Геометрические критерии мебиусовости отображений

Мёбиусово отображение расширенной комплексной плоскости С на себя — это отображение, осуществляемое дробно-линейной функцией или функцией, комплексно сопряженной к ней.

Одним из определяющих свойств дробно-линейного отображения является инвариантность ангармонического отношения. В курсе ТФКП хорошо известно также и круговое свойство: мёбиусово отображение переводит обобщенные окружности в обобщенные окружности.

В 1937 г. Каратеодори в работе [7] получил геометрический критерий мёбиусовости: инъективное отображение /: D —у С области D с С является мёбиусовым (то есть ограничением на D мёбиусова автоморфизма расширенной плоскости) тогда и только тогда, когда для любой точки z? D существует такой открытый круг В с D с центром в z, что образ /(?) каждой окружности Е С В является окружностью. Замечательно то, что при этом от отображения / не требуется даже непрерывности.

Позднее эта теорема была обобщена на пространственный случай с заменой окружностей на сферы (Beardon, Minda [37]) и гиперсферы (Hofer [24]). Другие результаты по этой теме, которую можно назвать «меби-усовость отображений, переводящих сферы в сферы или в подмножества сфер,» можно найти в работах следующих авторов: Nehari Z. [15], Aczel J., McKiernan M.A. [42], Ю. Б. Зелинский [25], G. Yao [21], [22], B. Li и G. Yao [20], [19], J. Gibbons, C. Webb [17], J. Jeffers [18], Chubarev A, Pinelis I. [16] и др.

На основе классических критериев в современной геометрической теории функций сложилось направление, называемое «характеризация геометрических преобразований при минимальных предположениях», включающее также изучение минимальных критериев изометричности [26],.

60], [33], [61], [27], [28], [62], [63], [64], [29], [30] и аффинности [31], [8], [16]. Исследование отображений в гиперболическом пространстве см. в работах таких авторов, как Ungar А. [49], L. Jing [44], Sh. Yang [50], А. Fang [32].

Геометрические критерии мебиусовости в классе аналитических однолистных функций были предложены в следующих работах: Haruki, Rassis [1], [2], [34], [35], Bulut, Ozgur [36], [43], [52], [53], [54], Kobayashi [3], Niamsup [45], [46], [47], Samaris [48].

Доказательство этих признаков сводилось к известному дифференциальному критерию (см., например, [23], стр. 10): аналитическая функция f (z) является дробно-линейной тогда и только тогда, когда во всех тех точках z, где ff (z) ф 0, её производная Шварца равна нулю:

В-частности, в ([1], main Th., p. 321) был получен следующий результат: пусть задано, а Е (0, 27г) и пусть аналитическая однолистная функция/: D —>• D* областей в С такова, что для любой четверки точек zi, Z2, ¿-з, z^, образующей несамопересекающийся четырехсторонник такой, что Zziz2z3+ Zziz^ — аиточки f (zi), /(^2), /(^з), /(г4) тоже образуют несамопересекающийся четырехсторонник, выполняется условие Zf (zi)f (z2)f (zs) + ¿-f (zi)f (z4)f (zз) = Тогда / - мебиусово отображение. Нами эта теорема была обобщена на класс гомеоморфизмов (см. главу 1) без предположения дифференцируемости отображения /.

Ряд работ из перечисленных выше были посвящены характеризации отображений, сохраняющих фиксированное значение ангармонического отношения.

В [2] доказано, что в классе аналитических однолистных функций сохранение ангармонического отношения со значением (1 + iy/3)/2 с точностью до комплексного сопряжения равносильна мебиусовости.

КоЬауаяЫ [3] показал, что отображение класса сохраняющее фиксированное невещественное ангармоническое отношение, является меби-усовым.

ВеагсЬп, Мтс1а [37] показали, что инъективное отображение /:?)—)• Ёп области В С Кп, сохраняющее фиксированное абсолютное двойное отношение со значением 1, является мебиусовым вложением.

Заметим, однако, что в этих работах не рассматривается вопрос об устойчивости полученных геометрических критериев мебиусовости, который предполагает выход в более широкий класс отображений — квазиконформных, квазисимметрических или квазиизометрических (билип-шицевых).

