетрудно показать, что любая группа, содержащая нетривиальную разрешимую нормальную подгруппу, не является распознаваемой. Поэтому проблема распознаваемости представляется естественной для конечных почти простых и, в частности, простых групп. Существует обширная литература, посвященная вопросам распознаваемости таких групп. Последние результаты и обзор можно найти в [3].

Очевидно, что любая распознаваемая группа Н обладает следующим свойством: ш{Н) ф ^(Ст) для любого собственного накрытия С? группы Н. (*).

Это свойство слабее распознаваемости по множеству порядков элементов. В качестве подтверждения можно привести знакопеременную группу Аб, для которой выполнено (*) и которая не распознаваема. Но даже проверка этого более слабого свойства для многих групп является трудоемкой.

В первой главе свойство (*) доказывается для любой неразрешимой группы Н, изоморфной симметрической или знакопеременной группе. А именно, доказывается следующая теорема.

Теорема А. (1.5.1) Пусть фактор-группа Н — Ст/ЛГ конечной группы С изоморфна симметрической или знакопеременной группе степени т, где т > 5 и N ф 1. Тогда в С есть элемент, порядок которого отличен от порядка любого элемента из Н.

Результаты первой главы опубликованы в [17] и [18], докладывались на семинарах «Алгебра и логика» и «Теория групп» в НГУ, на алгебраической конференции в Санкт-Петербурге в 1997 г. (см. [23]) и на студенческой конференции в Новосибирске в 1997 г. (см. [26]).

Отметим, что для произвольных почти простых (и даже простых) групп Н аналогичную теорему доказать невозможно. Например, существует расщепляемое расширение элементарной абелевой группы порядка 242 посредством простой группы Н = Щ{7), в котором порядок любого элемента равен порядку некоторого элемента группы Я.

Напомним, что множество и (О) конечной группы С определяет граф Грюнберга-Кегеля С К (О), вершинами которого служат простые делители порядка группы и два простых числа р, д соединены ребром, если О содержит элемент порядка рд.

В работе [4] доказывается, что знакоперемнная група Аг простой степени г ^ 5 распознаваема по своему множеству порядков элементов. Это доказательство опирается на тот факт, что граф GK (Ar) несвязный и простое число г составляет его компоненту связности. Этим же свойством обладает граф Грюнберга-Кегеля знакопеременной группы АП1 где п = г + 1 или г + 2 для простого г, что позволяет перенести доказательство распознаваемости из [4] на случай таких групп. А именно, во второй главе доказана следующая теорема.

Теорема В. (2.1.1). Пусть G — конечная группа такая, что uj (G) = си (Ап), где Ап — знакопеременная группа степени п = г + 1 или г + 2 для простого г > 5. Тогда G изоморфна Ап.

Результаты второй главы опубликованы в [19], докладывались на алгебраической конференции в г. Супрашль (Польша) в 1999 г. (см. [21]), на студенческой конференции в Новосибирске в 1999 г. (см. [25]), а также на семинаре «Алгебра и Логика» в НГУ.

Среди простых знакопеременных групп степень которых не является числом вида г, г+1, г+2 (т.е. групп со связным графом Грюнберга-Кегеля) Аю, Aie, А22, • • • лишь про группу Аю было известно, что она не является распознаваемой (см. 3]). В. Д. Мазуров высказал гипотезу, что все остальные группы из этого списка распознаваемы. В третьей главе доказывается, что группа Aiq распознается по своему множеству порядков элементов. Доказана следующая теорема.

Теорема С. (3.1.1) Пусть G — конечная группа такая, что w (G) = (?(Aie), тогда G изоморфна А§-.

Значимость этого примера состоит в том, что Аg — первая известная простая распознаваемая группа со связным графом Грюнберга-Кегеля.

Четвертая глава посвящена изучению свойства (*) для проективных специальных линейных групп Ln (q) и установлено, что некоторые серии таких групп им обладают. А именно, доказана следующая теорема.

Теорема D. (4.2.1) Пусть G — полупрямое произведение элементарной абелевой г-группы V на группу Ln (q), q = рт, р — простое, п > 3. Тогда u (G) % u (Ln (q)) в каждом из следующих случаев: a) Ln (q) действует на V неточно, б) Г Ф р, в) 71 = рк ы д > 2, г) п = 3 и либо ц ф 1(тос1 36) либо д = р — простое.

В частности, свойство (*) выполнено для групп где р простое, и для групп Ьп (д), где п — степень р, и д ф 2.

Результаты глав 3 и 4 опубликованы в [20], докладывались на алгебраической конференции в Москве в 1998 г. (см. [22]) и были анонсированы в тезисах научно-технической конференции в Красноярске в 1999 г. (см. [24]).

В работе используются следующие обозначения. Через Ат и Бт обозначается знакопеременная и, соответственно, симметричеческая группу степени т и через^р — циклическая группа порядка р. Порядок элемента д группы обозначается через д. Через А. В будем обозначать группу с нормальной подгруппой А, факторгруппа по которой изоморфна В. Для конечной группы через Эос ((7) обозначается произведение минимальных нормальных подгрупп в С. Через /?((?) обозначается множество максимальных по делимости элементов из и>(О). Множество и-(С?) однозначно восстанавливается по ¡-л{0) и наоборот. Через 8 {О) будем обозначать число связных компонент в ОК{С)1 а через ^¿-(^О множество тех п Е /¿-(Сх), каждый простой делитель которых лежит в г-й компоненте связности графа С К (О), обозначаемой Для группы? четного порядка положим 2 € Через 0Ж (0) обозначается наибольшая нормальная 7г-подгруппа в С?, а через 0 я" (С?) — наименьшая нормальная подгруппа в С, факторгруппа по которой есть 7г-группа. Для целых чисел, а и Ъ факт делимости (неделимости) Ь на, а обозначается через аЬ (а /6).

