Ветвление и асимптотика решений нелинейных уравнений волновых движений жидкости

В диссертации исследуются качественные свойства решений нелинейных дифференциальных уравнений волновой гидродинамики. Здесь рассматриваются два круга математических вопросов, возникающих в теории плоских потенциальных движений жидкости со свободными и контактными границами. Первый из них связан с задачей описания стационарных волновых конфигураций в стратифицированных течениях. В предлагаемой работе методами теории ветвления доказывается существование и исследуется асимптотика точных решений уравнений Эйлера типа плавного бора — гладкой уступообразной волны повышения или понижения уровня поверхности раздела двух жидкостей.

Второй круг постановок относится к проблеме обоснования приближенных моделей неустановившихся поверхностных волн. На основе теорем существования и единственности, доказанных в диссертации, даются асимптотические оценки для разности решений нелинейной задачи Коши-Пуассона и некоторых известных ее аппроксимаций — системы уравнений Буссинеска, уравнений Серра-Су-Гарднера (модель второго приближения теории длинных волн), дипольного приближения в задаче о генерации волн погруженным препятствием.

Основополагающие результаты точной теории стационарных поверхностных волн получены в 20-х — 50-х годах в работах А. И. Некрасова [60], Т. Леви-Чивита [140], Д. Стройка [168], М. А. Лаврентьева [37], К. О. Фридрихса и Д. Г. Хайерса [122]. В [60] и независимо в [140, 168] установлено существование периодических решений двумерной задачи, а в [37] (см. также [38]) и затем в [122] доказано существование уединенных волн. Задача о стационарных волнах при надлежащей переформулировке сводится к отысканию ненулевых решений операторного уравнения вида и = ХАи + f (u, А).

Тривиальному решению и == 0 соответствует равномерное течение слоя жидкости глубины Н со скоростью U, а бифуркационным параметром является величина X = F2 =. U2/gH — квадрат числа Фру-да. В периодической задаче спектр линейного оператора, А дискретен, и ветвление малых решений происходит согласно классической схеме Ляпунова-Шмидта. В апериодическом случае уединенные волны ответвляются от безволнового режима в граничной точке, А = 1 непрерывного спектра, причем волна в первом приближении имеет вид солитона Кортевега-де Фриза. Как показано в [105], эта схема укладывается в рамки обобщенной конструкции Ляпунова-Шмидта, согласно которой главный член длинноволновой асимптотики решения принадлежит бесконечномерному ядру вырожденной предельной задачи.

Глобальное поведение ветвей решений изучалось в работах [35, 100, 101, 137, 175] с привлечением топологических теорем о неподвижных точках положительных операторов [34, 117, 176]. Логический итог данных исследований — доказательство справедливости известной гипотезы Стокса о существовании заостренной предельной волны [75, 102] с углом 120° на ее гребне. Структура множества решений вблизи экстремальных значений параметров и связанные с этим вопросы единственности исследовались в работах [3, 4, 76, 125]. В [76] доказана неединственность уединенных волн, причина которой в немонотонной зависимости амплитуды волны от числа Фруда. Приближенному аналитическому представлению периодических и уединенных волн конечной амплитуды в виде рядов теории возмущений посвящены работы [32, 71, 154, 155, 142, 182, 180].

В настоящее время теорема существования точного решения имеется также для ряда постановок задачи о стационарных волновых следах за локализованными препятствиями. Это задача о возникновении периодической волны Некрасова в д’окритическом течении при обтекании неровности дна [55] или заглубленного точечного вихря [49, 50], а также при локализованном воздействии атмосферного давления на свободную поверхность [106]. К этой же тематике близка работа [57], в которой рассматривалась задача о волнообразовании за точкой контакта свободной и заданной границ при истечении жидкости из-под жесткой стенки.

Пространственная задача о стационарных волнах принципиально отличается от двумерной. Так, в периодическом случае вместо дискретного имеется непрерывный спектр, причем бифуркации происходят в его внутренних точках. Существование точных решений типа двоякопериодических волн доказано в [74] для точек спектра, удовлетворяющих условиям отсутствия малых знаменателей. В трехмерной задаче естественным регуляризатором является капиллярное давление на свободной границе. При ненулевом коэффициенте поверхностного натяжения спектр дискретен, но размерность ядра сильно зависит от внешних параметров — в специальных случаях оно может быть шестнадцатимерным. Возникающие в этой ситуации пространственные периодические волновые структуры изучались в [40] с привлечением методов теоретико-групповой редукции уравнений разветвления, а также в [161].

