Кристаллизатор периодического действия с перемешиванием

В данном параграфе будет получена математическая модель кристаллизатора периодического действия через моменты функции распределения кристаллов по размерам; решена задача оптимизации процесса кристаллизации для двух систем: алюмокалиевые квасцы и нитрат натрия.

Математическая модель кристаллизатора периодического действия с перемешиванием суспензии имеет вид (следствие из системы (2.1) — (2.28) при допущениях dc/dx_t=0, дТ/дх₃ = О, Т_Х = Т₂=Т):

1) уравнение баланса числа частиц.

2) уравнение сохранения растворенного вещества в растворе.

3) уравнение изменения температуры в аппарате

Начальные условия граничные условия.

где I — линейный размер кристалла; k — коэффициент формы; г; — линейная скорость роста кристалла; с — концентрация раствора (кг/м³); 1₀ — размер зародыша; L — максимальный размер кристалла, причем в силу условий перемешивания Т,~Т₂, тогда движущая сила кристаллизации (1.88) имеет вид ~ (с, — с,), а скорость роста кристалла — т] = L_n(c, — с,)", где L₄—феноменологический коэффициент.

Рассмотрим процесс кристаллизации алюмокалиевых квасцов (KAl (SOj) • 12Н₂0) в периодическом кристаллизаторе смешения. Известно [7], что скорость роста и зародышеобразования кристаллов для данной системы можно представить в виде.

где р₂ — второй момент функции распределения кристаллов по размерам —.

константы; Дс=с — с,.

Скорость зародышеобразования, предложенная в таком виде, описывает механизм вторичного зародышеобразования [1]. С помощью уравнения (2.62) можно перейти к системе моментов функции распределения кристаллов по размерам.

Проинтегрируем уравнение (2.62) от /₀ до L, получим.

Используя граничные условия (2.66), определим нулевой момент Умножим уравнение (2.62) на /" .

Представим соотношение

Подставим выражение (2.71) в уравнение (2.70), проинтегрируем его от до L и получим.

В виду малости /" член frl₀ⁿ~0. Тогда соотношение (2.72) приводится к виду.

Часто определяют через отношение моментов Цз/р₂ Выражение (2.73) приобретает вид.

С учетом изложенного математическую модель процесса массовой кристаллизации в периодическом кристаллизаторе (на примере кристаллизации KA1(S0₄)₂-12Н₂0) можно представить в виде.

Начальные условия: p"(fo) =Цо°; p.(^)=Hi°; М^) =ц₂°; Рз (<�") =.

= Рз°; C (h) =CoI T (t0) =Т".

Периодические кристаллизаторы смешения конструктивно просты и дешевы и поэтому широко распространены в промышленности. Однако основной их недостаток — неудовлетворительное распределение кристаллов по размерам. Поэтому немало усилий направлено на улучшение гранулометрического состава. Наиболее приемлемым является температурное управление процессом [8—11].

Пусть средний размер кристалла равен а изменение среднего размера /_ср во времени равно.

В качестве критерия оптимальности для процесса кристаллизации выберем шах l_cp(t_k) или с учетом (2.77).

т. е. задача ставится следующим образом: нужно вести управление по температуре так, чтобы к моменту достижения раствором заданной температуры Т_к средний размер кристалла был максимальным при ограничении на время процесса кристаллизации.

Для системы алюмокалиевых квасцов были определены значения кинетических параметров, равные соответственно ?,= 1800; n, = 1,22; ?,= 1,326−10^-10; я_г=1,56; а=32 900; 6=0,51, причем размерности равны соответственно [rj] = м/с, [/] = 1/м³с.

Зависимость для концентрации насыщения K (Al₂)SO"-12Н_гО имеет вид.

Для решения задачи оптимизации сделаем замену переменных.

В качестве управления возьмем параметр в виде Систему уравнений (2.74) приведем к виду

Критерий оптимизации приобретает вид.

Управление ищем в виде где /Theorist, / = 0, 1,.п.

Сначала осуществляем одномерный поиск, определяем ?₀. Если нас не удовлетворяет средний размер кристаллов при найденном оптимальном управлении, то осуществляем переход к двухмерному поиску, определяем ?₀, ?,. Если нас опять не удовлетворяет средний размер кристалла, то переходим к трехмерному поиску и т. д.

Система дифференциальных уравнений (2.82) решалась методом Хемминга с помощью программы, разработанной для ЭВМ ЕС-22. Результаты расчета, приведенные на рис. 2.3—2.4, показывают, что вначале процесса кристаллизации охлаждение производится быстрее и наблюдается более сильное образование зародышей. Далее к концу процесса кристаллизации темп охлаждения замедляется для того, чтобы все пересыщение пустить на рост кристаллов и добиться достижения максимального среднего размера.

