К теории разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в пространствах Лебега

Диссертационная работа посвящена исследованию проблемы разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка в пространствах функций, суммируемых по Лебегу на всей оси. Исследованию этой проблемы посвящены классические и фундаментальные работы Эсклангона [41], Ж. Л. Массера [27], Фавара [40], С. Г. Крейна [21. 22], В. Б. Лидского [25], А. М. Молчанова [28], Э. М. Мухамадиева [29, 30, 31]. В этих работах изучены условия обратимости и нормальной разрешимости линейных дифференциальных операторов в пространствах ограниченных и суммируемых в квадрате функций на оси и полуоси.

Исследование линейных обыкновенных дифференциальных уравнений на бесконечных интервалах актуально тем, что, как правило, результаты, относящиеся к исследованию линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами на конечных интервалах, такие как условия разрешимости и нормальной разрешимости, непосредственно не переносятся на случаи, когда коэффициенты неограниченны или область изменения аргумента неограниченна.

Свойства решений линейных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами или с неограниченной областью изменения аргумента существенно зависит от поведения коэффициентов на бесконечности и вблизи точек неограниченности. Полное исследование этой зависимости применительно к конкретным задачам в конкретных функциональных пространствах еще далеко от своего завершения. В работах Г. Вейла [44], В. Б. Лидского [25], A.M. Молчанова [28], И. М. Глазмана [45], И. М. Рапопорта [46], исследованы свойства спектра самосопряженных операторов, порожденных дифференциальными выражениями в зависимости от поведения коэффициентов.

Особый интерес представляет вопрос о разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве ограниченных на всей оси функций и в пространстве суммируемых в некоторой степени на всей оси функций. В работах Ж. Л. Массера, Фавара, Э. М. Мухамадиева изучены условия разрешимости и нормальной разрешимости линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами в пространстве ограниченных на всей оси функций. В этом случае важную роль играют так называемые предельные уравнения, порождаемые самими уравнениями.

В работах Лабиба [23, 24] исследованы условия существования ограниченных на всей оси решений для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, когда коэффициенты являются многочленами по независимой переменной. Представляет интерес исследовать условия разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами (необязательно многочлены) в пространствах ограниченных и суммируемых на всей оси функций.

Дополнительные свойства решений дифференциальных уравнений тесно связаны со свойством разделимости соответствующих дифференциальных операторов в функциональных пространствах. Систематическое изучение свойства разделимости дифференциальных операторов в функциональных пространствах берет свое начало от работ В. Н. Эверитта и М. Гирца [43]. В дальнейшем, эта теория развита в работах Ф. В. Аткинсона [1], М. О. Отелбаева [34, 35], К. Х. Бойматова [2, 3] и ряда других авторов. Имеющиеся исследования по теории разделимости дифференциальных операторов в функциональных пространствах в основном опираются на современные методы функционального анализа. В связи с этим представляет научный интерес исследование поведения решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения в зависимости от поведения коэффициентов на бесконечности, особенно в случае неограниченных коэффициентов, и на основе этого изучать условия обратимости и разделимости соответствующего дифференциального оператора в функциональных пространствах.

Настоящая диссертационная работа состоит из трех глав. Первая глава посвящена исследованию вопроса о разрешимости систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами в пространствах Лебега. Полученные результаты обобщают и дополняют результаты работ Лабиба [23, 24], где исследованы условия разрешимости систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами в пространстве ограниченных на всей оси функций.

Во второй главе, изучается линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с ограниченными коэффициентами. С помощью предельных уравнений, порождаемых самим уравнением, исследованы условия нормальной и однозначной разрешимости уравнения в пространстве существенно ограниченных на всей оси функций. Полученные результаты применяются при исследовании свойства разделимости линейных обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка с неограниченными коэффициентами в пространствах Лебега.

В третьей главе рассматривается вопрос об однозначной разрешимости линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с локально интегрируемыми коэффициентами в пространстве суммируемых на всей оси функций. Для соответствующего обратного оператора доказан критерий вполне непрерывности, являющийся аналогом критерии A.M. Молчанова [28] в пространстве суммируемых в квадрате на всей оси функций. Полученные результаты об однозначной разрешимости переносятся на сопряженное пространство — пространства существенно ограниченных функций. Затем, с помощью интерполяционной теоремы Рисса, аналогичные результаты выводятся для пространства Lp (—со,+со), 1 <р< со .