В двумерной задаче существование капиллярных периодических волн доказано в [79] и [185]. Относительно недавно было обнаружено, что учет поверхностного натяжения в непериодическом случае приводит к резонансным явлениям, порождающим сложные волновые конфигурации. Так, благодаря наложению мод длинных и коротких волн для капиллярных чисел Бонда, близких к 1/3, существуют решения типа уединенных волн с осциллирующими хвостами мелкой ряби на бесконечности [106, 170] и условно-периодические решения [11, 12, 13]. Резонанс групповой и фазовой скоростей в этой же волновой системе влечет существование точных решений в виде стационарных солито-нов огибающей [130]. В работах последних лет по капиллярным волнам (за исключением [106], где использовался модифицированный подход Ляпунова-Шмидта) широкое применение получил предложенный в статье [138] метод редукции эллиптических краевых задач в полосе на конечномерное центральное многообразие. В качестве уравнений разветвления при таком подходе выступает динамическая система обыкновенных дифференциальных уравнений с неявными функциями в правых частяхроль времени в ней играет продольная пространственная переменная х. Качественное описание волновых структур, близких к положению равновесия, получается путем разрешения особых точек системы на центральном многообразии. Развитию и обобщению данного подхода применительно к задачам теории волн посвящены работы [27, 112, ИЗ, 128, 145, 146].

С точки зрения приложений большой интерес представляют волновые движения жидкости, неоднородной по плотности. Существование периодических волн на поверхности раздела двух жидкостей с разными плотностями доказано Н. Е. Кочиным [33]. Периодические внутренние волны в непрерывно стратифицированной жидкости изучались М. Дюбрей-Жакотэн [119], уединенные волны — А.М.Тер-Кри-коровым [173]. Локальная теорема существования уединенных волн в двухслойной жидкости получена в [93, 111], а ветви немалых решений исследовались топологическими методами в [103] и вариационными в.

110]. Результаты теории поверхностных волн являются здесь хорошим ориентиром, однако стационарные волны в стратифицированной жидкости имеют ряд особенностей, отличающих их от однотипных поверхностных волн. Так, уединенные внутренние волны могут иметь форму не только возвышения, но и впадины, что невозможно для однородной жидкости. Это свойство, впервые обнаруженное в [141, 156] в приближении длинных волн, справедливо и для точных решений уравнений Эйлера.

Предельное поведение внутренних волн также имеет свою специфику. Как показано в [103], для ветви уединенных волн в двухслойной жидкости существуют предельные точки в пространстве параметров, при приближении к которым для решения возможна альтернатива: либо неограниченно возрастает масса жидкости между волновым профилем и равновесным уровнем границы раздела, либо на профиле появляется точка с вертикальной касательной. Численные эксперименты указывают на то, что, по-видимому, реализуются обе эти возможности. В частности, в расчетах [157] обнаруживались грибообразные профили волн, однако вопрос о существовании соответствующих точных решений пока открыт. Неограниченное увеличение массы жидкости численно отслеживалось [177] в солитонах с уплощенной вершиной, по форме напоминающих плато с очень широкой подошвой волны. Фронт такой волны локализован. в узкой области и в пределе вырождается в плавный бор — волновой режим, которому нет прямого аналога в однородном случае.

Бор в стратифицированной жидкости приближенно описывается стационарным решением в виде гиперболического тангенса для модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза с кубической нелинейностью [123, 131, 148]. Для уединенных волн аналогичные асимптотики изучались в [85, 149, 156]. В указанных работах рассматривались стратифицированные течения, близкие к постоянному. Для движений с поверхностями скачка плотности, моделирующими узкий пикноклин, помимо обычного волнообразного искривления границы контакта однородных слоев характерно их скольжение друг относительно друга. Л. В. Овсянниковым в [70, 72] предложена модель второго приближения теории длинных волн в двухслойной жидкости, свободная от условий малости скачка касательной скорости на границе раздела. Согласно этой модели бор возможен без каких-либо существенных ограничений на толщины слоев и плотности жидкости. Такое течение с профилем волны, неподвижным в лабораторной системе отсчета, удалось реализовать в эксперименте [16] для двухжидкостной системы с проточными слоями обеих жидкостей. Приближенные решения типа бора в многослойной жидкости получались А. Ю. Якимовым и Ю. Л. Якимовым [97].

Существование стационарных решений уравнений Эйлера в виде плавного бора доказано Ч. Эмиком, Р. Тернером [104], автором [144] и А. Мильке [147]. В [104] с помощью техники редукции на центральное многообразие исследована задача о волновых режимах, слабо возмущающих равномерное бессдвиговое течение двухслойной жидкости. В случае общего положения реализуются периодические и уединенные волны, а при специальном соотношении между плотностями и глубинами на центральном многообразии имеется гетероклиническая траектория, соединяющая две особые точки — это и есть бор. Построение точной теории плавного внутреннего бора в двухслойной жидкости с конечным сдвигом скорости между слоями является одной из основных целей данной диссертации. Изложение базируется на работах автора [144, 45]. А. Мильке [147] также рассматривал задачу со скольжением слоевим же строго обоснована возможность предельного вырождения уединенных волн типа плато в бор. Для параболических уравнений реакции-диффузии ветвление решений типа перехода изучалось В. А. Треногиным [87].

