Эллиптические уравнения с разрывными нелинейностями и некоторые вопросы оптимального управления

Диссертационная работа посвящена исследованию вопросов разрешимости смешанной краевой задачи для эллиптических уравнений второго порядка с разрывными нелинейностями (РН) ч.

У i [. (X, и) их +? (л, и)] + К у{ Ци) ил. Эх ¦ <1 4 -1 ¦ ' ¦ с (-4 с*. л (0.1).

-</ с и изучению вопросов существования решения в задачах оптимального управления для эллиптических уравнений с РН.

Термин «разрывные нелинейности», вошедший в литературу в последние годы, употребляется для подчеркивания того факта, что функции, входящие в уравнение (или в граничное условие) могут быть не только нелинейными, но и разрывными по и.

Изложение ведется в терминах вариационных равенств, соответствующих определению обобщенных решений краевых задач для уравнения (0.1) в смысле книги О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой [23].

В рамках уравнений с РН могут быть изучены многие физические процессы (процессы кристаллизации и плавления, фильтрации, широкий круг задач со свободными границами). До сих пор уравнения с РН, несмотря на их практическую важность, изучены недостаточно. Это отчасти объясняется математической сложностью таких уравнений, которая, разумеется, зависит от характера нелинейностей и разрывов, а также от того, каким образом разрывные нелинейности входят в рассматриваемое уравнение.

В большинстве работ, относящихся к эллиптическим уравнениям с РН, рассматриваются или уравнения вида где [ - линейный равномерно эллиптический оператор, т. е. уравнения, разрывная нелинейность в которых не входит под знаком дифференцирования, или квазистационарные задачи типа Стефана. В частности, краевую задачу Дирихле для уравнений вида (0.2) изучали / Цс??? а ¿-о.

С. 4. 3. Г. ЫЩ.

В настоящей работе основное внимание уделяется эллиптическим уравнениям, разрывная нелинейность в которых входит под знаком дифференцирования. Такие уравнения возникают, например, при изучении процессов кристаллизации.

В литературе обычно различают две постановки задач с фазовыми переходами (задач типа Стефана) — классическую, когда неизвестная граница раздела фаз ищется в виде однозначной, достаточно гладкой поверхности, и обобщенную, в которой (в отличие от первой) допускается существование так называемой двухфазной зоны (дисперсной области), т. е. множества ненулевой меры точек пространства, где температура среды совпадает с равновесной температурой.

Имеется обширная литература, посвященная задачам с фазовыми переходами. Так задачи (типа) Стефана в классической постановке изучались, например, в работах Б. В. Базалий [2, 3] М. А. Бородин И. И. Данилюк /2], А.М.Мейрманов[2б]^ .

У.Фельгенхауэр[3 4]- CaffareMt [36], J. Frteo/ъа n, A KtHolerPQhrer [37J, 3.-F. /?oc/t (.

Вкратце остановимся на некоторых методах исследования уравнений с РН.

В литературе имеется множество работ (.например, А.Д.Ляш-ко, И. Б. Бадриев, М. М. Карчевский [2S], В. Н. Павленко [30]), в которых уравнения с РН изучаются методом монотонных операторов. Систематическое изложение этого метода дано в монографии М. М. Вайнберга [fo]. В частности, этим методом в [3 0] доказаны теоремы разрешимости абстрактных уравнений с разрывными операторами, которые затем применяются при изучении задачи Дирихле для уравнений вида (0.2).

К методу монотонных операторов тесно примыкает интенсивно развивающийся метод применения вариационных неравенств (Г.Дю-во и Ж.-Л .Лионе [/б-], Ж.-Л.Лионе [2У], Д /С/h с/е г Ре h ter p.

Как показывают работы М. А. Бородина, то (основываясь на предложенной К. Байокки и Э. Мадженесом Щ идее — подходящим образом заменить неизвестную функцию), к вариационному неравенству с монотонным оператором удается свести также некоторые эллиптические краевые задачи, разрывная нелинейность в которых входит под знак дифференцирования. Так в работе [8] этим методом установлены существование и единственность решения двумерной однофазной квазистационарной задачи Стефана. Кроме того, показана также аналитичность свободной границы. Этим же методом изучена аналогичная трехмерная однофазная квазистационарная задача Стефана ЭгЕ /?о с/г ¿-дик [Щ]. Здесь уместно отметить, что одним из классов задач с РН, для изучения которого методика применения вариационных неравенств разработана наиболее полно, являются краевые задачи с разрывной нелинейностью, входящей лишь в граничное условие. Вопросы регулярности решения таких краевых задач для общего квазилинейного эллиптического уравнения рассмотрены А. Домаркасом [15].

Для исследования (как теоретического, так и численного) задач (типа) Стефана применяется предложенный И. И. Данилюком и В. Е. Кашкахой [/3] вариационный метод (см. также Б. В. Базалий и В. Ю. Шелепов [9], И. И. Данилюк [/</, В. Е. Кашкаха [/9]). Этот метод основан на сведении исходной задачи к задаче отыскания стационарных точек интегрального функционала с переменной областью интегрирования. Однако применение этого метода требует некоторой гладкости границы раздела фаз.