Нам удалось обобщить указанные результаты, доказав, что (см. главу 2) инъективное измеримое по Борелю отображение /: В —> И* областей в С является мебиусовым тогда и только тогда, когда оно сохраняет фиксированное ангармоническое отношение Л <Е С{0,1}. Получена устойчивость класса гомеоморфизмов С на себя, сохраняющих фиксированное значение ангармонического отношения.

Введя понятие главного ангармонического отношения в обобщающее известное понятие ангармонического отношения в плоскости, получены следующие результаты (глава 3): критерий мебиусовости инъек-тивного измеримого по Борелю отображения /:!)—>• 11 т, т > п > 3 области В С Л71 при вещественном значении Лкритерий мебиусовости гомеоморфизма /: В —> Яп, п > 3 области В с К" 1 при невещественном Л, при этом в случае четномерного пространства удалось получить аналогичный результат для инъективного измеримого по Борелю отображения.

Приведем краткое содержание диссертации. Будем использовать номера теорем, формул и определений, введенные в основном тексте данной работы.

Первая глава диссертации посвящена решению геометрической задачи об описании свойства мёбиусовости гомеоморфизма в терминах сохранения суммы противолежащих углов специального класса достаточно малых четырехугольников.

В § 1.1 изложена история возникновения этой задачи из работ Haruki и Rassias’a (1994 г.) и статей Niamsup’a (2000 г.), опубликованных в Journal of Mathematical Analysis and Applications, в которых изучались отображения, осуществляемые однолистными аналитическими функциями f (z), обладающие следующим геометрическим свойством V{a) с фиксированным 0 < а < 27г: если четырехточечное множество z, z2, z4 в области определения таково, что i) точки z2, лежат по разные стороны от прямой, проведенной через 21 и ii) точки w2 = f{z2), w4 = /(z4) лежат по разные стороны от прямой, проходящей через w = f{z) и = /(z3) — iii) сумма неориентированных углов Zziz2zz и Zzz^zs равна а, то сумма неориентированных углов Zww2w3 и ZW1W4W3 тоже равна а.

Haruki и Rassias (1994) доказали, что при любом фиксированном 0 < а < 2−7Г для любой однолистной аналитической функции свойство V (a) равносильно мёбиусовости отображения, осуществляемого этой функцией.

В связи с этой теоремой была поставлена следующая.

Задача 1. Доказать, что равносильность мёбиусовости и локального свойства V (a) имеет место для гомеоморфизмов плоских областей без каких-либо предположений об их дифференцируемости.

В § 1.2 введена терминология, строгие определения и обозначения для основных геометрических объектов и свойств, используемых в формулировке и в дальнейшем доказательстве основной теоремы этой главы, дающей решение поставленной выше задачи 1:

ТЕОРЕМА 1.2.3. Пусть 0 < а <2тг и D — область в расширенной комплексной плоскости С. Гомеоморфное отображение области D на область в С удовлетворяет локальному условию V (a) тогда и только тогда, когда оно является мёбиусовым преобразованием.

Доказательство этой теоремы разбито на несколько этапов, оформленных в виде отдельных параграфов и ряда вспомогательных лемм.

В § 1.3 доказаны две простые геометрические леммы. Для доказательства основной теоремы необходимо установить наличие кругового свойства (малые окружности переходят в малые окружности) у гомеоморфизма со свойством V (a). Поэтому лемма 1.3.1 с описанием ситуации, в которой образом круговой дуги является круговая дуга, играет ключевую роль в дальнейших построениях. Лемма 1.3.2 дает гарантию того, что все выполняемые в ходе доказательства построения не выводят за пределы области определения исследуемого отображения.

В § 1.4. Лемма 1.4.1 устанавливает наличие кругового свойства у гомеоморфизма, удовлетворяющего условию V (a)} в том случае, когда О < а < тт. Получение аналогичного результата в случае, когда 7 г < а < 2iг, потребовало значительно больших усилий и дополнительных построений.

