В настоящее время достигнут определенный успех в разработке компьютерно реализуемых математических моделей процессов фильтрации в пористых средах с фрактальной организацией и памятью. Стало реальностью, что в основе этих моделей лежат дифференциальные уравнения дробного порядка как по временной, так и по пространственной переменной, и их разностные аналоги. Этим обусловлен рост внимания исследователей к фрактальному анализу, дробному исчислению и актуальность развития методов решения начальных и краевых задач для таких уравнений, выступающих в качестве математических моделей процессов переноса в средах с фрактальной структурой [8], [9], [11], [12], [20].
Существуют различные определения фрактала [8,с. 194], [17,с. 15]. Более физическим и наглядным является определение Б. Мандельброта фрактала как структуры, состоящей из частей, которые в каком-то смысле подобны целому, образно говоря, выглядят одинаково, в каком бы масштабе её ни наблюдать. Коллоидное капиллярно-пористое тело поликапиллярной структуры, в особенности та его часть, которая образует эффективное поровое пространство, является примером системы, близкой к фрактальной.
Значительный интерес представляет разработка физически обоснованных математических моделей, учитывающих влияние фрактальной структуры почвы на их водный и солевой режимы.
Влажность почвы является одним из наиболее быстро изменяющихся во времени t свойств почвы.
На важность математического моделирования процессов поступления влаги и растворимых солей в почву, их перераспределение, расходование и совместное движение обратили внимание многие исследователи: Аверьянов С. Ф. [1], Нахушев A.M. [10], Сербина Л. И. [19], Нерпин С. В. [14], Полубаринова-Кочина П.Я. [15], [16]. Основы рассмотрения водного режимов были заложены Г. Н. Высоцким [23, с.230].
Водно-солевой режим почв выступает важнейшей подсистемой системы автоматизированного проектирования мелиоративных и водохозяйственных систем [1], [2].
Известно, что почвенный раствор представляет собой структруиро-ванные фрактальные коллоидные образования, наличие которых существенно влияет на многие свойства почв, в том числе на их инфильтра-ционные и фильтрационные характеристики. Известно также влияние влажности, одной из важнейших характеристик почв, на фрактальные свойства почвенных коллоидов [21], [22].
Диссертация, состоящая из введения, трех глав и заключения, посвящена разработке и исследованию математических моделей движения влаги и солей в почвах с фрактальной организацией.
В первой главе предложены математические модели водного режима в почвах, содержащих фрактальные коллоидные структуры, и алгоритмы их исследования. Эта глава содержит пять параграфов.
В § 1.1 выводятся базовые уравнения движения почвенной влаги и сопутствующие им начальные и краевые условия. Здесь на основе модификации известной в физике почв схеме М. Аллера, приводящей к уравнению диффузии, которая дает истолкование наличия потоков против потенциала влажности, и посредством введения понятия фрактальной скорости изменения влажности получены новые уравнения влагопереноса, учитывающие фрактальные свойства почвенных коллоидов.
Показано, что основное уравнение движения влаги имеет следующий вид: где w (x, t) — влажность (в долях единицы) в точке х слоя 0 < х < г в момент времени t от начального t = 0 до расчетного t = Т, <9^ -регуляризованный оператор Римана-Лиувилля порядка, а б]0,1], D (w) -коэффициент диффузитивности, к^ - обобщенный коэффициент Аллераа сопутствующие ему локальные и нелокальные краевые условия заданы формулами: w{x:t)dx = S (a)(t), 0 < а < 1- wx (r, t) = i/>r (t) — wx (0,t) — wx (r, t) = f^t);
Wx (0,t) = f0(t). где wx (x, t) =.
Здесь и далее регуляризованный оператор Римана-Лиувилля <9^ или оператор дробного в смысле М. Капуто [32] дифференцирования порядка, а по временной переменной t определяется следующим образом.
Пусть L[О, Т] - множество функций.
0, который действует на функцию (p (t)? L[0,T] по формуле (см. 8, с.28]).
Щч> =.
1 fJPil) dr n г (—q) J {t-T)°+l' «U' = o, дат Dot.
0, где.
00 вд=£ k=0 l) fc 1 A-! 2 + &.
J f’hxpi-tfdt, хф 0,-1,-2,.
— гамма-функция Эйлера. Тогда по определению.
ЯТ1 Щп — 1 < а < n = 1,2,.
Если п = 1, 0 < а < 1, то (см. 32, с.236]).
Выражение часто называют производной Капуто от функции ip (t) порядка а.
В этом же параграфе для прогнозирования динамики объемной влажности почвы в = 9 (ж, t) (запас влаги в точке х в момент времени t) предложено линейное уравнение смешанного типа д20 д29 cosign{U -1) — tpjj-p, 0 < t < T, с нелокальным краевым условием г д [.
