Безмоментная теория оболочек вращения

Многие элементы и детали технических устройств выполняются в виде тонкостенных оболочек вращения. Наиболее просто задача расчета таких оболочек решается в том случае, когда возможно принять допущение, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует. Теория оболочек, построенная в этом предположении, называется безмоментной теорией оболочек. Отметим, что чем меньше толщина оболочки, тем ближе к истине предполагаемый закон постоянства напряжений по толщине и тем более точные результаты дает безмоментная теория.

Безмоментная теория может применяться, если оболочка не имеет резких изменений формы, скачкообразных изменений толщины, жестких защемлений и не нагружена сосредоточенными силами и моментами. При наличии перечисленных особенностей в локальных зонах возникают местные, как правило, достаточно быстро затухающие изгибные напряжения. Такие зоны называют зонами краевого эффекта. При наличии зон краевого эффекта анализ следует проводить с использованием более сложных и точных методов, учитывающих влияние изгибающих моментов. Вариант таких соотношений будет рассмотрен в параграфе, посвященном моментным цилиндрическим оболочкам.

Экспериментальные результаты подтверждают, что зона повышенных изгибных напряжений остается в большинстве случаев весьма ограниченной, и поэтому на достаточном удалении от зон краевого эффекта определение напряжений может производиться, но безмоментной теории.

Виды оболочек весьма разнообразны. Оболочки различаются формой срединной поверхности, законом изменения толщины, условиями закрепления и нагружения. Характерной особенностью оболочек является то, что они имеют неплоскую срединную поверхность. Наибольшее распространение получили оболочки, срединная поверхность которых представляет собой поверхность тела вращения (цилиндр, сфера, конус и т. д.). Характерный пример оболочки вращения представлен на рис. 14.1, а.

Рис. 14.1. Оболочка вращения и ее меридиональное сечение.

Срединная поверхность оболочки вращения образуется в результате вращения плоской кривой относительно оси, лежащей в плоскости этой кривой. Такая кривая называется меридианом. На рис. 14.1, а меридиан обозначен AMNB. Линии, перпендикулярные меридианам, представляют собой окружности и называются параллелями.

Каждая точка поверхности может быть задана как точка пересечения некоторого меридиана и некоторой параллели. Так, например, чтобы задать положение точки М, достаточно задать угол ср, отсчитываемый от некоторого нулевого меридиана, и расстояние 5, отсчитываемое от края оболочки вдоль меридиана. Координаты (р и s, называемые гауссовыми координатами, наиболее удобны при изучении свойств поверхностей вращения. Иногда вместо координаты s более удобно использовать угловую координату 0, представляющую собой угол между осью вращения х и нормалью к поверхности оболочки. В некоторых случаях применяют также цилиндрические координаты <�р, х и г (х отсчитывается вдоль оси оболочки, г — от оси вращения).

Рассмотрим меридиональное сечение оболочки (рис. 14.1, б). Радиус кривизны меридиана обозначим р_т. На чертеже этот радиус соответствует отрезку 0, М. Радиус кривизны в направлении, перпендикулярном меридиану, обозначим р,. Этот радиус равен отрезку нормали, заключенному между рассматриваемой точкой и осью вращения; на рис. 14.1, б радиус р, соответствует отрезку 0₂М и является в общем случае функцией угла 0. Методами дифференциальной геометрии доказывается, что радиусы р_т и р, обладают свойством экстремальности. Это означает, что один из них принимает максимальное, а другой — минимальное значение среди всех возможных радиусов кривизны р в данной точке срединной поверхности оболочки.