В § 1.5 доказывается лемма 1.5.1 смысл которой состоит в том, что в рассматриваемой ситуации (свойство V{ot) при 7 Г < а < 2тт) образ /(т) достаточно малой круговой дуги 7 либо является прямолинейным отрезком, либо лежит по одну сторону от прямой, проведенной через концы дуги /(7), и в этом случае корректно определен сегмент этой дуги — жорданова область, заключенная между дугой /(7) и ее хордой. Далее следует многократно используемая в дальнейших рассуждениях лемма 1.5.3 (лемма о малых хордах), показывающая, что в той же ситуации любая поддуга дуги /(7) либо является прямолинейным отрезком, либо ее сегмент корректно определен и содержится в сегменте дуги /(7).

В § 1.6 вводится понятие точки невыпуклости относительно жордано-вой области, на границе которой лежит рассматриваемая точка. Это понятие несколько отличается от обычного понятия выпуклости кривой и играет служебную роль. Оно приспособлено исключительно к решению поставленной задачи и используется только в данной главе. В лемме 1.6.2 показано, что в образе достаточно малой дуги на границе круга либо все точки являются точками невыпуклости относительно образа этого круга, либо таких точек нет вообще. И отсюда выводится (лемма 1.6.3), что образ достаточно малой окружности не может иметь ни одной точки невыпуклости относительно образа круга, ограниченного этой окружностью.

В § 1.7. в лемме 1.7.1 устанавливается круговое свойство гомеоморфизма, удовлетворяющего условию Т>{а) в случае 7 г < а <

И, наконец, в заключительном § 1.8 завершается доказательство основной теоремы: леммы 1.4.1 и 1.7.1 позволяют применить известный геометрический критерий мебиусовости, принадлежащий Каратеодори: отображение, локально обладающее круговым свойством, является мё-биусовым преобразованием.

Во второй главе диссертации изучаются отображения, при которых ангармоническое отношение четверок точек из заданного семейства тетрад меняется определенным образом (сохраняется или же сохраняется с точностью до комплексного сопряжения).

В § 2.1 изложены те результаты предшественников, на основе которых были поставлены задачи, решаемые в этой главе.

Haruki и Rassias в своей статье [2], опубликованной в 1996 году в Journal of Mathematical Analysis and Applications, показали, что отображение областей в С, осуществляемое однолистной аналитической функциейявляется дробно-линейным преобразованием тогда и только тогда, когда оно переводит аполлониевы тетрады в аполлониевы тетрады, то есть сохраняет свойство аполлониевости тетрад.

В 2009 году Kobayashi в небольшой заметке [3], опубликованной в Tokyo Mathematical Journal, заметил, что аполлониевость тетрады равносильна тому, что её ангармоническое отношение равно (1±-г/3)/2, и поэтому свойство сохранения аполлониевых тетрад можно трактовать как условие сохранения (с точностью до комплексного сопряжения) ангармонического отношения с фиксированным значением, а = (1 +г>/3)/2. Им же было замечено, что требование аналитичности функции, осуществляющей отображение, можно существенно ослабить, заменив требованием гладкости класса С1. Обобщая ситуацию, Kobayashi доказал, что в классе гомеоморфизмов класса гладкости С1 при любом фиксированном невещественном, а отображение реализуется дробно-линейной функцией тогда и только тогда, когда образ любой тетрады с ангармоническим отношением, а также имеет ангармоническое отношение а.

Далее в этом параграфе сформулированы три задачи, решению которых посвящена вторая глава.

Задача 2. Доказать, что условие сохранения ангармонического отношения с фиксированным значением a G С {0,1} служит критерием мёбиусовости в классе гомеоморфизмов без дополнительного требования их гладкости.

Задача 3. Заменим требование сохранения ангармонического отношения с фиксированным значением, а более слабым условием 71[а]: при фиксированном, а € С {0,1} образ любой тетрады с ангармоническим отношением, а есть тетрада с ангармоническим отношением, а или а. В каком наиболее широком классе отображений плоских областей (без требования непрерывности) это свойство 71 [а] служит критерием мёбиусовости отображения?

Естественным продолжением успешного решения задачи 2 является постановка вопроса об устойчивости полученного критерия мёбиусовости, то есть возникает.

Задача 4. Учитывая, что мёбиусовы отображения являются 1-квази-конформными, показать, что гомеоморфизм, мало (не более чем на е) изменяющий ангармоническое отношение с фиксированным значением, является квазиконформным и получить верхнюю оценку его коэффициента квазиконформности, стремящуюся к 1 при? —0.

