Чисто-вещественные биквадратичные алгебраические поля и их приложения

Одной из классических проблем вычислительной математики является задача приближенного вычисления определенного интеграла. Различные квадратурные формулы для вычисления определенного интеграла были построены ещё в XIX веке. Построение на их основе многомерных квадратурных формул оказалось неэффективным из-за существенной потери точности с ростом размерности. Поэтому 55 лет тому назад, исходя из нужд вычислительной практики, в приближенном анализе возник теоретико-числовой метод Н. М. Коробова, который позволил построить для канонической области интегрирования, являющейся единичным 5-мерным кубом = [0- I)5, многомерные квадратурные формулы, существенно более точные, чем классические формулы для классов периодических функций с быстро сходящимися рядами Фурье.

В задаче численного интегрирования выделяют следующие основные постановки задач построения квадратурных формул:

1. оптимальные для заданного класса функций Р;

2. асимптотически оптимальные квадратурные формулы;

3. имеющие точный порядок погрешности;

4. имеющие порядок погрешности, отличающийся от точного на множитель вида 1п7 N (Ы — число узлов в квадратурной формуле).

Точная формулировка задачи отыскания квадратурных формул, оптимальных на некотором классе принадлежит академику А. Н. Колмогорову. Для ряда классов функций одной переменной эта задача рассматривалась академиком С. М. Никольским и его учениками [19].

В данной работе рассматривались вопросы приближенного интегрирования функций многих переменных по единичному s—мерному кубу по методу К. К. Фролова [20] для непрерывных периодических функций с периодом, равным единице по каждой из переменных xv {у = 1,2,., s), принадлежащих классу Ef©, который состоит из периодических функций оо f (x) = С{т)еш{-^ mi,., ms=—оо где: а т — тах (1, т) для любого вещественного т.

Областью интегрирования является единичный куб: {ж | 0 < < 1, v= l, 2,., s}.

Для погрешности квадратурной формулы 1 1 N.

J.J f{x)dx = 1? p (k)mk)) — RN[f] (1) о о k~l с N узлами ?(&) и весами р (к) (к = 1,., ЛГ) на классе периодических функций из Е?© путем несложных преобразований можно получить оценку:1.

С «|5(тЙ)| где N.

3{т) = ^ р (к)е2т (т,^к^ — тригонометрическая сумма сетки. (3) к=1.

Для равномерной сетки с равными весами и N — п3 узлами:

4).

О О к1=° *"=°.

13нак Y1' означает, что суммирование распространено на наборы (mi. ms) (0,., 0). для погрешности приближенного интегрирования выполняется неравенство2 я"[/]Кс Е'^-jjW mi,., ms——оо №. .. TTls).

5) так как для тригонометрической суммы равномерной сетки выполняется равенство.

П— 1 71—1 в{т) = ^ = АМ • • • ««М- (6) кг=0 /с5=0.

Зависимость погрешности квадратурной формулы (1) от хорошо известных в теории чисел тригонометрических сумм ¿->(т) позволила использовать при приближенном интегрировании методы теории чисел. Используя неравномерные сетки <�•" ¦•." где N — простое число или квадрат простого числа,.

Н. М. Коробов в 1957 г. в работе [15] получил для таких классов функций и квадратурных формул вида к2] (к3' о о fcl=0 оценку погрешности rn[i]=оШ- (8).

Тригонометрические суммы S (m) в этом случае принимают вид:

N п .шк + т2к2 +. + msks 2тк=1.

1, при т = 0 (mod п), Здесь и далее оп{т) = ^ — символ Коробова.

О, при тп ф 0 (mod п) то есть являются рациональными тригонометрическими суммами, для которых (при простом N) справедлива оценка А. Вейля.

S (m) ^ (s-l)VN, если хотя бы одно ту (и — 1,., s) не кратно N. Аналогичная оценка справедлива и при iV, равном квадрату простого числа. Отметим, что случай квадрата простого числа для вычислительной практики более предпочтителен, так как позволяет использовать небольшие таблицы простых чисел. При р < 6000 получаем N — р2 < 36 000 000. Кроме этого, с теоретической точки зрения случай квадрата простого числа выделяется исключительной элементарностью вывода оценки типа Вейля.

Оценка (8) уже не ухудшается с ростом s и, таким образом, при s, большем 2а, неравномерные сетки предпочтительнее равномерных, однако они не реагируют на увеличение гладкости подынтегральной функции. Важной особенностью квадратурных формул с неравномерными сетками является тот факт, что порядок оценки погрешности численного интегрирования по этим формулам такой же, как и в методе Монте-Карло, но эта оценка является детерминированной, а в методе Монте-Карло — вероятностной.

Вскоре И. И. Пятецкий-Шапиро [3] доказал существование сеток вида.

9 {eefc}), (fc = 1,2,., iV), для которых справедлива более точная оценка.

RN[f = 0(N~1]nN).

Полученый результат, несмотря на неэффективность доказательства, стимулировал дальнейшие исследования оценки погрешности квадратурных формул на классе функций Е®©.

Существенно неулучшаемые оценки погрешности квадратурных формул на классах функций Ef© были установлены в 1959 г. Н. М. Коробовым [16] и Н. С. Бахваловым [1]: 1 1 N-1.

О 0 здесь oi, ., as — специально выбранные целые числа, зависящие от 7V, которые называются оптимальными коэффициентами. Введенные параллелепипедальные сетки позволили получать погрешность порядка на классах функций Е?© для всех, а > 1. Дальнейшее уточнение оценки погрешности квадратурных формул на классах функций Е?© было связано с совместным приближением иррациональных чисел рациональными и окончательно решено лишь для случая s, равного двум. Для s = 2 оценки имеют вид.