Do— / 9(я, t) dx = crtUp sign (U -1), где со, р, Do и сг — параметры модели, t* - время, когда объемная влажность достигает максимально допустимое значение.
В § 1.2 разработана математическая модель влагосодержания почвенного слоя и предложено обобщенное уравнение Филипа для почв с фрактальной характеристикой а.
Задача нахождения влагосодержания слоя S (t) по начальному условию .
В случае, когда c (t) = с = const, влагосодержание почвенного слоя в любой момент времени вычисляется по следующей весьма эффективной формуле.
ОД — D^c (t)S (t) = 6о + D~maf (т) х 0 где о.
— функция Миттаг-Леффлера [3, с. 117].
Основной результат § 1.2 сформулирован в виде следующей теоремы: Теорема 1.1. Для почв с фрактальной организацией с коэффициентом диффузитивности D (w) = /3(1 + jw), (3 = const, 7 = const и с нелокальным краевым условием wx (0,t) —wx (r, t) = е в качестве математической модели влагосодержания почвенного слоя 0 < х < г можно принять уравнение.
ЗДт) — efa6(t) = Ре с начальным условием $(0) = ?0 > единственное решение которого задается формулой.
S (t) = S0Ea[s^ta] + PetaElla[shtaа + 1]. В этой теореме функция.
00 и zk.
E1/a[zа + 1] = У] k=О.
— означает функцию типа Миттаг-Леффлера.
Из теоремы 1.1 следует, что суммарную инфильтрацию Q (t, а) можно вычислить по обобщенной формуле.
W’a> Г (а+1) Г (2а + 1) ' которая существенным образом обобщает известное уравнение Филипа.
В § 1.3 предложена математическая модель влагосодержания почвенного слоя, основанная на уравнении Аллера dw д (pdw d2w' dt дх V дх dxdt и проведен анализ её чувствительности по Адамару. Основным результатом этого параграфа является.
Теорема 1.2. Для почв с фрактальной организацией и с постоянным коэффициентом диффузитивности и коэффициентом Аллера, с уравнением движения влаги d2w{x, t) d2w (x, r) д{lw (x, г) = D дх2 + Vot дх2 ' начальным условием w (x, 0) = 0 < х < г, и граничным условием второго рода wx (0,t) = fi{t), wx (r, t) = 0, 0 < t < Т в качестве математической модели влагосодержания почвенного слоя 0 < х < г можно принять решение задачи Коти <5(0) = <5о для уравнения dSt8(T) = -Df1(t)-kfldSMr)1 единственное и устойчивое решение которого задается формулой.
S (t) = 50- DD^hir) — Mji (t).
Если градиент влажности представим в виде п fl (t) = y^Ajfj, Aj = const,? = const,.
J=0 mo 5(t) определяется формулой.
5(t) = S0- DtaEye[Xt?-, 1 + a}- Xk. fE^lXf- 1 + e], если же fi (t) = Ey?[Xt?', 1], mo.
S (t) =SQDtaEl (e[Xt?- 1 + a}- Xk^E^Xf- 1 + e],.
5{t) = 80-(D-{- Хк^аЕ1/а[Х1а- 1 + a], e = a.
Здесь.
— полином Миттаг-Леффлера.
В параграфе 1.4 рассматривается математическая модель движения влаги с заданной разностью значений градиента влажности на границах почвенного слоя 0 < х < г. Главным результатом § 1.4 является.
Теорема 1.3. Единственное решение w (x, t) начально-краевой задачи: w (0,t) = f0(t).
W — f () — О дх ж=о дх х=г г О для уравнения.
Эдг) = WlM дх2 задается формулой /ой + + !(r,)+ о где.
F01(t) = зад (t) + д&кМч) +.
В последнем параграфе первой главы построена математическая модель запаса почвенной влаги, которая основана на линеаризованном уравнении Ричардса д2и Л + SignyyP—- = 0, 0 < X < Г, с нелокальным условием г.
Ид.(г, J/) — иж (0, у) = X J и (х, y) dx, Т < у < Т+, где.
У = (t~ U) y/cH, и (х, у) = 0(я, tt + у/у/со),.
А = const > 0, T- = -tty/qi, Т+ = Т — Ufc.
Основной результат § 1.5 можно сформулировать следующим образом: уравнение Aytf (y) = 0, Т.<�у<�Т+ представляет собой уравнение движения запаса почвенной влаги и его решение можно записать в виде.
Ai{z)+.
0) 2tf'(0).