Вторую половину диссертации — главы 3 и 4 — занимает анализ асимптотических свойств решений уравнений нестационарной волновой гидродинамики. Важная роль методов возмущений, которую они играют в теории волн, объясняется трудностями анализа ее нелинейных начально-краевых задач с граничными условиями на искомых свободных поверхностях и границах раздела. Большинство известных [82, 84] приближенных моделей базируется на уравнениях, возникающих в результате разложения по подходящему малому параметру. Так, уравнения линейной теории получаются в качестве первого приближения по амплитудному параметру. Уже упоминавшаяся выше нелинейная теория длинных волн (или теория мелкой воды) описывает движения жидкости, средняя глубина которой мала по сравнению с характерной длиной волны. Наряду с этими двумя доминирующими приближенными теориями существует ряд моделей, использующих малость других характерных параметров. Сюда относятся вариационный метод усреднения Уизема [89], коротковолновые асимптотики и основанная на них лучевая теория волн [21], теория нелинейной модуляции волновых пакетов [24, 96] и связанные с ней модели резонансного взаимодействия волн [90].

Проблема строгого обоснования приближенных моделей волн на воде в четкой форме впервые обозначена в монографии Дж.Дж.Стокера [84], который подчеркивал актуальность ее решения для уравнений теории мелкой воды. Под обоснованием понимается доказательство теоремы существования и единственности решения в подходящем классе функций при всех значениях участвующего в моделировании параметра (включая и предельное) и получение оценки близости для разности точного и приближенного решений. В математической литературе по теории волн эти вопросы стали рассматриваться с начала 70-х годов. Методической основой для их решения служат результаты о корректности задачи Коши-Пуассона. Модельные постановки, прояснившие нелокальный характер этой задачи, рассматривались в [64], а однозначная разрешимость в точной нелинейной постановке в аналитических классах и в классах Жеврея установлена в работах [52, 53].

В связи с рассматриваемой проблематикой Л. В. Овсянниковым [63, 65] была разработана специальная техника шкал банаховых пространств, обобщающая классический метод мажорант и представляющая собой абстрактную форму теоремы Коши-Ковалевской (теорема Овсянникова). На этой основе в [67, 68, 42, 43] дано обоснование теории мелкой воды в классе периодических и убывающих на бесконечности аналитических функций. Близкие результаты были получены также японскими математиками Т. Кано и Т. Нисидой [132, 133, 134, 153], применявшими другой вариант абстрактной теоремы Коши-Ковалевской — теорему Овсянникова-Трева-Ниренберга-Нисиды [63, 151, 152, 178] (см. также [62]).

Для корректности постановки задачи Коши-Пуассона в классах функций конечной гладкости при ее трактовке как нелинейной псевдодифференциальной задачи Коши на многообразии существенным оказывается тип системы уравнений. Задача корректна [54, 59] в пространствах Соболева W*, если начальный градиент давления всюду на свободной границе направлен внутрь жидкости, и некорректна [73] в противном случае. Обоснование линейной теории и теории мелкой воды в классах конечной гладкости выполнено В. И. Налимовым в [72].

Формальная схема асимптотического перехода от системы к одному скалярному уравнению (Кортевега — де Фриза, Буссинеска, Бюргерса и т. п.) описана в [172] для широкого класса нелинейных эволюционных систем с дисперсией и диссипацией. Строгое обоснование такого перехода получено в работах Л. А. Калякина [28]-[31]. Для задачи о волнах на воде вывод уравнений КдФ и Буссинеска обоснован У. Крэйгом [114], а также Т. Кано и Т. Нисидой [136]. Они же обосновали предельный переход и к уравнению Кадомцева — Петвиашвили — трехмерному аналогу уравнения Кортевега — де Фриза. В работе У. Крэйга с соавторами [116] изучалась также возможность асимптотического перехода к нелинейному уравнению Шредингера (уравнение для огибающих в теории модуляции нестационарных волн на воде).

В диссертации исследуется предельный переход к нелинейной дисперсионной модели второго приближения теории длинных волн — системе Серра-Су-Гарднера [166, 169].

Л* + (иК)х = О, щ + иих + 1гх = ¿-те2 {Ь?[их1 + иихх — и2х)}х. и ее слабонелинейной подмодели — системе уравнений Буссинеска.

Тц + {иЬ)х = О, | щ + иих + кхе2иххг — 0.

Эти системы описывают свободные поверхностные волны. Хорошо известным приближением в теории вынужденных волн является аппроксимация погруженных тел особенностями поля скоростей — вихрями и диполями. Впервые это допущение было принято Ламбом [39, 139], который использовал его для приближенного вычисления волнового сопротивления цилиндра. Гипотеза Л амба состояла в том, что замена условия непротекания на границе движущегося цилиндра заданием полюса комплексной скорости в центре г — с (£) его сечения т-, /¦ ч 7 1 2тТЕ2 с’и)^,. слабо сказывается на картине волнового следа, если радиус е мал по сравнению с глубиной погружения. Этот подход в сочетании с линеаризацией уравнений движения оказался весьма эффективным для решения многих прикладных вопросов. Обоснование возможности замены задачи о движущемся теле на задачу о диполе в линейном приближении было получено сравнительно недавно С. Ю. Доброхотовым и П. Н. Жевандровым [22]. В диссертационной работе данный вопрос исследуется в точной нелинейной постановке задачи Коши-Пуассона без предположений об асимптотической малости волновых амплитуд.