RN[f] = 0(N-anN), f е Щ©.

Учитывая оценки снизу И. Ф. Шарыгина [21], имеющие для квадратурных формул на классе функций Е?© вид sup RN[f} ^ Ci • С • N~alns1 N, Ci = Ci (s, a) > 0, feEf{C) можно сделать вывод, что к 1976 г.:

• для классов функций E^iC) {а > 1) получен точный порядок погрешности,.

• для классов функций Е" ©, (s ^ 3, а > 1) получен порядок погрешности, отличающийся от точного разве лишь на множитель вида 1п (а-1)(5−1} N.

В 1976 г. К. К. Фролов в работе [20] построил для специального подкласса периодических функций из класса Е% квадратурные формулы с алгебраическими сетками, для которых получил точный порядок погрешности:

11 Stzl azl.

IrWTl-1 Л 2 f№dx =^-LE ••• E p (k)nm-Rnui (io).

0 0.

Mf} = О (q~as In'-1 q), N = О (qs). (11).

Позднее в своей кандидатской диссертации он устранил дополнительные ограничения на класс функций, но сетки и веса стали зависеть от параметра гладкости а.

С точки зрения теории чисел принципиальным моментом в его работе было привлечение для построения многомерных квадратурных формул алгебраических решеток, соответствующих чисто-вещественным алгебраическим полям степени й над полем рациональных чисел.

В 1984 г. Н. М. Добровольский в серии работ [8] — [13] построил теорию обобщенных паралелепипедальных сеток и предложил конструкцию весовой функции, которая позволила включить в общую теорию и квадратурные формулы с параллелепипедальными сетками Коробова, и аналог квадратурных формул с алгебраическими сетками Фролова.

Квадратурная формула р{х)т-я-кАП (12) хеМ'(А) с весовой функцией р (х) и обобщенной параллелепипедальной сеткой II типа М'{А) охватывает и случай параллелепипедальных сеток Коробова, когда решетка, А — целочисленная, и аналог сеток Фролова, когда алгебраическая решетка, А соответствует чисто-вещественному алгебраическому полю Ж степени й над полем рациональных чисел <0>.

С различной степенью подробности эти результаты отражены и во втором издании монографии Н. М. Коробова [18], и в монографии Н. М. Добровольского [14].

Таким образом, к 2006 г.

• для классов функций Е?(С): (з, а > 1) с помощью параллелепипедальных сеток получен порядок погрешности, отличающийся от точного разве лишь на множитель вида А^,.

• для классов функций Е®© {а > 1) с помощью алгебраических сеток получен точный порядок погрешности.

Оставались нерешенными задачи вычисления констант в оценках погрешности для квадратурных формул с алгебраическими сетками точных по порядку погрешности. Не рассматривался вопрос, особенно важный для вычислительной практики, о перечислении точек алгебраической сетки.

Таким образом, актуальными являлись задачи дальнейшего исследования конкретных алгебраических сеток для нахождения явных значений констант в оценках погрешности приближенного интегрирования и указания эффективных способов перечисления узлов алгебраической сетки без лишней работы по проверке попадания точек в область интегрирования.

Поэтому в диссертационном исследовании были поставлены следующие задачи:

• вычислить константы в оценке погрешности приближенного интегрирования по квадратурным формулам с использованием алгебраических сеток, порожденных чисто-вещественным алгебраическим полем Е степени 5 над полем рациональных чисел <0>;

• рассмотреть конкретное вещественное биквадратичное поле Дирихле (ф (л/2, у/Щ и решить для него алгоритмическую проблему перечисления точек соответствующей алгебраической сетки, используемой при численном интегрировании по методу Фролова четырехкратных интегралов от периодических функций из класса.

• провести численные эксперименты по вычислению методом Фролова с алгебраической сеткой, порожденной вещественным биквадра-тичным полем Дирихле <0> (л/2, л/3), четырехкратных интегралов от граничной функции Коробова из класса для параллелепипе-дальных сеток.

Перейдем к подробному изложению результатов диссертации, которая состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

Заключение

.

Данная работа посвящена рассмотрению основных вопросов:

• Метод К. К. Фролова;

• Вычисление четырехкратных интегралов с помощью сеток биквад-ратичных полей.

В работе показано, что метод Фролова позволяет строить квадратурные формулы, имеющие точный порядок погрешности для непрерывных периодических функций с периодом, равным единице по каждой из переменных ху (и = 1,2,., з), принадлежащих классу Е" ©. Новизной нашего исследования явилось вычисление всех констант, входящих в оценки, в явном виде.

Разработана программа в МАТНСАБ для приближенного вычисления четырехкратных интегралов с помощью алгебраических паралле-лепипедальных сеток на основе рассмотрения биквадратичных полей Дирихле. Дополнительный теоретический анализ позволил найти точную параметризацию узлов квадратурной формулы, исключающую холостую работу по проверке попадания точки в область интегрирования.

Анализ результатов численного эксперимента позволяет сделать вывод, что для численного вычисления четырехкратных интегралов по методу К. К. Фролова можно использовать биквадратичные поля Дирихле. Для алгебраических сеток, соответствующих биквадратичному полю Дирихле <0)(л/2 + -/3), существует точная параметризация, которая исключает холостую работу по проверке точки сетки области интегрирования. При малых значениях д < 135, когда количество точек.

Л/", реально используемых в вычислениях, меньше 137 035, преимущество метода Фролова перед методом оптимальных коэффициентов Коробова не обнаруживается, так как хотя оценка погрешности имеет вид Ядг = О (^^г^, константа в знаке О (') оказывается по порядку равной 104.