Bi (z) № где z = —y/~, A{(z) и Bi (z) — функции Эйри первого и второго рода соответственно:
Г (к + 2/3) 92/3Г (&- + 4/3).
ВД = ?
1-j 9*+1/зГ (Л + 1).
1 г.
Г (к + 2/3) 92/3Г (А: + 4/3).
Функцию Эйри первого рода можно записать и в следующем виде [6, с. 175]: 2 А зт (Щк + 1)) / z .
Объектом исследования второй главы, состоящей из трех параграфов (§ 2.1−2.3), являются математические модели солевого режима в почвах с фрактальной структурой.
Первый параграф посвящен базовым уравнениям математических моделей, учитывающих влияние фрактальной структуры на солевой режим. В качестве уравнения движения солей предложено дифференциальное уравнение дробного порядка следующего вида: g = D}dSXU) — + F[n], где и = u (x, t) — концентрация c (x, t) почвенного раствора в точке х почвенного слоя 0 < х < г в момент времени t > 0- а = Co/mi фактическая скорость движения воды в порах грунтасо — постоянная скорость фильтрацииmi — порозностьит — предельная концентрация насыщенияF (u) = b (um — и) или F (u) = b[um — <5(t)];
— среднее солесодержание почвенного слоя мощности гDf и b — коэффициент фрактальной диффузии и коэффициент растворимости соответственнопредполагается, что число, а принадлежит полусегменту ]п — 1, n], п = 1,2,. и пропорционален (или равен) фрактальной размерности почвенного слоя.
В § 2.1 проведен качественный анализ уравнения в частных производных дробного порядка, а как базового уравнения математической модели движения солей для всех, а £]п — 1, п], сделав особый акцент на случай зональных почв с фрактальной размерностью D, 2.4 < D < 3.22 и 2.4 < а < 3.22, получена эффективная формула для определения среднего солесодержания 6(t).
В § 2.2 рассмотрен модельный вариант стационарного распределения солей в почвенном слое, в основе которого лежит уравнение.
Главный результат этого параграфа — алгоритм поиска решения задачи Коши для этого уравнения и эффективная формула позволяющая определить градиент концентрации солей в любой точке х г О ао>(0 — шаи'{х) = 0, 0 <�х<�г, где иоа = a/Df. и'(х) = v (x) = Ea-i[u)axa !]С1 + хЕща1)[иаха х- 2]с2, почвы с фрактальной размерностью, а €]2,3[. Здесь с = i>(0), С2 = г/(0), п=оо и.
Еща-Ф21 = Г (2 + к (а — 1)).
К—и.
— функция, названная М. М. Джрбашяном [3, с. 117] функцией типа Миттаг-Леффлера.
В § 2.3 предлагается и исследуется нестационарная математическая модель солепереноса, для которой уравнение $'(t) = Dfd$xu (Z, t) — аих, 1 < а < 2 с граничным условием.
D/ux (0,t) =.
< t < Т является базовым. Пусть /3 = а — 1, г т = - J r (x)dx1 т (х) = и (х, 0) о.
— среднее значение концентрации почвенного раствора в начальный момент времени.
Основным результатом этого параграфа является следующая формула:
TE1W[As" - 2 + /?] /ss/w (D, t.
BW[Ar" -3 + (3] r) 6XP 1 + /?]/' определяющая распределение солей в почвенном слое мощности г.
В третьей главе рассматривается обобщенное дробное осцилляцион-ное уравнение, которое является важным вариантом модельного уравнения движения почвенной влаги, и даются алгоритмы его решения. Данная глава состоит из четырех параграфов.
— 16 В § 3.1 предложена обобщенная математическая модель движения почвенной влаги, которая вытекает из обобщенного уравнения Ричардса.
HQ Dd&Gfat), 0 <�х<�г, п — 1 < а < п = 1,2,., для объемной влажности Q (x, t), и задается следующей системой уравнений:
9{x, t) = u (x)v (t), v'(t) = Dv (t)[ - ev (t)l m daQxu (i) + uiau (x) = jDZu (t) + ip{x), 0 < x < r,.
3=1 где ui = const >0, Xj = const, aj = const, e = const, cp (x) — «флуктуирующая сила» .
Объектом исследования параграфа 3.2 является задача Коши для неоднородного обобщенного осцилляционного уравнения.
Lau = <90>(г) + иаи (х) = f (x), (0.1) которое является важным вариантом математической модели, предложенной в § 3.1. Основной результат этого параграфа сформулирован следующей теоремой:
Теорема 3.1. Пусть функция f (x) имеет суммируемую производную порядка п — а с началом в точке 0 и концом в точке х 6 [0, г] и lim DQ~a~1f (t) = 0. Тогда любое регулярное решение и (х) уравнения х-ьО.