Рассмотрим следующий пример кристаллизации в аппарате периодического действия (кристаллизация нитрата натрия).

В [12] были определены кинетические закономерности для роста и образования зародышей нитрата натрия (следствие из системы (2.1) — (2.28)) в виде:

где ?=0,357−10*; Л₀ = 0,3-Ю-‘; Л, = 0,026; m, = 2,12; m, = 0,44; ?" = 0,8−10⁷; А₀ = 7,73; m" = 3,66; *,=0,156−10-*; а=0,5; р = 0,65; т, = 0,38; *"= 1,34−10-‘"; т_р—2,26.

Также была определена зависимость для коэффициента скорости пульсации фазового перехода в виде.

где *"=0,55−10-'³; т_е = —0,15−1Q-*.

Рис. 2.3. Изменение среднего размера кристаллов.

Рис. 2.4. Управление во времени.

Применяя прием, аналогичный приведенномувыше (но используя в качестве уравнения баланса

). получим математическую модель процесса кристаллизации нитрата натрия в кристаллизаторе периодического действия [12].

где с_р — концентрация раствора нитрата натрия в г NaNOj/lOO г Н₂0; С", С₁₂ — теплоемкость воды и кристаллов соответственно.

Используя модель (2.87) и полученные результаты по идентификации г], /, D, проведем оптимизацию процесса массовой кристаллизации нитрата натрия в аппарате периодического действия [12]. Систему (2.87) можно представить в общем виде.

Рис. 2.6. Дисковый кристаллизатор.

Рис. 2.5. Оптимальный режим для е_р, <7_Р при кристаллизации нитрата натрия (е — интенсив, ность перемешивания, q — количество тепла, отводимого охлаждающей водой) где х — вектор параметров состояния (*i = p₀; х_г—x_t; х₃ = х₂ лг₄ = с_р; *з = Т)_У и — вектор управляющих параметров. Исходя из практических условий, а также из модели (2.87), выберем в качестве управляющих параметров две величины: удельную мощность на перемешивание е и количество отводимого охлаждающей водой тепла q_y отнесенного к единице объема аппарата. Поведение процесса кристаллизации характеризуется показателями, такими, как объемное содержание твердой фазы р", средний размер кристаллов г_ср = р,/р₀; неоднородность дисперсной фазы о² = р₂— Pi²/po, момент окончания процесса кристаллизации.

Интенсивность перемешивания е, выраженную в Вт/м⁵, будем выбирать в интервале от 0,02 до 0,92. Минимальную скорость охлаждения считаем равной нулю, а максимальную для рассматриваемого примера выбираем в интервале от 1° С/мин до 4° С/мин.

Требуется найти оптимальное управление u_0UT(t)_t переводящее процесс (2.88) из заданного начального состояния в конечное так, чтобы функционал.

принимал минимальное (или максимальное) значение.

Запишем систему (2.87) в виде (2.88). Тогда функции принимают вид

Вектор управляющих параметров и включает два элемента: Ц = е—удельную мощность на перемешивание и u₂ = q — количество отводимого охлаждающей водой тепла. В данном случае конечное значение t, независимой переменной t (время) не задано, а начальное состояние имеет вид.

где с"_ач и Т_нлч — начальные концентрация и температура раствора.

Примем в рассмотрение четыре индивидуальных критерия оптимальности: неоднородность продукции /, время кристаллизации /₂, средний размер кристаллов /₃, требуемую энергию на перемешивание /₄. Должны быть минимизированы критерии /" /₂, Л, а критерий /₃— максимизирован. На критерии наложены ограничения: /, < V', = 0,1 -10^-2 (см³); /< = 0,97 • 10^-4 (с); /₃> >К₃=0,17• 10″ ⁸(см³); /₄<�К₄ = 7,36• 10³ (кДж/м³).

Анализ влияния перемешивания и охлаждения на поведение процесса кристаллизации нитрата натрия показывает, что область достижимых значений критериев оптимальности Q выпукла. Следовательно, целесообразно использовать компромиссный р-критерий для определения оптимального условия кристаллизации нитрата натрия в аппарате периодического действия.

тогда р — оптимальное решение задачи (2.92) будет найдено при использовании принципа максимума [13—14], которое сводится к задаче интегрирования системы дифференциальных уравнений процесса и сопряженной системы для вспомогательных функций при граничных условиях, заданных некоторым образом на обоих концах интервала интегрирования.

На рис. 2.5 представлен оптимальный режим кристаллизации нитрата натрия, полученный при решении задачи оптимизации (2.92).