Завершая обзор литературы, отметим, что ряд результатов о разрешимости задачи Коши-Пуассона был получен безотносительно к анализу зависимости ее решения от малых параметров. Несколько вариантов аналога теоремы Коши-Ковалевской в плоском и трехмерном варианте доказано в [159]-[161]. В [184] с помощью методики работы [54] установлена корректность постановки двумерной задачи о волнах на поверхности жидкости конечной глубины в классах функций конечной гладкости. В трехмерном случае эта задача решена в [9]. Задача о развитии неустойчивости Рэлея — Тейлора на границе раздела двух жидкостей под действием силы тяжести, направленной из более плотной жидкости в менее плотную, изучались в [2].

Перечисленные результаты относятся к безвихревым движениям идеальной жидкости. Вопросам корректности постановок линейных начально-краевых задач динамики стратифицированной жидкости посвящены монографии [17, 18]. Это направление тесно соприкасается с исследованиями [25, 80, 92] качественных свойств решений уравнений типа С. Л. Соболева [81] ввиду имеющейся аналогии между стратификацией и вращением жидкости. Анализу устойчивости решений задач гидродинамики со свободными границами посвящена монография [1].

Разрешимость нелинейной задачи о неустановившихся поверхностных волнах в завихренной жидкости в аналитических классах доказана в [77], а совсем недавно — и в классах конечной гладкости [58]. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для системы уравнений «вихревой» мелкой воды получена в [174] с помощью техники бесконечномерных гиперболических систем с операторными коэффициентами [86].

Диссертация состоит из введения, четырех глав, библиографического списка и восьми рисунков. В тексте принята сквозная нумерация параграфов и индивидуальная нумерация формул, лемм и теорем внутри каждого параграфа. Перекрестная ссылка на формулу (11.3) или лемму 2.1 означает, что речь идет о формуле (3) из § 11 и лемме 1 из § 2.

1. Андреев B.K. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука. 1992.

2. Бабенко К. И., Петрович В. Ю. О неустойчивости Рэлея-Тейлора // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245, N3. С. 551−554.

3. Бабенко К. И. Несколько замечаний к теории поверхностных волн конечной амплитуды // Докл. АН СССР. 1987. Т. 294, N 5. С. 1033−1037.

4. Бабенко К. И. О локальной теореме существования в теории поверхностных волн конечной амплитуды // Докл. АН СССР. 1987. Т. 294, N 6. С. 1289−1292.

5. Базденков C.B., Морозов H.H., Погуце О. П. Дисперсионные эффекты в двумерной гидродинамике // Докл. АН СССР. 1987. Т. 293, N 4. С. 818−822.

6. Барахнин В. Б., Хакимзянов Г. С. Численное моделирование колебаний жидкости, вызванных мгновенным наклоном основания резервуара // Вычислительные технологии. 1998. Т. 3, N 1. С. 31−39.

7. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. М., Мир, 1980, т.1. 456 с.

8. Баутин H.H., Леонтович A.A. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 488 с.

9. Бименов М. А. Пространственная задача Коши-Пуассона в классах функций конечной гладкости // Динамика сплошной среды. Сб. науч. тр. ИГиЛ СО РАН. 1994. Вып. 109. С. 65−78.

10. Бредон Г.

Введение

в теорию компактных групп преобразований. М.: Наука, 1980. 440 с.

11. Брюно А. Д., Солеев А. Бифуркации решений в обратимой системе ОДУ // Докл. РАН. 1995. Т. 345, N 5. С. 590−592.

12. Брюно А. Д., Солеев А. Локальный анализ особенности одной обратимой системы ОДУ. Простые случаи. Препринт ИПМ N 40: Ин-т прикл. мат. им. М. В. Келдыша РАН. 1995. 20 с.

13. Брюно А. Д., Солеев А. Локальный анализ особенности одной обратимой системы ОДУ. Сложные случаи. Препринт ИПМ N 47: Ин-т прикл. мат. им. М. В. Келдыша РАН. 1995. 20 с.

14. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

15. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964.

16. Гаврилов Н. В. Неподвижные в лабораторной системе координат внутренние уединенные волны й плавные боры // ПМТФ. 1994. N 1. С. 29−33.

17. Габов С. А., Свешников А. Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. М.: Наука, 1986. 288 с.

18. Габов С. А., Свешников А. Г. Линейные задачи теории нестационарных внутренних волн. М.: Наука, 1990. 342 с.

19. Гарнет Дж. Ограниченные аналитические функции. М.: Мир, 1984. 472 с.

20. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: ИЛ, 1963. 312 с.

21. Доброхотов С. Ю., Жевандров H.H. Нестандартные характеристики и операторный метод Маслова в линейных задачах о неустановившихся волнах на воде / / Функц. анализ и его при лож.1985. Т. 19, вып. 4. С. 43−54.

22. Доброхотов С. Ю., Жевандров H.H. Волны на поверхности жидкости переменной глубины, возбуждаемые движущимся погруженным источником // Колебания и волны в жидкости / Межведомств. сб. научн. тр. Горький. 1988. С. 32−41.

23. Железняк М. И., Пелиновский E.H. Физико-математические модели наката цунами на берег. В кн.: Накат цунами на берег. ИПФ АН СССР, Горький. 1985. С. 8−33.

24. Захаров В. Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости // ПМТФ. 1968. N 2. С. 86−94.