В § 2.2 приводится определение ангармонического отношения и отмечаются некоторые его элементарные свойства. Приводится определение отображения, измеримого по Борелю (борелевского отображения) и вводится строгое определение свойства 71 [Л] - сохранение с точностью до комплексного сопряжения ангармонического отношения тетрад с заданным ангармоническим отношением Л.

Приводятся формулировки двух основных теорем этой главы: ТЕОРЕМА 2.2.3. Пусть фиксировано Л € С {0,1}, и пусть Вобласть в С. Для того, чтобы инъективное измеримое по Борелю отображение /: Б —У С было мёбиусовым, необходимо и достаточно, чтобы оно обладало свойством 7Z[X.

Отмечено, что в классе ннъективных отображений (без требования измеримости по Борелю) эта теорема не верна, и указана соответстующая ссылка на существующий контрпример.

Для исследования вопроса о существенности требования инъективно-сти, понятие ангармонического отношения распространяется на неособые тетрады — четверки, точек, не содержащие трех совпадающих элементов. Свойство ^'[А] заключается в сохранении ангармонического отношения у всех таких тетрад с ангармоническим отношением, А ф 0,1, оо, образы которых являются неособыми тетрадами. В этих терминах сформулирована.

ТЕОРЕМА 2.2.5. Пусть фиксировано, А е С {0,1}, и пусть Dобласть в С. Непрерывное отображение /: D —> С обладает свойством И'[] тогда и только тогда, когда оно является либо мёбиусовым отображением, либо постоянным отображением / = const.

Из этих теорем тривиально вытекают упомянутые выше результаты Haruki, Rassias’a и Kobayashi.

В § 2.3 доказаны две леммы технического характера. Лемма 2.3.1 позволяет более полно использовать информацию, заложенную в свойстве 7£[А], а лемма 2.3.2 дает гарантию того, что выполняемые далее построения не выводят за пределы области, в которой задано исследуемое отображение.

В § 2.4 помещается наиболее трудоёмкий фрагмент доказательства основной теоремы. Путем детального рассмотрения всех логически возможных вариантов устанавливается (лемма 2.4.4), что при некоторых дополнительных ограничениях свойство 7£[А] приводит к тому, что отображение с неподвижной точкой оо Е D удовлетворяет условию сохранения мёбиусовых середин, то есть 7?[½].

В § 2.5 приведено окончательное доказательство теоремы 2.2.3. Показывается, что свойство Т1{} приводит к тому, что достаточно малые окружности переходят в окружности, и появляется возможность использовать геометрический критерий мёбиусовости, принадлежащий Кара-теодори.

В § 2.6 приведено доказательство теоремы 2.2.5.

В § 2.7. решается задача 4 об устойчивости критерия мёбиусовости, полученного в теореме 2.2.3 в классе гомеоморфизмов расширенной плоскости на себя, сохраняющих ориентацию. В этом классе отображений вводится следующее.

Определение 2.7.1. Пусть задано а? С{0,1}. Сохраняющий ориентацию гомеоморфизм /: С —>¦ С удовлетворяет условию 7£[А- 6] с О < 5 < 1, если для любой тетрады ^ ¿-з> <^4 6 С с ангармоническим отношением Л выполняется неравенство :/(?4)] - А| < ¿-|А|.

Доказана следующая теорема об устойчивости критерия мёбиусовости, дающая частичное решение задачи 4:

ТЕОРЕМА 2.7.3. Пусть для заданного АеС{0,1} сохраняющий ориентацию гомеоморфизм /: С —> С удовлетворяет условию 71[] 5] с О < 6 < 1. Если при этом.

II-А|.

6<2ТЩто отображение / является квазиконформным с коэффициентом квазиконформности.

В доказательстве этой теоремы существенно используются результаты, полученные Асеевым В. В. для отображений, удовлетворяющих условию малого искажения мёбиусовых середин.

Заключительный параграф этой главы (§ 2.8) содержит информацию справочного характера о связи понятия аполлониевой тетрады с окружностями Аполлония.

В третьей главе диссертации рассматривается возможность получения критериев мебиусовости для отображений в пространствах большей размерности.