Результаты второй, третьей и четвертой глав диссертации получены соискателем лично. Результаты первой главы получены в соавторстве с В. Д. Мазуровым.

Пользуясь случаем, автор хотел бы выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю В. Д. Мазурову за постановку задачи, всестороннюю помощь в работе и внимание с его стороны.

1. P. Hall, G. Higman, The p-length of p-soluble groups and reduction theorems for Burnside’s problem, Proc. London Math. Soc., 1.I. Ser., 6 (1956), 1−42.

2. M. Aschbacher, P.B.Kleidman, M.W.Liebeck, Exponents of almost simple groups and an application to the restricted Burnside problem, Math. Z., 208 (1991), 401−409.

3. В. Д. Мазуров, Распознавание конечных групп по множеству порядков их элементов, Алгебра и логика, 37, N6 (1998), 651−666.

4. А. С. Кондратьев, В. Д. Мазуров, Распознавание знакопеременных групп простой степени по порядкам их элементов Сиб. матем. ж., 31, N2 (2000), 80−91.

5. The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Version 4b5- Aachen, St Andrews, 1998. (http://www-gap.dcs.stand.ac.uk/ ~gap).

6. В. Д. Мазуров, О множестве порядков элементов конечной группы, Алгебра и логика, 33, N1 (1994), 81−89.

7. J.H.Conway, R.T.Curtis, S.P.Norton, R.A.Parker, R.A.Wilson, Atlas of finite groups, Oxford: Clarendon Press, 1985.

8. D. Hanson, On a theorem of Sylvester and Schur, Canad. Math. Bull., 16, N1 (1973), 195−199.

9. J.S.Williams, Prime graph components of finite groups, J. Algebra, 69, N 2 (1981), 487−513.

10. K. Zsigmondy, Zur Theorie der Potenzrestei, Monatsh. fur Math. u. Phys., 3 (1892), 256−284.

11. H. Rohrbach, J. Weis, Zum finiten Fall des Bertrandschen Postulates. J. Reine Angew. Math., 214/5 (1964), 432−440.

12. А. С. Кондратьев. О компонентах графа простых чисел для конечных простых групп, Мат. сборник, 180, N 6 (1989), 787−797.

13. G.M.Seitz, Generation of finite groups of Lie type, Trans. Amer. Math. Soc., 271, N 2 (1982), 351−407.

14. D. Gorenstein, Finite groups, Harper &- Row, New York, 1968.

15. R. Brauer, C. Nesbitt, On the modular characters of groups, Ann. Math., 42 (1941), 556−590.

16. R. Brandl, W. Shi, The characterization of PSL (2,q) by its element orders, J. Algebra, 163, N1 (1994), 109−114.Работы автора по теме диссертации.

17. А. В. Заварницин, В. Д. Мазуров, О порядках элементов в накрытиях симметрических и знакопеременных групп, Алгебра и логика, 38, N3 (1999), 296−315.

18. A.V.Zavarnitsin, V.D.Mazurov, Element orders in coverings of symmetric and alternating groups, Algebra and, Logic, 38, N3 (1999), 159−170.

19. А. В. Заварницин, Распознавание по множеству порядков элементов знакопеременных групп степени г +1 и г + 2 для простого г, Новосибирск, ИДМИ, 2000 (Препринт № 47).

20. А. В. Заварницин, Порядки элементов в накрытиях групп Ln (q) и распознаваемость знакопеременной группы Aq Новосибирск, ИДМИ, 2000 (Препринт № 48).

21. A.V.Zavarnitsin, Recognition of finite almost simple groups and its connection with modular representation of almost simple groups, The Seventh International Conference «Groups and group rings», abstracts of talks, Suprasl, Poland, 1999 (p.VII).

22. А. В. Заварницин, О порядках элементов в накрытиях проективных специальных линейных групп, Международная Алгебраическая Конференция памяти А. Г. Куроша, сб. тезисов, Москва, 1998. (с. 170).

23. А. В. Заварницин, В. Д. Мазуров, О порядках элементов в расширениях знакопеременных групп, Международная Алгебраическая Конференция памяти Д. К. Фаддеева, сб. тезисов, Санкт-Петербург, 1997. (с.200).

24. А. В. Заварницин, В. Д. Мазуров, О порядках элементов в расширениях почти простых групп, XV Межрегиональная Научно-Техническая Конференция, сб. тезисов, Красноярск, 1997. (с.4).

25. А. В. Заварницин, Распознавание по множеству порядков элементов знакопеременных групп степени г + 1 и г + 2 для простого г, XXXVII Международная Научная Студенческая Конференция, сб. тезисов, Новосибирск, 1999. (с.5).

26. А. В. Заварницин, О порядках элементов в накрытиях симметрических и знакопеременных групп, XXXV Международная Научная Студенческая Конференция, сб. тезисов, Новосибирск, 1997. (с.4).