0.1) представимо в виде п-1 и (х) = ]Г<*>(0 к + 1]+ к=О.
1 (хt)a~1Ei/a[-uja (x — t) aa]f{t)dt. о.
Теорема 3.1 позволяет найти эффективную формулу решения задачи Коши для уравнения (0.1).
Для формулировки основных результатов § 3.3 введем в рассмотрение следующие функции: функции названные в работе [33, с. 77] обобщенными тригонометрическими функциямифункция Хевисайда Н (х).
В § 3.3 для обобщенного однородного осцилляционного уравнения Lau = 0, где сформулирована задача с нелокальными краевыми условиями и найдены необходимые и достаточные условия её однозначной разрешимостидоказана справедливость следующих двух теорем: Теорема 3.2. Пусть у (х) — решение уравнения функция типа Миттаг-Леффлера Еур[г-, ц]-,.
Lau = dQXu (t) + шаи (х),.
Lay = 0, удовлетворяющее условиям у (0) = 0, 1^(0) = ^), тогда у (х) = 0 при 1 < а < 2. Если, а = 2, то у (х) = 0, тогда и только тогда, когда г фк, к = 0,1,2,.
Теорема 3.3. Пусть 1 < а < 2 и при, а = 2 соблюдено условие 27 Г, тф—к, к = 0,1,2,. со.
Тогда единственное решение и (х) однородной краевой задачи и (0) = 0, и'(0) — «'(г) для уравнения.
Lau = дцхи (Ь) + а/*и (ж) = /(ж), 0 < ж < г, о- = const > О, с правой частью f (x) Е С[0, г] задается формулой г и (х) = J G (x, t) f (t)dt, о где sinQ (wa:) 2 w[l — cosa (o-r)].
Последний параграф 3.4 посвящен уравнению Lau = F (u) с флуктуирующей силой т.
Р (ч) =з (х)Ва0>хи (1) + <�р (х), где Лj (x) и (р (х) — заданные функции из класса C[0,r], ay — отрицательные числа, а < аз <. < ат. Здесь методом редукции к линейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода, доказана следующая теорема единственности и существования решения задачи Коши для уравнения Lau = F (и).
Теорема 3.4. Задача Коши: и^(0) = а*, к = 0,1, ., n- 1 для уравнения Lau = F (u) имеет и притом единственное решение.
В заключении сформулированы девять основных научных результатов диссертационной работы, выносимых на защиту.
Метод доказательства теоремы 3.4 одновременно дает эффективный алгоритм построения решения задачи Коши для осцилляционного уравнения с флуктуирующей силой, линейно зависящей от объемной влажности. Метод сводит задачу к линейному интегральному уравнению Вольтерра второго рода с непрерывными ядром и правой частью, решение которого можно найти с любой наперед заданной точностью.
Заключение
.
В диссертации впервые разработаны и исследованы качественно новые математические модели движения влаги и солей в почвах с фрактальной организацией.
Основными научными результатами являются:
1. Вывод базовых уравнений движения почвенной влаги и описание сопутствующих им начально-краевых условий.
2. Математическая модель влагосодержания почвенного слоя, содержащего фрактальные коллоидные структуры, и эффективные формулы для вычисления влагосодержания слоя, а также суммарной инфильтрации, существенно обобщающая формулу Филипа.
3. Исследование на разрешимость и чувствительность математической модели влагосодержания почвенного слоя, основанной на уравнении Аллера и теорема об единственном и устойчивом решении задачи Коши.
4. Математическая модель движения влаги с заданной разностью значений градиента влажности на границах почвенного слоя и теорема об алгоритме её разрешимости.
5. Математическая модель запаса почвенной влаги, основанная на линеаризованном уравнении Ричардса смешанного эллиптико-гипербо-лического типа, и конструктивная формула для его вычисления, содержащая функции Эйри первого и второго рода.
6. Качественный анализ базового уравнения математических моделей солевого режима в почвах с фрактальной структурой и алгоритм решения задачи Коши для его стационарного варианта.
7. Разработка схемы построения аналитического решения начально-краевой задачи для нестационарного нагруженного уравнения солепереноса, основанной на формуле Хилле-Тамаркина.
8. Вывод обобщенного осцилляционного уравнения движения почвенной влаги, основанного на модифицированной модели Ричардса и доказательство теоремы об аналитическом представлении его решения через функцию Миттаг-Леффлера.
9. Теорема об интегральном представлении решения нелокальной задачи для неоднородного осцилляционного уравнения движения почвенной влаги и теорема об однозначной разрешимости задачи Коши для этого уравнения.