25. Зеленяк Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск: НГУ, 1970. 164 с.

26. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.

27. Ильичев А. Т. Уединенные и обобщенные уединенные волны в диспергирующих средах // ПММ. 1997. Т. 61, вып. 4. С. 606−627.

28. Калякин Л. А. Длинноволновые асимптотики решений нелинейных систем уравнений с дисперсией // Докл. АН СССР. 1986. Т. 288, N 4. С. 809−813.

29. Калякин Л. А. Длинноволновая асимптотика решения нелинейной системы уравнений с малой дисперсией // Дифф. уравнения. 1987. Т. 23, N 4. С. 696−705.

30. Калякин Л. А. Асимптотический распад одномерного волнового пакета в нелинейной диспергирующей среде // Мат. сборник. 1987. N 4. С. 470−495.

31. Калякин Л. А. Длинноволновые асимптотики. Интегрируемые уравнения как асимптотический предел нелинейных систем // УМН. 1989. Т. 44, вып. 1. С. 5−34.

32. Карабут Е. А. Суммирование ряда Вайтинга в задаче об уединенной волне // Сиб. Мат. Журнал. 1995. Т. 36, N 2. С. 328−347.

33. Кочин Н. Е. Точное определение установившихся волн конечной амплитуды на поверхности раздела двух жидкостей. Собр. соч. Т. 2, М.-Л.: Изд. АН СССР, 1949. С. 43−75.

34. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1956. 392 с.

35. Красовский Ю. П. К теории установившихся волн конечной амплитуды // ЖВМ и МФ. 1961. Т. 1, N 5. С. 836−855.

36. Кусис П.

Введение

в теорию пространств Нр. М.: Мир, 1984, 368 с.

37. Лаврентьев М. А. До теорп довпххвшь // 36. Прац. 1нст. Матем. АН УССР. 1946. N 8. С. 13−63.

38. Лаврентьев М. А. К теории длинных волн. Избранные труды. М.: Наука, 1990. С. 524−570.

39. Ламб Г. Гидродинамика. M.-JL: Гостехиздат, 1947.

40. Логинов Б. В. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. Ташкент: Фан, 1985, 184 с.

41. Логинов Б. В., Сидоров H.A. Групповая симметрия уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта и итерационные методы в задаче о точке бифуркации // Мат. сборник. 1991. Т. 182, N 5. С. 681−691.

42. Макаренко Н. И. Обоснование трехмерной модели мелкой воды // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1980. Вып. 44. С. 61−82.

43. Макаренко Н. И. К теории двухслойной мелкой воды // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1981. Вып. 50. С. 121−134.

44. Макаренко Н. И. Второе длинноволновое приближение в задаче Коши-Пуассона // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1986. Вып. 77. С. 56−72.

45. Макаренко Н. И. Асимптотика несимметричных внутренних волн // Вычислительные технологии. 1993. Т. 2, N 4. С. 22−29.

46. Макаренко Н. И. Неустановившиеся поверхностные волны при наличии погруженного препятствия // Вычислительные технологии. 1995. Т. 11, N 4. С. 169−175.

47. Макаренко Н. И. О ветвлении решений инвариантных вариационных уравнений // Докл. РАН. 1996. Т. 348, N 3. С. 302−304.

48. Макаренко Н. И. Инвариантные вариационные уравнения и несимметричные уединенные волны // Межд. школа-семинар «Аналитические методы и оптимизация процессов жидкости и газа САМГОП-94». Тез. докл. Арзамас, 1994. С. 76.

49. Маклаков Д. В. Существование решения задачи о докритиче-ском обтекании вихря // Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики. Новосибирск, 1990. С. 89−102.

50. Маклаков Д. В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. М.: Янус-К, 1997. 280 с.

51. Марчук Ан.Г., Чубарое Л. В., Шокин Ю. И. Численное моделирование волн цунами. Новосибирск: Наука, 1983. 176 с.

52. Налимов В. И. Априорные оценки решений эллиптических уравнений в классе аналитических функций и их приложение к задаче Коши-Пуассона // Докл. АН СССР. 1969. Т. 189, N 1. С. 45−49.

53. Налимов В. И. Задача Коши-Пуассона в классах Жеврея // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1969. Вып. 1. С. 258−263.

54. Налимов В. И. Задача Коши-Пуассона // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1974. Вып. 18. С. 104−210.

55. Налимов В. И. Докритические течения над неровным дном // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1982. Вып. 58. С. 108−156.

56. Налимов В. И. Метод узких полос в краевой задаче с разрывными граничными условиями // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1989. Вып. 90.

57. Налимов В. И. Сверхкритические течения из-под щита // ПМТФ. 1989. N 2. С. 77−80.

58. Налимов В. И. Вихревые поверхностные волны // Сиб. Мат. Журнал. 1996. Т. 37, N 6. С. 1356−1366.

59. Налимов В. И., Пухначев В. В. Неустановившиеся движения идеальной жидкости со свободной границей. Новосибирск: НГУ, 1975.

60. Некрасов А. И. О волнах установившегося вида // Изв. Иваново-Вознесенского политехи, ин-та. 1921. N 3. С. 52−65.