В § 3.1 приводится определение мёбиусова преобразования расширенного пространства Rn (размерности п < 2) и более общего понятия мёбиусова вложения.

Известный критерий мёбиусовости вложений, выраженный требованием сохранения абсолютного двойного отношения всех тетрад из области определения, даёт альтернативное определение мёбиусова вложения, которое непосредственно переносится на случай отображений произвольных метрических пространств.

В 2001 году Beardon и Minda в своей статье [37], опубликованной в журнале Proceedings of American Mathematical Society, доказали, что любое инъективное отображение f: D —>¦ Rn области D С Rn, которое сохраняет абсолютное двойное отношение с фиксированным значением 1, является мёбиусовым вложением.

Учитывая, что топологическое вложение /: D —Rn области D С Rn, переводящее гиперсферы из D в подмножества гиперсфер, является мёбиусовым вложением (это частный случай теоремы, доказанной в [25] Ю. Б. Зелинским в 1987 году), легко устанавливается, что в классе топологических вложений критерием мёбиусовости служит сохранение абсолютного двойного отношения с любым заданным фиксированным значением.

Стремление ещё более уменьшить семейство тех тетрад, на которых выполняется проверка критерия мёбиусовости, и полученные нами теоремы в главе 2, показывающие, как эта цель достигается в случае размерности п = 2, приводят к постановке следующей задачи.

Задача 5. Определив подходящим образом аналог ангармонического отношения для тетрад в пространстве Яп (комплексную характеристику тетрад), получить критерий мёбиусовости для вложений /: Б —> Ят областей О с Яп при 2 < п < т в терминах сохранения ими ангармонического отношения с фиксированным значением а.

Здесь семейство тетрад с фиксированным ангармоническим отношением, а в общем случае меньше, чем семейство тетрад с фиксированным абсолютным двойным отношением а. Поэтому речь идёт о более тонком критерии мёбиусовости, чем приведенное выше условие сохранения фиксированного абсолютного двойного отношения.

В § 3.2 вводится необходимая терминология, связанная с понятие мё-биусова вложения. Отмечены основные свойства мёбиусовых вложений, в том числе свойство его локальности.

В § 3.3 приведены известные критерии аффинности и мёбиусовости отображений и некоторые их элементарные обобщения. В частности (утверждение 3.3.6), установлена модификация классической теоремы Каратеодори в следующей формулировке: иньективное отображение области И с Яп в пространство Ят с 3 < п < т является мё-биусовым вложением тогда и только тогда, когда образом любой обобщённой окружности из Б является обобщённая окружность в Ят.

В § 3.4 из нескольких возможных способов введения ангармонического отношения в многомерном пространстве, обсуждаемых в работе Ciesliriski «The cross ratio and Clifford algebras», опубликованной в 1997 году в журнале Advances in Clifford algebras, выбирается наиболее подходящий для решения поставленной задачи:

Определение 3.4.1, 3.4.2. Для тетрады Х, Х2, оо С Rn полагаем kl iip q[xi, x2, x3,oo): = 1—e * ,.

F2 где cp E [0,7г] - неориентированный угол между векторами х — ж3 и х2 — жз. Тогда главным ангармоническим отношением тетрады Xi, x2, x$, x4 в Rn называется число д (хг, х2, х3,х4) :=q (?(xi), ц{х2), р{х3), оо), где? i — произвольное мёбиусово преобразование, переводящее точку х4 в оо.

Проверяется корректность этого определения (независимость от выбора /i) и доказывается.

ТЕОРЕМА 3.4.5. Пусть п>ЗиА = а: + г/Зс/?>0. Биективное отображение /: Rn —"• Rn является мёбиусовым преобразованием тогда и только тогда, когда оно сохраняет главное ангармоническое отношение с фиксированным значением А.

В этой теореме не требуется непрерывности отображения /, но в доказательстве существенно используется тот факт, что оно осуществляет биекцию пространства на себя.

В § 3.5 рассматриваются вложения, заданные на областях в подпространстве. Установлена.

ТЕОРЕМА 3.5.1. Пусть, А — вещественное число, отличное от 0 и 1. Пусть D есть область в Rn и /: D —> Rm (где т > п > 3) — инъ-ективное измеримое по Борелю отображение. Если образ любой тетрады: ri, Ж2, ?3, Ж4 из D с главным ангармоническим отношением, А также имеет главное ангармоническое отношение Л, то / является мёбиусовым вложением.

