Динамические реакции вращающегося тела

Рассмотрим вращение твердого тела вокруг неподвижной оси Az с постоянной угловой скоростью «у (рис. 13.6). Тело закреплено в точке А сферическим, а в точке В — цилиндрическим шарнирами.

На тело действуют заданные силы F, …, F, для которых выполняется условие.

обеспечивающее равномерность вращения. Найдем реакции шарниров 1Ч_Л и N". Будем считать тело системой материальных точек с массами т_к (к = 1, 2,…,"), на которые наложены связи, не допускающие изменения расстояний между точками. Запишем уравнения кинетостатики (13.6) для где г* - радиус-векторы точек системы относительно центра А, расположенного на оси вращения.

такой механической системы, выразив моменты Даламберовых сил Ф д = — та д в виде векторных произведений:

Благодаря известным свойствам внутренних сил механической системы из векторных уравнений (13.16) можно исключить реакции внутренних связей, т. е.:

Рис. 13.7.

Выразим суммы Даламберовых сил и их моментов, входящие в (13.16), через координаты точек тела х_к, у_к, z_k и его угловую скорость со. Для этого заметим, что ускорение к-й точки тела а* имеет величину.

и направлено к оси вращения (рис. 13.7). Поэтому проекции вектора ускорения а* на оси координат Ах, Ay, Az имеют вид:

Подстановка вектора а_к =— со^гх_к— o)²y_kj в (13.16) дает:

где М — масса тела; х_с, ус — координаты его центра масс С; I_xz и 1_У, — центробежные моменты инерции тела.

Проецируя векторные уравнения (13.16) на оси координат с учетом соотношений (13.17), (13.19), (13.20), получаем пять скалярных уравнений:

для определения неизвестных реакций N_A(N_Ax, N_Ay, N_Az) и N_B(N_Bx, N_By, 0). Из двух последних уравнений (13.21) получим.

а из трёх первых :

В выражениях, полученных для компонентов реакций N_Ax, N_Ay, N_Bx, N_By, можно выделить:

• — статические составляющие, обусловленные лишь действием заданных сил Fj, .?_р;
• — динамические составляющие, которые обусловлены лишь вращением тела — они содержат угловую скорость со и выделены подчеркиванием.

Условия, при которых динамические составляющие реакций исчезают, нетрудно получить из (13.22) и (13.23). Они имеют вид:

и означают, что ось вращения тела является его главнои центральной осью инерции.