Другим методом близкие задачи с РН исследовались Е.В.Рад-кевичем[37], Е. В. Радкевичем и А. С. Меликуловым.

Разрешимость некоторых частных случаев задачи (2.4) главы I отмечена в работе О. А. Олейник [26].

Для более точного охарактеризована полученных в настоящей работе результатов разрешимости необходимо остановиться на некоторых особенностях математических моделей (в нашем случае вариационное равенство (2.4) главы I), допускающих переходные зоны ненулевой меры. Указанные особенности проиллюстрируем на краевой задаче.

— Аи (х} + с Ц (х)= х (и (х))+р (х) / X £-П (0.3) и (х)^О — х € ¿-Ц (0.4) исследованной С 4. У/о'аг/ [47] .

Ради удобства изложения предположим, что функция { е Е {/о} идоеет только одну точку { ~ /0 разрыва первого рода и через J (¿-о) обозначим замкнутый интервал с концевыми точками }. Тогда переходная зона определяется как множество XI0, состоящее из всех тех точек х области XI, при которых (/{X/ —. Если мера множества XI 0 больше нуля, то искомой, вообще говоря, является также функция X з*(и (х)) для X? Х10. В силу этой особенности различают «однозначное» и «многозначное» решение или, соответственно, решение типа I и типа П. А именно,.

0 решении типа П (на множестве Х20) говорят в том случае, когда априори предполагается, что множество значений (Ж) искомой функции Л-* Ж (Ц (х)) — X? Х2а содержится в интервале.

1 (, и о решении типа I — если кроме того, предполагается, что множество значений $ (Ж), X € ?10 состоит только из одной точки. Ясно, что любое решение типа I является также и решением типа П.

Необходимость введения решений типа П обосновывается примерами.

42}, показывающими, что решение типа I существует далеко не всегда. В этой же работе приводятся условия, при выполнении которых задача (0.3)-(0.4) имеет решение и 6 Щъ.

— типа I,.

— типа П, но не имеет решения типа I.

Таким образом, обобщенное решение той или иной краевой задачи для столь общего уравнения — как (0.1) — следует понимать как решение типа П.

Здесь уместно отметить, что в литературе, как правило, считается, что разрывные функции, входящие в рассттриваемое уравнение или в граничное условие, имеют лишь конечное число-точек разрыва первого рода по функциональному аргументу и. Большой интерес представляют также случаи, когда исходная функция ЭС = X /У терпит разрыв на некоторой поверхности $ солт^. В литературе уравнения с РН такого типа практически не исследованы. Однако, исследования в этом направлении могут иметь применения в задачах Стефана для термодиффузионной системы уравнений (постановка таких задач дана Н. А. Авдониным [1]), которая в квазистационарном и упрощенном случае рассматривается в § 9 главы I.

В диссертации методом сглаживания (аппроксимации) исходных разрывных нелинейностей и осуществлением предельного перехода доказывается существование обобщенного решения (типа П) в пространстве для достаточно широкого класса смешанных краевых задач для уравнения (0.1).

Отметим, что теоремы существования классического решения для ряда двухфазных квазистационарных задач Стефана получены, например, Б. В. Базалием [2], М. А. Бородиным [?], В.Е.Кашка-хой ]/,?]. Теоремы существования и единственности обобщенного решения для многофазных нестационарных задач Стефана в одних из наиболее широких функциональных классов даны О. А. Олейник [2 г], и также в книге O.A.Ладыженской, В. А. Солонникова, H.H. Уральцевой [22]. Тем не менее, эти теоремы существования и единственности обобщенного решения не переносятся на соответствующие квазистационарные задачи Стефана. Трудности, которые возникают при попытке перенести указанные теоремы, в некоторой степени освещаются в § I главы П.

В литературе проблема единственности решения краевых задач для уравнения (0.1) в обобщенной постановке в сколь-нибудь общих случаях не исследована. Примеры неединственности, построенные в § 2 главы П, показывают, что класс единственности решения вариационного равенства (2.4) главы I не является столь обширным, как класс существования. Особого внимания заслуживает работа И. И. Данилюка [/2], в которой показано возникновение неединственности решения двухфазной квазистационарной задачи Стефана, моделирующей реальный физический процесс. Однако, примеры неединственности, построенные в § 2 главы П для более простой задачи (см. также замечание 2.3 главы П), не являются следствием результатов И. И. Данилюка.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

Литература

упорядочена по алфавиту, сначала советские авторы, а потом — иностранные. В библиографии включены только цитированные книги и статьи.

1. Авдонин H.A. Математическое описание процессов кристаллизации. — Рига, Зинатне, 1980, 180 с.

2. Базалий Б. В. Об одной квазистационарной задаче Стефана.- ДАН Укр. ССР, 1976, сер. А, № I, с.3−5.

3. Базалий Б. В. Устойчивость гладких решений двухфазной задачи Стефана. ДАН СССР, 1982, т.262, № 2, с.265−269.

4. Базалий Б. В., Шелепов В. Ю. Вариационные методы в смешанной задаче теплового равновесия со свободной границей. -В кн.: Краевые задачи математической физики. Киев, Нау-кова думка, 1978, с.39−58.