61. Нелсон Э. Аналитические векторы // Сб. переводов: Математика, 6:3. 1962. С. 89−131.

62. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. М.: Мир, 1977. 326 с.

63. Овсянников Л. В. Сингулярный оператор в шкале банаховых пространств // Докл. АН СССР. 1965. Т. 163, N 4. С. 819−822.

64. Овсянников Л. В. Общие уравнения и примеры // Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука, 1967. С. 5−75.

65. Овсянников Л. В. Нелинейная задача Коши в шкале банаховых пространств // Докл. АН СССР. 1971. Т. 200, N 4. С. 789−792.

66. Овсянников Л. В. Аналитические группы. Новосибирск: НГУ, 1972.

67. Овсянников Л. В. К обоснованию теории мелкой воды // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1973. Вып. 15. С. 104−125.

68. Овсянников Л. В. Обоснование теории мелкой воды // Труды Все-союз. конф. по уравнениям с частными производными. М.: МГУ. 1978. С. 185−188.

69. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.

70. Овсянников Л. В. Волновые движения сплошных сред. Новосибирск: НГУ, 1985. 44 с.

71. Овсянников Л. В. Об асимптотическом представлении уединенных волн // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318, N 3. С. 556−559.

72. Овсянников Л. В., Макаренко Н. И., Налимов В. И. и др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука, 1985. 320 с.

73. Плотников П. И. Некорректность нелинейной задачи о развитии неустойчивости Рэлея-Тейлора // Зап. научн. сем. ЛОМИ АН СССР. 1980. Т. 96. С. 240−296.

74. Плотников П. И. Разрешимость задачи о пространственных гравитационных волнах на поверхности идеальной жидкости // Докл. АН СССР. 1980. Т. 251, N 3. С. 591−594.

75. Плотников П. И. Обоснование гипотезы Стокса в теории поверхностных волн // Докл. АН СССР. 1983. Т. 269, N 1. С. 80−83.

76. Плотников П. И. Неединственность решения задачи об уединенных волнах и бифуркации критических точек гладких функционалов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. Т. 55, N 2. С. 339−366.

77. Седенко В. И. Разрешимость начально-краевой задачи для течений идеальной несжимаемой неоднородной жидкости, ограничениеной свободной поверхностью // Докл. АН СССР. 1982. Т. 263, N 3. С. 550−554.

78. Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.: Наука, 1966. 448 с.

79. Секерж-Зенъкович Я. И. Об установившихся капиллярно-гравитационных волнах конечной амплитуды на поверхности жидкости конечной глубины // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. М.: Наука, 1972. С. 445−458.

80. Сказка В. В. Асимптотика при? —" оо решений одной задачи математической физики // Матем. сб. 1985. Т. 126, N 1. С. 3−41.

81. Соболев С. Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. Т. 18, N 1. С. 3−50.

82. Сретенский Л. Я. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977. 815 с.

83. Стейн И. М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1977.

84. Стокер Дж. Дж. Волны на воде. М.: ИЛ, 1959. 617 с.

85. Стокер Дж. Дж. Бифуркационные явления в теории поверхностных волн // Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. М.: Мир, 1974. С. 152−166.

86. Тешуков В. М. О гиперболичности уравнений длинных волн // Докл. АН СССР. 1985. Т. 284, N 3. С. 555−559.

87. Треногий В. А. Периодические решения и решения типа перехода абстрактных уравнений реакции-диффузии // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988. С. 134−140.

88. Треногин В. А., Сидоров H.A., Логинов Б. В. Уравнение разветвления: потенциальность, бифуркация, симметрия // Докл. АН СССР. 1989. Т. 309, N 2. С. 286−289.

89. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. 622 с.

90. Филлипс О. М. Динамика верхнего слоя океана. Л.: Гидрометео-издат, 1980. 320 с.

91. Фихтенголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. И. М.: Наука, 1969.

92. Фокин М. В. Существование сингулярного спектра и асимптотическое поведение решений в задаче Соболева // Докл. РАН. 1993. Т. 333, N 3. С. 304−308.

93. Хабахпашева Т. Н. Уединенные волны в двухслойной жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1985. Вып. 69. С. 96−122.

94. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965.

95. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962. 830 с.

96. Юэн Г., Лэйк Б. Нелинейная динамика гравитационных волн на глубокой воде. М.: Мир, 1987. 182 с.

97. Якимов А. Ю., Якимов Ю. Л. Дифференциальное уравнение для стратифицированной жидкости и его частные решения // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. N 5. С. 83−87.

98. Alt H.W., Caffarelli L.A., Friedman A. Jets with two fluids, I // Indiana Univ. Math. J. 1984. V. 33. N 2. P. 213−247.

99. Alt H.W., Caffarelli L.A., Friedman A. Jets with two fluids, II // Indiana Univ. Math. J. 1984. V. 33. N 3. P. 367−391.

100. Amick C.J., Toland J. On solitary water-waves of finite amplitude // Arch. Rational. Mech. Anal. 1981. V. 76. P. 9−95.

101. Amick C.J., Toland J. On periodic water-waves and their convergence to solitary waves in the long wave limit // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1981. V. 303(1481). P. 633−673.

