Этап декомпозиции моделей

Процедуру декомпозиции удобно разбирать на кибернетической модели «черного ящика», где задаются только входы и выходы (рис. 4.13). Для сложных объектов входов и выходов может быть много, так как каждый вход и выход описывает принципиальные параметры системы.

Рис. 4.13. Декомпозицияя кибернетической модели.

Для такого рода черных ящиков практически не существует математических моделей, кроме матричного анализа и многомерной статистики, которые тоже неработоспособны при большом количестве входов и выходов (проклятие размерности). Поэтому для количественного описания такого рода ситуаций используется принцип декомпозиции сложного объекта. Схема декомпозиции модели представлена на рис. 4.14.

Рассмотрим суть принципа декомпозиции сложного объекта.

А. Исходя из эмпирического и интуитивного восприятия, объект разбивается на некоторые совокупности «черных ящиков», у которых число входов значительно меньше — здесь проявляется возможность сочетания математического формализма и эмпирической интуиции субъекта. С точки зрения математики этот процесс может быть представлен в виде следующей теории геометрической декомпозиции. Сложная система представляется как математический объект, который загружается в класс объектов, в котором определено свойство изоморфизма для этих моделей. Декомпозицией считается его представление с помощью семейства более простых объектов из этого класса. В качестве инструментального средства применяется бурбаковский формализм. В нем заданы удобные инструменты для формализации эмпирических подходов к разбиению сложного объекта на ряд более простых моделей. Так, например класс интуитивно представляемых фрагментов сложной системы может быть описан на формальном математическом языке бурбаковского формализма как род структуры. Например, в качестве рода структуры может выступать такой известный в практической информатике объект, как запись.

В. Практический смысл декомпозиции заключается в том, что интуитивные априорные сведения о структуре объекта формализуются средствами теории геометрической декомпозиции, и это позволяет разбить модель сложной системы на модели подсистем, которые обладают меньшим числом входных и выходных воздействий и тем самым упрощают задачу синтеза модели сложной системы.

Рис. 4.14. Схема декомпозиции модели

Математическая модель подсистемы (малого «черного ящика») может быть проще математической модели большого «черного ящика». Число входов и выходов у малого «черного ящика» принципиально меньше, чем у большого. Уменьшается алгоритмическая и вычислительная сложность подсистем. Этим частично снимается проклятие размерностей.

C. Используя средства вычислительной математики и информатики, перейдем от математических моделей малых «черных ящиков» к их программной реализации машинной модели (программному алгоритму).

D. Реализуем эти модели объектов управления в синтезируемых алгоритмах управления сложными системами.

Необходимо количественно оценить меру сложности «черного ящика», используя теорию сложности, ибо она определяет качество декомпозиции и ее окончательный успех, т. е. речь идет о трудоемкости, сложности синтеза модели. Трудоемкость синтеза модели теоретически связана с фундаментальной характеристикой — сложностью алгоритма.

Мера сложности модели определяется через меру сложности алгоритма. Сложность алгоритма задается в данном случае как L = L (п, т), где п — число входов; т — число выходов. Сложность всей системы равна сумме сложностей подсистем. В первом приближении сложность модели можно выразить как L = пут, где у — коэффициент, показывающий соотношение между числом входов и выходов (рис. 4.15). Таким образом, процесс декомпозиции системы может рассматриваться как процесс минимизации ее сложности.

Рис. 4.15. Схема декомпозиции с учетом сложности структуры входных.

и выходных воздействий В настоящее время в рамках непараметрической статистики разработаны методы автоматической декомпозиции без учета априорных сведений и структуры модели. Это направление смыкается с другим направлением, которое называется теорией самоорганизующихся нейронных сетей. Оба направления оттолкнулись от статистических идей распознавания образов, идей перцептрона и теории геометрической декомпозиции.

Рассмотренная концепция может использовать в качестве содержания декомпозиции «черного ящика» не только регрессионные схемы. Она может базироваться на схемах линейной алгебры, линейных дифференциальных уравнений, конечноразностных уравнений и других схемах классической математики. К сожалению, эти языки классической математики не всегда пригодны для описания моделей управления достаточно сложных систем (имеющихся на практике), поэтому для формирования этих моделей целесообразно применять методы семантики и алгебраической топологии.