В § 3.6 — заключительном параграфе этой главы, рассмотрен случай невещественного Л, и в классе топологических вложений доказан следующий критерий мёбиусовости:

ТЕОРЕМА 3.6.1. Пусть Л = |А|е^, 0 < (р < тг. Топологическое вложение /: В —> В, 71 области В С Яп (п > 3) является мёбиусовым вложением тогда и только тогда, когда оно сохраняет главное ангармоническое отношение с фиксированным значением Л.

В доказательстве существенно используется непрерывность и инъек-тивность отображения, а также то, что область В лежит в пространстве той же размерности, что и пространство образа.

В случае чётномерного пространства требование непрерывности отображения можно существенно ослабить:

ТЕОРЕМА 3.6.4. Пусть задано Л = |А|е^ с 0 < у < тг. Если п> 2 -чётное число, то любое инъективное измеримое по Борелю отображение /: В —у Яп области В С К12 является мёбиусовым вложением тогда и только тогда, когда оно сохраняет главное ангармоническое отношение с фиксированным значением А.

Доказательство этой теоремы сводится индукцией по размерности к случаю, рассмотренному в теореме 2.2.5 второй главы.

Результаты, представленные в тексте диссертации, опубликованы в работах [65] - [74].

1. Haruki Н., Rassias Th.: A new invariant characteristic property of mobius transformations from standpoint of conformal mapping // J. Math. Anal. Appl. 1994. Vol. 181. P. 320−327.

2. Haruki H., Rassias Th.: A new characterictic of Mobius transformations by use of Apollonius points of triangles // J. Math. Anal. Appl. 1996. Vol. 197. P. 14−22.

3. Kobayashi О.: Apollonius points and anharmonic ratios // Tokyo Math. J. 2007. Vol. 30. No 1. P. 117−119.

4. Cieslinski J.: The cross ratio and Clifford algebras. // Adv. in Clifford algebras. 1997. Vol. 7. No 2. P. 133−139.

5. Бердон А.: Геометрия дискретных групп. M.: Наука. 1986. 304 с.

6. Лелон-Ферран Ж.: Основания геометрии. М.: Мир. 1989. 312 с.

7. Caratheodory С.: The most general transformations of plane regions which transform circles into circles // Bull. Amer. Math. Soc. 1937. Vol. 43. P. 537−579.

8. Фролкина О. Д.: Аффинность отображений, сохраняющих угол // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех. 2002. № 2. С. 61−63.

9. Hertrich-Jeronim U., Hoffman Т., Pinkall U. A discrete version of the Darboux transform for isothermic surfaces // SfB288 preprint No 239. Berlin. 1996.

10. Bobenko A., Pinkall U. Discrete surfaces with constant negative Gaussian curvature and the Hirota equation //J. Diff. Geom. 1996. Vol. 43. P. 527−611.

11. Асеев В. В., Сычёв А. В., Тетенов А. В.: Мёбиусово инвариантные метрики и обобщённые углы в птолемеевых пространствах // Си-бирск. матем. ж. 2005. Т. 46. № 2. С. 243−263.

12. Математическая энциклопедия. М.: Изд-во «Советская энциклопедия». Т. 1. 1977.

13. Ацел Я., Домбр Ж.: Функциональные уравнения с несколькими переменными. Пер. с англ.: Физматлит. 2003.

14. Асеев В. В.: Условие мёбиусовых середин как признак квазиконформности и квазимёбиусовости // Сиб. матем. ж. 2011. (в печати).

15. Nehari Z.: Conformal Mapping. New York. McGraw-Hill. 1952.

16. Chubarev A. and Pinelis /.: Fundamental theorem of geometry without the 1-to-l assumption // Proc. Amer. Math. Soc. 1999. Vol. 127. P. 2735−2744.

17. Gibbons J. and Webb С.: Circle-preserving functions of spheres // Trans. Amer. Math. Soc. 1979. Vol. 248. P. 67−83.

18. Jeffers Jr. Lost theorems of geometry // Amer. Math. Monthly. 2000. Vol. 107. P. 800−812.

19. Li В. and Wang Y. Transformations and non-degenerate maps // Sci. China Ser. A, Mathematics. 2005. Vol. 48. P. 195−205.

