Теоремы типа Фрагмена-Линделефа для пространственных отображений с ограниченным искажением и их приложения

Общая характеристика работы.

Актуальность темы

Квазиконформные отображения, как обобщения классических конформных отображений, были введены в конце двадцатых годов Г. Гречем и М. А. Лаврентьевым. В работах Л. Альфорса, П. П. Белинского, Л. Берса, И. Н. Векуа, Л.И.Вол-ковыского, Ю. Вяйсяля, В. А. Зорича, С. Л. Крушкаля, Й. Н. Митюка, Й. Н. Песина, Ю. Г. Решетняка, Г. Д. Суворова, Б. В. Шабата были заложены основы теории квазиконформных отображений, выявлены ее многочисленные связи с другими областями математики (дифференциальные и интегральные уравнения, геометрия, топология), а также с приложениями (газовая динамика, теория упругости).

В настоящее время теория квазиконформных отображений представляет собой один из наиболее содержательных и интенсивно развивающихся разделов теории" функций.

Цель работы. Диссертационная работа посвящена изучению произвольных, вообще говоря, неоднолистных квазиконформных отображений — так называемых отображений с ограниченным искажением. Целью работы является распространение на многомерный случай хорошо известного в теории аналитических функций комплексного переменного принципа фрагмена-Линделёфа.

Методика исследования базируется на широком применении" внешних дифференциальных формспециальных оценках интеграла Дирихле и оценках типа неравенства Пуанкаре для финитных функций. Главный инструмент исследования — основная частота открытых множеств и ее Л/ -средние, техника использования которых в теории отображений с ограниченным искажением была разработана В. М. Миклюковым.

Научная новизна. В работе впервые получены оценки" интеграла Дирихле для пространственных отображений с ограниченным искажением, являющиеся аналогами хорошо известного в теории: упругости принципа Сен-Венана. С их использованием доказаны теоремы типа Фрагмена-Линделёфа, Альфорса и Вимана, уточняющие соответствующие результаты В. М. Миклюкова, установленные другим.методом. Все основные результаты, кроме высказываний, приведенных для иллюстрации действенности: общих методов, являются новыми.

Практическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер и могут быть использованы при дальнейшем исследовании пространственных отображений с ограниченным искажением.

Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора ?5]" LT" J и докладывались на У1, УП и Ж Донецких коллоквиумах по теории квазиконформных отображений и ее обобщениям в 1978, 1980 и 1982 годах, а также на семинарах по теории: функций при Московском и Волгоградском университетах, Институте прикладной математики и механики АН УССР.

Структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав и изложена на 95 страницах машинописного текста.

1. Альфорс (Ahlfors L.). Untersuchungen sur Theorie der kon-formen Abbildungen und der ganzen Funktionen. — Acta Soc. sci-fenn, 5, 1930 t 1, 9, 1−4-0 p.

2. Бандле (Bandle C.) A geometrical isoperimetric inequality, and applications to problems of mathematical physics. Comment Math Helv, 1974, 4−9, 496−511 p.

3. Бандле (Bandle C.) Konstruction isoperimetrisher Unglei-chungen der mathematichen phisic aus solchen der Geometric. Comment Math Helv, 1971, 4−6, 182−213.

4. Ботвинник В. А., Миклюков B.M. Один вариант теоремы типа Фрагмена-Линделёфа для отображений с ограниченным искажением в R. Деп. в ВИНИТИ, № 2106−79 от II июня 1979 г., 8 с. Сиб. мат. ж., 1980, т. 21, № 4, с. 227−228.

5. Ботвинник В. А., Миклюков В. М. Теорема типа Фрагмена-Линде-лёфа для Имерных отображений с ограниченным искажением.- Сиб. мат. ж., 1980, т. 20, № 2, с. 232−235.

6. Ботвинник В. А. Оценки интеграла Дирихле и асимптотические свойства Пмерных отображений сзограниченным" искажением.- Деп. в ВИНИТИ, № 3289−82 от 28 июня 1982 г., 46 с.