Изложим отдельно по главам содержание основных результатов диссертационной работы.

Первая глава состоит из трех параграфов и посвящена исследованию вопроса о разрешимости систем линейных дифференциальных уравнений в пространстве Z, (-оо,+оо). Предполагается, что матрица-функция B (t) имеет вид где В0 — постоянная матрица, спектр сг (В0) которой не пересекается с мнимой осью, функция a{t) принадлежит множеству А,.

1) х' = B (t)x + fit), xeRn,.

2).

B (t) = a (t)BQ+B{(t),.

A = < a (t): a (t) — непрерывна, Hm a{t) = oo У ,.

В (t) — матрица-функция, удовлетворяющая условию (3).

К (Oil lim LLU = o. t->™ a (t) a /(0 — определенная на всей оси вектор-функция, принадлежащая пространству.

О: ГТ~7П~7 G (—со,+00) а (0| +1.

Вопрос о разрешимости уравнения (1) в скалярном случае (п=1), в пространстве почти периодических функций был изучен в работе Ж. Л. Массера [27] при предположении о почти периодичности функций a{t) и f (t), в пространстве ограниченных функций в работах Э. М. Мухамадиева [29. 30, 31] при предположении об ограниченности функций a{t) и /(/). В работах Лабиба [23, 24] была изучена разрешимость уравнения (1) в пространстве ограниченных функций, в случае когда элементы матрицы B (t) являются многочленами по t.

Наряду с уравнением (1) рассматривается его частный случай, а именно (4) x'-B0a (t)x + f (t), xeR" .

Вопрос о разрешимости уравнения (4) в пространстве Ьр{-оо,+оо) существенным образом связан с поведением скалярной функции a{t) на бесконечности. В первой главе найдено условие на a (t), при выполнении которого уравнение (4) имеет решение в пространствеLp (—00,+со) для любой функции f{t) из Lp. a{—со,+со). Оказывается, что при заданной матрицы В0 поведение функции зависит так же от расположения спектра матрицы В0, точнее от меры близости спектра к мнимой оси. Для удобства изложения вводятся следующие обозначенияаа{т)с1т.

Ya (s) = a (s)e ' dt>

00 ~р^а{т)ёт у/+р (s) = a (s) j е s dt,.

Аа = a (s): a (s) е A, sup у/а (я) seR.

Ap=a{s) a (s)eA, sup y/+p (s) ssR 00.

Оказывается, вопрос о разрешимости уравнения (1) в пространстве (-оо,+оо) существенно зависит от ограниченности функций у/~ (s) и y/+p (s), то есть от принадлежности функции a (t) множествам А~ и Ар. Поэтому возникает необходимость в выявлении характерных свойств множеств А~ и Ар как подмножества множества А. Приводятся свойства множеств А~ и Ар из которых видно, что для исследование их структур достаточно анализировать случай а-1, то есть множество Af. Первый параграф посвящен исследованию этого вопроса. В нем достаточно подробно изучается множество Af. Приводятся несколько критерий принадлежности функции a{t) множеству Af. В частности, в случае, когда функция a{t) является дифференцируемой функцией, получены следующие критерии принадлежности a{t) множеству Af.

Лемма 1.1.9. Пусть a (t) дифференцируемая на всей оси функция, удовлетворяющая условию оо, а (О.

Тогда a (t) е Af.

Ослабив условие предыдущей леммы, получено более точное утверждение. Лемма 1.1.10. Пусть a (t) дифференцируемая на всей оси функция удовлетворяющая условию (6) a'(t)a~2(t).

Тогда для того, чтобы a (t) е Af, необходимо и достаточно, чтобы.

1па (я) — In a{t).

V) v lim —г^.

Ja®dr->oo ja®dr t.

Во втором параграфе рассматривается однородная система линейных дифференциальных уравнений первого порядка, соответствующая уравнению (1).

8) x' = B (t)x, xeR" .

Исследуется вопрос о наличии или отсутствии решений системы (8), принадлежащих пространству Lp (—00,+00).

Основным результатом второго параграфа является следующая.

Теорема 1.2.1. Пусть a{t)^A, B^{t) удовлетворяет условию (3) и выполнено одно из следующих условий а) сг (50)сПб) сг (?0)с=П+.