20. Li В. K. and Yao G.W.: On characterizations of sphere-preserving maps // Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 2009. Vol. 147. P. 439 446.

21. Yao G.W.: On existence of degenerate circle-preserving maps //J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 334. P. 950−953.

22. Yao G.W.: Transformations of spheres without the injectivity assumption. Preprint. 2008.

23. Альфорс JI. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве // М.: Мир. 1986. 112 с.

24. Hofer R.: A characterization of Mobius transformations // Proc. Amer. Math. Soc. 1999. Vol. 128. No 4. P. 1197−1201.

25. Зелинский Ю. Б.: Об инвариантных на подмножествах отображениях // «Теория приближений и смежные вопросы анализа и топологии. Сб. научн. тр.» Киев. Ин-т матем. АН УССР. 1987. С. 25−35.

26. Benz W.: Characterization of geometrical mappings under mild hypothesis: Uber ein modernes Forschungsgebiet der Geometrie // Hamb. Beitr. Wiss. gesch. 1994. Vol. 15. P. 393−409.

27. Кузьминых А. В.: О единичных базах евклидовой метрики // Сиб. Матем. Ж. 1997. Vol. 38. No 4. С. 843−846.

28. Lester J.A.: Euclidean plane point-transformations preserving unit perimeter // Arch. Math. 1985. Vol. 45. P. 561−564.

29. Rassias Th.: Some remarks on isometric mappings. // Facta Univ. Ser. Math., inform. 1987. Vol. 2. P. 49−52.

30. Khamsemanan N., Connelly R.: Two-distance preserving functions // Beitr. Algebra und Geom. 2002. Vol. 43. No 2. P. 557−564.

31. Богатая С. И., Богатый СЛ., Фролкина О. Д.: Аффинность отображений, сохраняющих объем // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Ма-тем., мех. 2001. No 6. С. 10−14.

32. Yang Sh., Fang A.: A new characteristic of Mobius transformations in hyperbolic geometry //J. Math. Anal. Appl. 2006. Vol. 319. P. 660−664.

33. Li В., Wang Y.: A new characterization for isometries by triangles // New York J. Math. 2009. Vol. 15. P. 423−429.

34. Haruki H., Rassias Th.: A new characteristic of Mobius transformations by use of Apollonius quadrilaterals. // Proc. Amer. Math. Soc. 1998. Vol. 126. P. 2857−2861.

35. Haruki H., Rassias Th.: A new characteristic of Mobius transformations by use of Apollonius hexagons // Proc. Amer. Math. Soc. 2000. Vol. 128. P. 2105−2109.

36. Bulut S., Ozgur N.Y.: A new characterization of Mobius transformations by use of Apollonius point of pentagons // Turk. J. Math. 2004. Vol. 28. P. 299−305.

37. Beardon A.F., Minda D.: Sphere-preserving maps in inversive geometry // Proc. Amer. Math. Soc. 2001. Vol. 130. No 4. P. 987−998.

38. Куратовский К.: Топология, том 1. M.: Мир. 1966. 594 с.

39. Moreno J.P.: An invitation to plane topology // Abstral. Math. Soc. Gaz. 2002. Vol. 29. No 3. P. 149−154.

40. Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А.: Достаточные признаки выпуклости // Вопросы глобальной геометрии (Зап. научн. семин. ЛОМИ, том 45) Л.: Наука. 1974. С. 3−52.

41. Федерер Г.: Геометрическая теория меры. М.: Наука. 1987. 760 с.

42. Aczel J., McKiernan М.А.: On the characterization of plane projective and complex Mobius transformation // Math. Nachr. 1967. Vol. 33. P. 315−337.

43. Bulut S., Ozgur Y.N.: A New Characterization of Mobius Transformations by the Use of Apollonius Points of (2n — l)-gons // Acta Mathematica Sinica. English Series. June 2005. Vol. 21. No 3. P. 667−672.

44. Jing L. A new characterization of Mobius transformations by use of polygons having type A // J. Math. Anal. Appl. 2006. Vol. 324. P. 281−284.