7. Ботвинник В. А. Об одном граничном свойстве Г) -мерных отображений с ограниченным искажением. Деп. в ВИНИТИ, № 1783−83 от 6 апреля 1983., 14 с.

8. Ботвинник В. А. Оценки основной частоты пространственных областей в Я. Нелинейные проблемы анализа. Материалы I науч.конф. ВолГУ, 1983.

9. Виман (Wiman A.) Sur une extension d’une theoreme deM. Hadamard, Ark. For Math., Astr., Pys., N 14, 1905, 1−5.

10. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. М., Наука, 1970.

11. Дафф (Duff G.F.D.) Ageneral integral inequality for the derivative of an equimeasurable rearrangement. Can. J.Math., 1976, t.28, N 4, 793−8o4 p.

12. Динхас (Dunghas A.) Wachstumsprobleme harmonischer undcnvermandter Funktionen in с. Annal. Acad. Sci Fenn A, 250/8, 1958, 14 p.

13. Евграфов-M.А. Аналитические функции. M., Наука, 1968.

14. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976.

15. Карлеман (Carleman Т.) Sur une inegalite differentielle dans la theorie des fonctions analytiques. C.R. Acad. Sci., Paris, 196, 1933, 995−997 p.

16. Келлер (Keller H.) Sur la croissance des fonctions harrao-niques s' annulant sur la frontier d' un domaine non borne. C.R. Acad. Sci., Paris, 231, 1950, 266−267 p.

17. Мазья В. Г. О поведении вблизи границы решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка в дивергентной форме. Матем. заметки, 9, вып. 2, 1967, с. 209−220.

18. Мазья В. Г. (Mazja W.G.) Einbettungssatze fur Sobolewsche Ranme, TEUBNER-TEXTE zur Mathematik, t.1,2, Leipzig, 1979.

19. Миклюков B.M. Асимптотические свойства субрешений квазилинейных уравнений эллиптического типа и отображений с ограниченным искажением. Мат.сб., 1981, т.39, № 1, с.37−59.

20. Мостов Г. Д. Квазиконформные отображения в Имерном пространстве и жесткость гиперболических пространственных форм.- Математика, сб. переводов 16: 5, с. 105−157.

21. Олейник О. А. Лекции об уравнениях с частными производными.- М., изд-во МГУ, 1976.

22. Олейник О. А., Иосифьян Г. А. Аналог принципа Сен-Венана и единственность решений краевых задач в неограниченных областях для параболических уравнений второго порядка. -УМН, т. 41, вып. 6, 1976, с.142−166.

23. Полиа Г., Cere Г. йзопериметрические неравенства в математической физике. М., 1962, 336 с.

24. Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск, Наука, 1982.

25. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике, изд-во СО АН СССР, Новосибирск, 1962.

26. Фридланд, Хейман (Friedland S., Hayman W.K.) Eiginvalue inequalities for the Dirichlet problem and the gravth of subharmonic functions. Comment. Math. Helv. 51, 1976, 133−161 p.

27. Харди Г. Г., Литтльвуд Дж.Г. и Полиа Г. Неравенства. -Иностранная литература, 1948, 436 с.

28. Хейман У., Кеннеди Г. Субгармонические функции. -М., Мир, 1980.

29. Хейнс (Heins М.) On a notion of convexity connected with a method of Carleman. J. Analyse Math. 7, 1959, 53−57 p.

30. Талпур (Talpur M.N.M) On the existence of asymptotic paths for subharmonic functions in R. Proc. London Math. Soc. 32, 1976, 181−192 p.

31. Рикман (Rickman), Вуоринен (Vuorinen M.) On the order ofquasiregular mappings. Ann. acad. sci. fenn, Ser. Al, 7, N2, 1982, 221−231 p.

32. Вуоринен (Vuorinen M.) On Functions with finite or locally bounded Dirichlet integral. Dep. of Math. Univer. of Michigan (preprint), 1983, 30 p.