Тогда система (8) не имеет ненулевых решений, принадлежащих пространству Lp{-со,+со).

Здесь Плевая (П+ -правая) открытая полуплоскость комплексной плоскости .

В третьем параграфе приведены основные результаты первой главы. Пусть т количество собственных значений матрицы В0, принадлежащих левой полуплоскости, а и /? числа определяемые полосой Па. р = {Я е С: -(5 < Re/l < а] содержащей мнимую ось и не имеющей пересечение со спектром матрицы В0. Справедлива.

Теорема 1.3.1. Пусть a (t)&A~ в случае т = 0, a (t)eA^ в случае т = п и a (t)EA~(^Ap в случае <�т<�п —. Тогда система (4) для любой функции f (t) е Lp. a{—оо,+со) имеет единственное решение из Lp (—00,+00).

Используя экспоненту-матрицу, определяется квадратная матрица-функция GBo (t, s) порядка их п следующим образом: если т = п, то.

О при t.

GBq (t, s) =.

B0a{r)dz e s при t> s, если 1 < m < n — 1, то.

GBq (t, s) = t.

Pa{r)dr.

-U diagie s, 0) U~l при t.

Щ а (т)с1т.

U diag{0,e s) U~l при t>s, если т — 0, то.

GBq (t, s) =.

В01 а (т)с/т.

— е 5 при t.

О при t > s где Uневырожденная матрица, такая что.

В0 = Udiag (P, N) U~l, <�т (Р) е П+, a (N) е П Введено в рассмотрение интегральное уравнение оо.

9) х (0= GBo (t, s) F (s, x (s))ds,.

-00 где.

Доказана следующая.

Теорема 1.3.2. Пусть a (t) е А~ в случае т = 0, a (t)eAp в случае т = п и a (t)eA~niAp е случае 1<�т<�п-. Тогда разрешимость системы (1) в пространстве Z,^(-oo,+oo) эквивалентна разрешимости интегрального уравнения (9) в пространстве Lp (-оо,+оо). Введя обозначения оо.

Tx)(t)= jGBo (t, s) B](s)x (s)ds, и оо te)(0= GBo (t, s) f (s)ds, интегральное уравнение (9) записывается в операторном виде х = Тх + g. Имеет место следующая.

Теорема 1.3.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.3.2. Тогда оператор Т: Lp (—co,+ao) —> Z, (—оо,+оо) вполне непрерывен..

Вторая глава также состоит из трех параграфов. В параграфе 2.1 приведены основные определения и леммы. Введены в рассмотрения L^ (-оо,+со) пространство измеримых и существенно ограниченных на (—оо,+оо) функций с нормой ll/IL^-oo.H-oo)=vr?/ma* |/(0| = «inf n sup |/(0|, е (-оо,+оо) E: mesE=0 /€(oo,+oo)? а также пространство L^ (—00,4−00), состоящее из ограниченных и абсолютно непрерывных на каждом отрезке функции f (t), для которых производная /'(О принадлежит пространству Lm (-00,+00) и пространство (—со, со), состоящее из функций f{t) g Lx (-00,4−00), для которых производная /'(0 абсолютно непрерывна на каждом отрезке, а вторая производная f» {t) принадлежит пространству Lx (-00,4−00)..

1 2.

Пространства /^(-00,00) и Z,^ (-00,00) так же являются полными линейными нормированными пространствами с нормами.

II/L, ч= sup 1/(01 + 1/1, ,.

II’J III’oo (-00,00) г V п \L" (-со, 00)' е (-со,+со).

L2, л= sup |/(0| + sup f'(t) + \f" \T. ,.

WJ «LX (-co, go) ^ К wl r J v 'I \J \LK (-00,00) е (-оо,+со) /e (-oo,+oo) соответственно..

Далее, во второй главе рассматривается линейное дифференциальное уравнение.

10) Lx = x" + a (t)x' + b (t)x = f (t), где функции a (t), b (t) и /(t) принадлежат пространству (-со, оо). Функция x (t) называется решением уравнения (10), если она имеет абсолютно непрерывную на каждом отрезке производную л-'(0 и удовлетворяет уравнению (10) почти всюду..

Имеет место следующая Лемма 2.1.1. (Эсклангон). Пусть x (t) — решение уравнения (10), ограниченное на всей оси. Тогда функции xt) и x" (t) также ограниченны, т. е. x (t) eL^(-co, co)..