102. Amick C.J., Fraenkel L.E., Toland J. On the Stokes conjecture for a wave of extreme form // Acta Math. 1982. V. 148. P. 193−214.

103. Amick C.J., Turner R.E.L. A global theory of internal solitary waves in two-fluid systems // Trans. Amer. Math. Soc. 1986. V. 289, N 2. P. 431−484.

104. Amick C.J., Turner R.E.L. Small internal waves in two-fluid systems // Arch. Rat. Mech. Anal. 1989. V. 108. P. 111−139.

105. Beale J.T. The existence of solitary water waves // Comm. Pure Appl. Math. 1977. V. 30. P. 373−389.

106. Beale J.T. Water waves generated by a pressure disturbance on a steady stream // Duke Math. Journ. 1980. V. 47. P. 297−323.

107. Benjamin T.B. Internal waves of finite amplitude and permanent form //J. Fluid Mech. 1966. V. 25. P. 241−270.

108. Benjamin T.-B. A unifed theory of conjugate flows // Philos. Trans.Roy. Soc. London A. 1971. V. 269. P. 587−643.

109. Benjamin T.B., Lighthill M.J. On cnoidal waves and bores // Proc. Roy. Soc. London A. 1954. V. 221. P. 448−460.

110. Bona J.L., Bose D.K., Turner R.E.L. Finite amplitude steady waves in stratified fluids //J. Math. Pure Appl. 1983. V. 62. P. 389−439.

111. Bona J.L., Sachs R.L. The existence of internal solitary waves in a two-fluid system near the KdV limit // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1989. V. 48. P. 25−51.

112. Bridges T.J. Spatial Hamiltonian structure, energy flux, and the water-wave problem // Proc. Roy. Soc. Lond. 1992 V. A439. P. 297−315.

113. Bridges T.J. Hamiltonian spatial structure for 3D water-waves relative to a moving frame of reference //J. Nonlinear Sci. 1994. V. 4. P. 221−251.

114. Craig W. An existence theory for water waves, and the Boussinesq and Korteweg-de Vries scaling limits // Comm. Part. Diff. Eq. 1985. V. 10. P. 787−1003.

115. Craig W., Sternberg P. Symmetry of the free-surface flows // Arch. Rat. Mech. Anal. 1992. V. 118. N 1. P. 1−36.

116. Craig W., Sulem C., Sulem P.L. Nonlinear modulation of gravity waves: a rigorous approach // Nonlinearity. 1992. V. 5. Iss. 2. P. 497−522.

117. Dancer E.N. Global solution branches for positive mappings // Arch. Rat. Mech. Anal. 1973. V. 52. P. 181−192.

118. Dancer E.N. The G-invariant implicit funcion theorem // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1982. V. A92. P. 13−30.

119. Iooss G., Kirchgassner K. Water waves for small surface tension: an approach via normal form // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1992. V. 122 A. P. 267−299.

120. Kakutani T., Yamasaki N. Solitary waves in two-layer fluid // J. Phys. Soc. Japan. 1978. V. 45, N 2. P. 463−476.

121. Kano T. Une theorie trois-dimensionelle des ondes de surface de l’eau et le developpement de Friedrichs // J. Math. Kyoto Univ. 1986. V. 26. P. 157−175.

122. Kano T., Nishida T. Sur les ondes de surface de l’eau avec une justification mathematique des equations des ondes en eau peu profonde // J. Math. Kyoto Univ. 1979. V. 19. P. 335−370.

123. Kano T., Nishida T. Water waves and Friedrichs expansion // Lecture Notes in Num. Appl. Anal. 1983. V. 6. P. 39−57.

124. Kano TNishida T. Sur l’equation de Boussinesq des ondes de surface de l’eau // Proc. Jap. Acad. Ser. A. 1985. V. 61. N 4. P. 91−94.

125. Kano T., Nishida T. A mathematical justification for Korteweg-de Vries equation and Boussinesq equation of water surface waves // Osaka J. Math. 1986. V. 23. P. 389−413.

126. Keady G., Norbury J. On the existence theory for irrotational water waves // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 1978. V. 83. P. 137−157.

127. Kirchgassner K. Wave-solutions of reversible systems and applications // J. Diff. Eq. 1982. V. 45. P. 113−127.

128. Lamb H. On some cases of wave-motion on deep water // Ann. di Mat. 1913. Y. 21. P. 237.

129. Levi-Civita T. Determination rigoureuse des ondes permanentes d’ampleur finie // Math. Ann. 1925. Bd. 93. S. 264−314.

130. Long R.R. Solitary waves in oneand two-fluid systems // Tellus. 1956. V. 8, N 4. P. 460−471.

131. Longuet-Higgins M.S., Fenton J.D. On the mass, momentum, energy, and circulation of a solitary wave. II. // Proc. Roy. Soc. London Ser. A. 1974. V. 340. P. 471−493.

132. Makarenko N.I. Smooth bore in a two-layer fluid // Int. Conf. «Free Boundary Problems in Continuum Mechanics». July 15−19, 1991. Novosibirsk, 1991. Abstracts. P. 84.