5. Байокки К., Мадженес Э. 0 задачах со свободной границей, связанных с течением жидкости через пористые материалы.- УМН, 1974, т.29, вып.2(176), с.50−69.

6. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М., Наука, 1975, 480 с.

7. Бородин М. А. 0 разрешимости двухфазной квазистационарной задачи Стефана. ДАН Укр. СССР, 1982, сер. А, № 2, с.3−5.

8. Бородин М. А. Однофазная квазистационарная задача Стефана.- В кн.: Краевые задачи для уравнений в частных производных. Киев, Наукова думка, 1979, с.13−21.

9. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М., Наука, 1975, 568 с.

10. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М., Наука, 1972, 416 с.

11. Данилюк И. И. Об одной квазистационарной задаче типа Стефана. В кн.: Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. II. Записки научн. семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР, 1979, т.84, с. 2634.

12. Данилюк И. И. О двухфазной квазистационарной задаче Стефана. ДАН Укр. ССР, 1982, сер. А, № I, с.6−10.

13. Данилюк I.I., Кашкаха В. Ю. Про одну нелш’н<�йну просто-рову задачу з вильною границею. Доп. АН УРСР. Сер. А, 1973, № 2, с. I19−123.

14. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М., ИЛ, 1962, 896 с.

15. Домаркас А. Односторонние задачи для квазилинейных эллиптических уравнений. Литовский матем.сб., 1981, № 4, с.83−96.

16. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. -М., Наука, 1980, 384 с.

17. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А., Ха Тьен Нгоан. Усреднение и Gсходимость дифференциальных операторов. -УМН, 1979, т.34, вып.5(209), с.65−133.

18. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. -М., Наука, 1977, 744 с.

19. Кашкаха В. Е. О методе Ритца исследования двухфазной квазистационарной задачи типа Стефана. В кн.: Математическая физика. Киев, Наукова думка, 1975, вып.17, с.128−137.

20. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1976, 544 с.

21. Костылева В. Д. Существование решения оптимальной задачиСтефана. В кн.: Математический сборник. Киев, Наукова думка, 1976, с. 86−90.

22. Ладыженская O.A., Солонников В. А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. -М., Наука, 1967, 736 с.

23. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М., Наука, 1973, 576 с.

24. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М., Мир, 1972, 588 с.

25. Ляшко А. Д., Бадриев И. Б., Карчевский М. М. 0 вариационном методе для уравнений с монотонными разрывными операторами. Известия вузов. Матем., 1978, № 2, с.63−69.

26. Мейрманов A.M. 0 классическом решении многомерной задачи Стефана для квазилинейных параболических уравнений. -Матем. сб., 1980, т.112, вып.2(6), с. 170−192.

27. Павленко В. Н. Существование решений нелинейных уравнений с разрывными полумонотонными операторами. Укр. матем. ж., 1981, т.33, № 4, с. 547−551.

28. Радкевич Е. В. Об условиях существования стационарной пресной линзы при наличии инфильтрации. ДАН СССР, 1982.т.263, № I, с.40−44.

29. Радкевич Е. В., Меликулов А. С. 0 разрешимости двухфазнойквазистационарной задачи кристаллизации. ДАН СССР, 1982, т.265, № I, с.58−62.

30. Райтум У. Ё. К Gсходимости почти линейных эллиптических операторов с неограниченными младшими коэффициентами. Латвийский матем. ежегодник, 1982, вып.26, с.101−113.

31. Фельгенхауэр У. Об одной однофазной нестационарной задаче Стефана. ДАН Укр. ССР, 1981, Сер. А, № I, с.30−32.

32. Barbu V. ITecessary conditions for nonconvex distributed control problems governed by elliptic variational inequalities. J.Math.Anal.and Appl., 1981, v.80, N 2, p.566−597.

33. Caffarelli L.A. Some aspects of the one-phase Stefan problem. Indiana Univ.Math.J., 1978, v.27, И 1, p.75−77.

34. Friedman A., Kinderlehrer D. A one phase Stefan problem. Indiana Univ.Math.J., 1975, v.24, N 11, p.1005−1035.

35. Kinderlehrer D. Variational inequalities and free boundary problems. Bull.Amer.Math*Soc., 1978, v.84, Ж 1, P.7−26.

36. Massabo I., Stuart C.A. Elliptic eigenvalue problems with discontinuous nonlinearities. J.Math.Anal.and Appl., 1978, v.66, N 2, p.261−281.

37. Niezgodka M. Some methods of solving optimal control problems for free boundary processes. Abh.Akad.Wiss.DDR. Abt.Math., Naturwiss.Techn., 1981, N 2Ut p.375−378.

38. Pawlow I. Parabolic Problems with free boundaries: existence and properties of solutionsoptimal control problems. Abh.Akad.Wiss.DDR. Abt.Math., Naturwiss. Techn. 1981, IT 2Sf p. 221−231.

39. Rodrigues J.-P. Sur un probleme a frontiere libre stati-onnaire traduisant la cristallisation d’un metal. C.R. Acad.Sei.Paris, 1980, v.290(3), p.823−825.