Наряду с уравнением (10) рассматриваются однородное уравнение.

11) Lx = х" 4- a (t)x' 4- b{t)x = 0 и предельные однородные уравнения.

12) Lx = х" + a (t)x' + b (t)x = О. где коэффициенты a{t) и b (t) определяются как слабые пределы последовательностей сдвигов {a (t + hk)} и {b (t + hk)}, (j/z^| —> со при к —" со) в пространстве L2[~T, T] для любого Г..

Через Н (а, Ь) обозначено множество пар функций (a (t), b (t)), определяемые равенствами.

00 +00.

13) a (t)q>(t)dt= lim b (t + hk) cp (t)dt,.

-co A->00−00.

00.

14) b (t)cp (t)dt= lim b (t + hk)(p (t)dt,.

00 Л-^со-оо для любой непрерывной функции (pit) с компактным носителем. Соответственно через Hib) обозначено множество функций b{t), определяемых равенством (14). Имеют место следующие утверждения..

Лемма 2.1.2 Пусть b (t)GLx (—оо, оо). Тогда для принадлежности функции Z?(?)gL00(—со, со) множеству Н (Ь), необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность {h^}, >со при к—"оо такая, что t t.

15) lim JЬ (т + hk) dr = Jb {z)dz Vt e (-oo,+oo). о 0.

Лемма 2.1.4. Пусть b (t) < 0 и множество H (b) не содержит ноль. Тогда однородное уравнение (11) не имеет ненулевых ограниченных решений..

В параграфе 2.2 исследуется вопрос о нормальной разрешимости оператора Lx = х" + a{t)x' + b{t)x в пространстве (-оо,+оо). Оператор L рассматривается как ограниченный оператор, действующий из пространства Ьж (-оо,+оо) в (-оо,+оо). Изучается также вопрос об ограниченной обратимости оператора L. Оказывается, что при исследовании выше изложенных вопросов важную роль играют предельные уравнения (12)..

Имеет место следующая теорема, которая является основным результатом второй главы..

Теорема 2.2.1. Следующие утверждения эквивалентны: а) Оператор L Z, 00(—со,+со) —" L00(—со,+со) нормально разрешим. б) Существует М > О такое, что.

INz, i (-oo,+0o)^M|Nioo (-0o,+c) +Н°)| + И°)|) УхеЬ1(-со,+со). в) Существует С > 0 такое, что pqL, ,.

11 «^(-00,+со) [|.

Vx G ]} (-СО,+аэ) для любого предельного оператора L, определяемого парой функций (a, b) g Н (а, Ь). г) Все однородные уравнения вида (12), где (a, b) е Н (а, Ь), не имеют ненулевых ограниченных на всей оси решений..

Далее, приведены признаки обратимости и нормальной разрешимости оператора L с неположительным коэффициентом b (t). Доказаны следующие теоремы..

Теорема 2.2.2, Пусть функция b{t) удовлетворяет условию.

16) lim mes{ t: b (t) <0, t0 < t < t0 +1} = 1.

Q|-«00 2.

Тогда для нормальной разрешимости оператора L: оо,+со) Lx (—со,+сю) необходимо и достаточно, чтобы существовали числа? >0, I > 0 такие, что.

17) lim mes{t: b (t)<-s, tQ0. I’ol-«00.

Теорема 2.2.3. Пусть b (t)< 0 и множество H (b) не содержит ноль. Тогда неоднородное уравнение (10) для любого f gL00(-со,+со) имеет единственное решение из Ьж (—со,+со)..

В третьем параграфе рассматривается дифференциальное уравнение.

18) z" - q (t)z — g (t), где q (t), g (t) локально интегрируемые на всей оси функции..

Определение. Говорят, что уравнение (18) обладает свойством разделимости в пространстве Lo0(-со,+со), если из того, что функция g{t) принадлежит пространству Ьж (—оо,+оо) следует, что для решения z (t) уравнения.

18), принадлежащее пространству Lx (-со,+00), функции q (t)z (t) и z" (t) также принадлежат пространству L^ (—оо,+оо).

В силу леммы Эсклангона дифференциальное уравнение (18) с ограниченным на всей оси коэффициентом q{t) обладает свойством разделимости. Оказывается, достаточно широкий класс дифференциальных уравнений вида (18) с неограниченными коэффициентами также обладают свойством разделимости в пространстве (-со,+оо) Если уравнение (18) обладает свойством разделимости, то вместе с решением z{t) пространству.