45. Niamsup P.: A characterization of Mobius transformations // Internat. J. Math. Math. Sei. Vol. 2000. Vol. 24. No 10. P. 663−666.

46. Niamsup P.: A note of the characteristic of Mobius transformations // J. Math. Anal. Appl. 2000. Vol. 248. P. 203−215.

47. Niamsup P.: A note of the characteristic of Mobius transformations, II //J. Math. Anal. Appl. 2001. Vol. 261. P. 151−158.

48. Samaris N.: A new characterization of Mobius transformations by use of 2n points //J. Nat. Geom. 2002. Vol. 22. P. 35−38.

49. Ungar A.: The hyperbolic square and Mobius transformations// Banach J. Math. Anal. 2007. Vol. 1. P. 101−116.

50. Yang Sh.: A characterization of Mobius transformations // Proc. Japan Acad Ser. A Math. Sei. 2008. Vol. 84. P. 35−38.

51. Прасолов В. В.: Задачи по планиметрии. Учебное пособие. Изд-во МНЦМО. Москва. 2006.

52. Решетняк Ю. Г.: Теоремы устойчивости в геометрии и анализе. Новосибирск: Наука, 1982.

53. Корн Г., Корн Т.: Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1984.

54. Голузин Г. П.: Геометрическая теория функций комплексного переменного. М.: Наука. 1966.

55. Копылов А. П.: Устойчивость в С-норме классов отображений. Новосибирск: Наука. 1990.

56. Белинский П. П.: Устойчивость в теореме Лиувилля о пространственных квазиконформных отображениях. В кн.: Некоторые проблемы математики и механики. М.: Наука. 1970. С. 88−102.

57. Benz W.: Real Geometries // BI Wissenschaftsverlag. Mannheim, Leipzig, Wien, Ziirich, 1994.

58. Farrahi В.: A characterization of isometries of absolute planes // Resultate Math. 1981. R 34−38.

59. Lester J.A.: On Distance Preserving Transformations of Lines in Euclidean Three-Space // Aequationes Math. 1985. Vol. 28. P. 69−72.

60. Lester J.A. Distance preserving transformations. In F. Buekenhout, editor, Handbook of Incidence Geometry. Amsterdam. 1995. Elsevier. P. 921−944.

61. Schroder E. M. On 0-distance preserving permutations of affine and projective quadrics //J. Geom. 1993. Vol. 46. P. 177−185.

62. Aseev VKergilova Т.: On transformations that preserve fixed anharmonic ratio // Tokyo Math. J. 2010. Vol. 33. No 2. P. 365−371.

63. Кергилова Т. А.: Мёбиусовость инъективных, измеримых по Бо-релю отображений, сохраняющих фиксированное ангармоническое отношение с точностью до комплексного сопряжения // Вестник НГУ. Сер.: матем., мех., информ. 2010. Т. 10. Вып. 4. С. 68−81.

64. Асеев В. В., Кергилова Т. А.: Четырехточечный критерий мебиусо-вости гомеоморфизма плоских областей // Сиб. Мат. Ж-л. Т. 52. № 5. 2011. С. 977−992.

65. Асеев В. В., Кергилова Т. А. Минимальные критерии мебиусовости // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 44. 2011. С. 62.

66. Aseev V., Kergilova T. Moebius transformations preserving fixed anharmonic ratio // ArXiv.org. arXiv:0810.4434vl math. GT] 24 Oct 2008.

67. Кергилова T.A. Усиление теоремы Кобаяси о мебиусовых отобра-снсвниях // Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева. Новосибирск. 2008. С. 322.

68. Кергилова Т. А. Мебиусовость отображений, сохраняющих фиксированное ангармоническое отношение // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 39. Лобачевские чтения. 2009. С. 261−262.

69. Кергилова Т. А. Геометрический критерий мебиусовости отображений // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. Т. 43. 2010. С. 191−192.

70. Кергилова Т. А. A characterization of Moebius transformations by use of fixed cross ratio // Programme of International Congress of Mathematicians. August 19−27, 2010. Hyderabad, India. P. 22.

71. Кергилова Т. А. Характеристика мебиусовых преобразований // Материалы школы-конференции по геометрическому анализу. Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2010. С. 47−48.