133. Makarenko N.I. Smooth bore in a two-layer fluid // Intern. Ser. of Numerical Math. 1992. V. 106. Birkhauser Verlag, Basel. P. 195−204.

134. Mielke A. Hamiltonian and Lagrangian flows on center manifolds with applications to elliptic variational problems // Lecture Notes in Math. V. 1489. Springer-Verlag, N.-Y. / Berlin, 1991.

135. Mielke A. Essential manifolds for an elliptic problem in an infinite strip // J. Diff. Eq. 1994. V. 110. P. 322−355.

136. Mielke A. Homoclinic and heteroclinic solutions in two-phase flow // Adv. Series in Nonlinear Dynamics. 1995. V.7. / Proc. IUTAM/ISIMM Symposium on Structure and Dynamics of Nonlinear Waves in Fluids. World Scientific. P. 353−362.

137. Miles J.W. On internal solitary waves // Tellus. 1979. V. 31. P. 456.

138. Mirie R.M., Fennel S.A. Internal solitary waves in a two-fluid system // Phys. Fluids. Ser. A. 1989. N 1. P. 986.

139. Mirie R.M., Su C.H. Collisions between two solitary waves. Part 2: Numemerical study // J. Fluid Mech. 1982. V. 115. P. 475−492.

140. Nirenberg L. An abstract form of the nonlinear Cauchy Kowalewski theorem //J. Diff. Geometry. 1972. V. 6. P. 561−576.

141. Nishida T. A note on a theorem of Nirenberg //J. Diff. Geometry. 1974. V. 12. N 4. P. 629−633.

142. Nishida T. Equations of fluid dynamics free surface problems // Comm. Pure Appl. Math. 1986. V. 39. P. S221−238.

143. Pennel S.A., Su C.H. A seventeenth-order seriies expansion for the solitary wave // J. Fluid Mech. 1984. V. 149. P. 431−443.

144. Pennel S.A. On a series expansion for the solitary wave //J. Fluid Mech. 1987. V. 179. P. 557−561.

145. Peters A.S., Stoker J.J. Solitary waves in liquids having non-constant density // Comm. Pure Appl. Math. 1960. V. 13. P. 115−164.

146. Pullin D.I., Grimshaw R.H.J. Finite-amplitude solitary at the interface between two homogeneous fluids // Phys. Fluids. 1988. V. 31, N 12. P. 3550−3559.

147. Rogers J.C.W. Water waves: analytic solutions, uniqueness and continuous dependence on data // Naval Ordnance Laboratory NSWC/WOL/TR. 1975. P. 43−75.

148. Reeder J., Shinbrot M. The initial value problem for surface waves under gravity, II // Indiana Univ. Math. J. 1976. V. 25. P. 1049−1071.

149. Reeder J., Shinbrot M. The initial value problem for surface waves under gravity, III // J. Math. Anal.Appl. 1979. V. 67. P. 340−391.

150. Reeder J., Shinbrot M. Three-dimensional nonlinear wave interaction in water of constant depth // Nonlinear Analysis, Theory, Meth. Appl. 1981. N 5. P. 303−323.

151. Sattinger D.H. Group theoretic methods in bifurcation theory. Lecture Notes in Math. // 1979. V. 762. P. 1−240.

152. Schonbek M.E. Existence of solutions for the Boussinesq system of equations // J. Diff. Eq. 1981. V. 42. P. 325−352.

153. Seabra-Santos F.J., Renuard D.P., Temperville A.M. Numerical and experimental study of the transformation of a solitary wave over a shelf or isolated obstacle // J. Fl. Mech. 1987 V. 176. P. 117−134.

154. Seabra-Santos F.J., Renuard D.P., Temperville A.M. On the weak interaction of two solitary waves // Eur. J. Mech. B/Fluids. 1989. V. 8. N 2. P. 103−115.

155. Serre F. Contribution a 1'etude des ecoulements permanents et variables dans les canaux // La Houille Blanche. 1953. N 3. P. 374−388.

156. Shinbrot M. The initial value problem for surface waves under gravity, I // Indiana Univ. Math. J. 1976. V. 25. P. 281−300.

157. Struik D.J. Determination rigoureuse des ondes irrotationelles permanentes dans un canal a profondeur finie // Math. Ann. 1926. V. 95. P. 595−634.

158. Su C.H., Gardner C.S. Korteweg-de Vries equations and generalizations III // J.Math. Phys. 1969. V. 10. N 3. P. 536−539.

159. Wilmott P. On the motion of a small two-dimensional body submerged beneath surface waves //J. Fluid Mech. 1987. V. 176. P. 465−481.

160. Witting J. On the highest and other solitary waves //J. Appl. Math. 1975. V. 28. N 3. P. 700−719.

161. Yih C.-S. Stratified Flows. N.-Y.: Academic Press, 1980.

162. Yoshihara H. Gravity waves on the free surface of an incompressible perfect fluid of finite depth // J. Math. Kyoto Univ. 1982. V. 18. P. 49−96.

163. Zeidler E. Beitrage zur Theorie und Praxis freier Randwertaufgaben. Akademie-Verlag: Berlin, 1971.