-оо,+оо) принадлежит и его производная zt)..

Наряду с уравнением (18) рассмотрим соответствующее однородное уравнение.

19) z" - q (t)z = 0..

Лемма 2.3.1. Пусть функция q (t) неотрицательна, локально интегрируема и тождественно не равна нулю на (—со,+оо). Тогда однородное уравнение (19) не имеет ненулевых ограниченных на всей оси решений..

Далее, предполагается, что функция q (t) имеет непрерывные производные q'{t), q" (t) и удовлетворяет условиям:.

20) lim q (s) > 0, s|—>00 q'2(s) s|->oo q (я).

22) -oo< lim s|->oo.

It 1 Л lim.

Ы-«со V 1 Л.

4(s)..

1..

Имеет место.

Теорема 2.3.1. Пусть функция q{t) удовлетворяет условиям (20)-(22). Тогда уравнение (18) обладает свойством разделимости в пространстве £оо (—00,-Ьоо)..

Продолжая изучение свойства разделимости уравнения (18) для гладких функций q{t), удовлетворяющих условию.

23) lim q{t) = со ,.

-> СО и полагая т±-= lim —-, М±- = jim —-..

5е—>±оо q (5) 5-«+оо q (s) доказана.

Теорема 2.3.2. Пусть функция q (t) удовлетворяет условиям.

24) тЛ + -М+ <1..

II 3.

Тогда уравнение (18) обладает свойством разделимости в пространстве (-00,+00)..

Далее, изучается свойства разделимости уравнения (18) в общем случае, когда q (t) лишь непрерывная функция. В этом случае предполагается, что существует дважды непрерывная дифференцируемая положительная функция qo (t), удовлетворяющая условиям:.

25).

26).

27).

О < Щп Нт ^<оо:.

Ы—>+со s ->+со lim.

Ы—"+оо q’o2(s) ^оО) со,.

-оо< lim.

Ы—>00 1 N.

Ф) o (s) lim.

Ы—>+со 1 Л ф).

0..

Теорема 2.3.3. Пусть функция q (t) непрерывна и удовлетворяет условию (23). Пусть существует положительная функция q<)(t), удовлетворяющая условиям (25)-(27). Тогда уравнение (18) обладает свойством разделимости..

В третьей главе рассматривается линейное дифференциальное уравнение (28) Lx = -x" + q (t)x = g (t), где q (t) и g{t) локально интегрируемые на (-оо,+оо) функции. Исследованию уравнения (28) посвящены многочисленные работы [25, 27, 42]. В частности, получены различные критерии разрешимости уравнения (28) в пространстве Ь2(~со,+со) суммируемых в квадрате на всей оси функций и в пространстве ограниченных на всей оси функций. В данной главе исследуется вопрос о разрешимости уравнения (28) в пространствах Лебега Lp (—оо,+оо), р > 1..

В дальнейшем через Ар обозначим линейный оператор, порожденный дифференциальным выражением — x" + q (t)x, задавая его область определения Dp как множество всех функций x (t), для которых x (t), x'(t) абсолютно непрерывны на каждом конечном отрезке и функции x (t), — х" + q (t)x принадлежат пространству Lp (-со,+со), 1 < р < оо..

В параграфе 3.1 исследуется вопрос о разрешимости уравнения (28) в пространстве Zj (-со,+со). Наряду с уравнением (28) рассматривается однородное уравнение.

Имеют место следующие утверждения ..

Лемма З.1.1. Пусть q (t)>0. Тогда однородное уравнение (29) не имеет ненулевых решений, принадлежащих пространству (—со,+со)..

Лемма 3.1.2. Пусть q (t)>0. Тогда для любого к> 1 на отрезке [—к, к] уравнение (28) имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям.

Причем, это решение неотрицательно, если функция g (t) неотрицательна. Доказана следующая.

Теорема 3.1.1. Пусть q (t)> 0. Тогда для того, чтобы уравнение (28) для любой функции g{t) из Lj (-co,+co) имело решение из (-со,+со), необходимо и достаточно, чтобы q (t) удовлетворяла условию.

Параграф 3.2 посвящен вопросу о свойстве разделимости уравнения (28) в пространстве Lj (-со,+оо). Пользуясь теоремой 3.1.1, доказана следующая теорема..

29).

Lx = -х" + q (t)x = 0. x (-k) = x{k) = 0..

Теорема 3.2.1. Пусть функция q (t) ограничена снизу. Тогда уравнение (28) обладает свойством разделимости в L (—оо,+со)..

В параграфе 3.3 для получения представления оператора Afl строится функция Грина. С помощью функции Грина обратный оператор А^ представляется в виде.

31) 00.

Следующая теорема дает условие вполне непрерывности оператора^-1 и является аналогом теоремы A.M. Молчанова [28], доказанная им в пространстве Ь2{—со,+СО) ..

Теорема 3.3.1. Пусть q (t)>0 и выполнено условие (30). Тогда для вполне непрерывности оператора Afl: Lj (—оо,+со) -" Lj (-со,+со) необходимо и достаточно, чтобы для любого а> 0 выполнялось условие t+a lim = jf|—>00 t.

В параграфе 3.4 результаты об однозначной разрешимости переносятся на сопряженное пространство — пространства существенно ограниченных на всей оси функций. Доказана следующая.

Теорема 3.4.1. Пусть q (t) > 0 и выполнено условие (30). Тогда уравнение.

28) для любой функции g (t) из L (—со,+со) имеет решение, принадлежащее Дд. Обратный оператор А: (-со,+со) —" (-со,+оо) совпадает с сопряженным оператором (^f1):^оо (-°о,+°о) L^ (-оо,+оо) оператора, определенного равенством (31)..

В параграфе 3.5, с помощью интерполяционной теоремы Рисса [20], результаты об однозначной разрешимости уравнения (28) выводятся для произвольного пространства Lp (-оо,+оо), < р <со. А именно доказано, что существует ограниченный оператор Вр: Lp (-оо,+со) —> Lp (-оо,+оо), имеющий вид.

00.

Bpft)= G (t, s) f (s)ds.

-co и являющийся обратным к оператору.

Арх = -х" + q (t)x, х е Dp..

Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях, проведенных в городах Самарканде (ноябрь 1997 г.), Душанбе (июнь 2000 г.), на областных конференциях, проведенных в Худжанде (1996, 1997 г. г.), в ряде выступлений на семинарах члена-корреспондента Академии наук Республики Таджикистан, профессора Э. М. Мухамадиева (1994;2000г.г.), на общем семинаре департамента компьютерных наук Худжандского филиала технологического университета Таджикистана (руководитель — профессор П. А. Пулатов, сентябрь 2000 г.), на общеинститутском семинаре Института математики Академии наук Республики Таджикистан (руководитель — академик Академии наук Республики Таджикистан JI. Г. Михайлов, ноябрь 2000 г.), на общем семинаре кафедры теории функций и математического анализа и кафедры высшей математики Таджикского государственного национального университета (руководитель — член-корреспондент Академии наук Республики Таджикистан, профессор Н.Р. Раджабов)..

В заключении автор выражает искреннюю благодарность членукорреспонденту Академии наук Республики Таджикистан, профессору Э. М. Мухамадиеву за неоценимую помощь и поддержку, оказанную им на протяжении многих лет работы..

1. Аткинсон Ф. В. Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормированных пространствах. // Математический сборник, том 28, № 1, 1951. — С. 3−13..

2. Бойматов К. Х. Теоремы разделимости. // ДАН СССР, 1973, том 213, № 5. С. 10 091 011..

3. Бойматов К. Х. О методе Эверитта и Гирца для банаховых пространств // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, том 35, № 1, 1997. С. 10−12..

4. Владимиров B.C. уравнения математической физики. М.: Наука, 1987..

5. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1980..

6. Гуломнабиев С. Г. Об ограниченных решениях линейных дифференциальных уравнений. // Тезисы докладов научно-теоретической конференции молодых ученых, аспирантов и специалистов Ленинабадской области, Худжанд, 1996.-С 6..

7. Гуломнабиев С. Г., Мухамадиев Э. М. Свойства разделимости линейных дифференциальных уравнений второго порядка. // Современные проблемы прикладной математики и экономики. Материалы международной конференции, Самарканд, 1997,-С. 182.-187..

8. Гуломнабиев С. Г. О разрешимости диф-ференциальных уравнений второго порядка в пространствах Лебега // Доклады Академии наук Республики Таджикистан, № 4, 2000. С. 18−24..

9. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1980..

10. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Спектральная теория. М.: Мир, 1966..

11. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967..

12. Демидович Б. П. О некоторых свойствах характеристических показателей системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. // Ученые записки МГУ, 1952, том 163, Математика, № 6. С. 123−132..

13. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. -М.: Наука, 1971..

14. Исхоков С. А. О разделимости обыкновенных дифференциальных выражений. // Сборник «Функциональный анализ и его приложения в механике и теории вероятностей», москва, 1984, изд-во МГУ. С. 130−131..

15. Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функционального анализа. -М.: Наука, 1988..

16. Колмогоров А. Н" Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1988..

17. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустыльник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966..

18. Крейн С. Г., Лаптев Г. И. Граничные задачи для дифференциальных уравнений второго порядка в банаховом простанстве. // Дифференциальные уравнения, том 11, № 3, 1966. С. 382−390..

19. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967..

20. Лабиб Рашид. О существовании ограниченных решений систем линейных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами. // ДАН Тадж. ССР, 1989, том 32, № 1. С. 425−427..

21. Лабиб Рашид. К вопросу о разрешимости систем линейных дифференциальных уравнений с неограниченными коэффициентами. // ДАН Тадж. ССР, 1989, том 32, № 7. С.5−7..

22. Лидский В. Б. О числе решений с интегрируемым квадратом системы дифференциальных уравнений. // ДАН СССР, 1954, том 95, С. 217−220..

23. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1960..

24. Массера Ж. Л., Шеффер Ж. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1969..

25. Молчанов A.M. Об условиях дискретности спектра самосопряженных дифференциальных операторов второго порядка. // Труды московского математического общества, 1953, том 2. С. 169−200..

26. Мухамадиев Э. М. Об обратимости дифференциальных операторов в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций. // ДАН СССР, 1971, том 196, № 1.-С. 47−49..

27. Мухамадиев Э. М. Об одном критерий обратимости дифференциальных операторов в пространстве ограниченных на оси функций. // ДАН Тадж. ССР, 1972, том 15, № 9.-С. 7−10..

28. Мухамадиев Э. М. К теории ограниченных решений обыкновенных дифференциальных уравнений. // Дифференциальные уравнения, 1974, том 10, № 4.-С. 635−646..

29. Мухамадиев Э. М. Метод предельных уравнений в теории сингулярных задач. //Дифференциальные уравнения и их приложения. Материалы международной конференции, посвященной 60-летию Т. Собирова, Душанбе, 2000. С.-21..

30. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. -М.: Гостехиздат, 1949..

31. Отелбаев М. О. О разделимости эллиптических операторов. // ДАН СССР, 1977, том 234, № 3. С. 540−543..

32. Отелбаев М. О. Коэрцитивные свойства и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в R". // Труды Математического института АН СССР, 1983, том 161.-С. 195−217..

33. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1964..

34. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Иностранная литература, 1963..

35. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.: ОНТИ, СССР, 1937..

36. Шилов Г. Е. Математический анализ. М.: Изд. МГУ, 1984..

37. Шубин М. А. Теория Фавара-Мухамадиева и псевдодифференциальные операторы. // ДАН СССР, 1975, том 225, № 5. С. 1278−1280..

38. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964..

39. Mohamed A.S., El-Gendi В.А. On the existence and uniqueness of the solutions for ordinary differential equation with matrix coefficient in the weighted spaces. // Asw. Sc. Tech. Bull. South Valley Univer., vol. 16, 1995, 118−125..

40. Everitt W.N., Giertz M. An example concerning the separation property for differential operators. // Proc. Roy. Soc. Edinburg, 1973, vol. 71, 159−165..

41. Weyl H. Ueber gewohnliche differentialgeeichungen mit singularitaten und die zugehorigen entwichlungen willkuklicher funktionen, Math. Ann., 68, 1910, 222−269..

42. Глазман И. М. О спектре линейных дифференциальных операторов. // ДАН СССР, 1951, том 80, С. 153−156..

43. Рапопорт И. М. Об асимптотическом поведении решений линейных дифференциальных уравнений. // ДАН СССР, 1951, том 78. С 1097—1110.Pt&CITftCttA (c)M0f> -J ~ С Л.