Разложение гиперболического синуса от постоянной и синусоидально меняющейся составляющих в ряд Фурье

Из параграфа 15.13 известно, что мгновенное значение функции у связано с мгновенным значением х формулой (15.1). В этой формуле аргументом гиперболического синуса является не х, как было в параграфе 15.14, а произведение (Зх. В соответствии с этим для разложения sh ((3x_msinwt) и ch (|3x_msina)t) в (15.9) и (15.10) следует заменить х на (Зх_т.

Если х = х₀ + x_msina)t, где х₀ — постоянная составляющая; х_т — амплитуда синусоидальной составляющей, то.

Следовательно,.

Из (15.11) следует, что постоянная составляющая функции у.

Первая гармоника функции у

вторая гармоника.

третья гармоника.

и т. д.

Разложить в ряд Фурье функцию у/а = sh (2 + 4sin (ot).

Решение. По табл. 8.1 находим sh2 = 3,63; ch2 = 3,7. Значения функций Бесселя берем из табл. 15.1. В соответствии с (15.11).

Таким образом, у₀/а = 41,1; у_1т/ос= 73,4; у_2т/а = 46,7.

Некоторые общие свойства симметричных нелинейных элементов

I. Если нелинейный элемент с симметричной характеристикой работает в условиях, когда одна из определяющих его состояние величин, например величинах, изменяется во времени по законух = х₀ + x_msincot, то в отношении другой определяющей его состояние величины (величины у) можно сделать следующие выводы:

• 1) постоянная составляющая функции у₀ зависит не только от х₀, но и отх_т, что следует из (15.12);
• 2) в кривой у =/(cot) появляются четные гармоники, которые исчезают при х₀ = 0. Фаза четных гармоник зависит от знака постоянной составляющей (от знака х₀);
• 3) путем изменения х₀ или у₀ можно изменять амплитуды первой и высших гармоник функций.

Первое из этих свойств поясним графически. Пусть нелинейный элемент работает при отсутствии синусоидальной составляющей (х_т = 0). Тогда изображением этого процесса на характеристике нелинейного элемента будет точка а (рис. 15.14, а). Для нее.

Этот результат следует из (15.12), если учесть, что J₀(0) = 1.

Если же нелинейный элемент работает при х_т Ф 0, то, для того чтобы постоянную составляющую функции у₀ сохранить прежней, постоянная составляющая х₀ должна быть снижена (или снизится сама) со значения x'_Q ДО Xq.

Рис. 15.14.

Постоянная составляющая

где Xq определяется ординатой точки Ъ, расположенной ниже точки а (рис. 15.14, б).

Первое и третье из этих свойств широко используют в теории управляемых нелинейных элементов, второе свойство — в теории умножителей и делителей частоты.

Пример 150.

Нелинейный элемент с характеристикой у — ash (Зх сначала работал при у₀/а = 41,1 и отсутствии переменной составляющей ((Зх_т = 0). Затем режим работы его изменился: постоянная составляющая у₀/а осталась прежней, но появилась переменная составляющая |3х, амплитуда которой (Зх_т = 4. Найти постоянные составляющие (Зх₀ в этих двух режимах.

Решение. В первом режиме (3xq = Arsh41, l = 41,1. Во втором режиме (3xq = = Arsh (41,1/J_o0'4)) = Arsh3,63 = 2.

Таким образом, при переходе от первого режима ко второму постоянная составляющая (Зх₀ изменилась с 4,41 до 2, т. е. более чем в два раза. ^II.[1]

частотах. Эту теорему записывают в виде двух соотношений (доказательство см., например, в [24]):

• [1] В энергетическом отношении общие свойства нелинейной цепи, содержащей одну нелинейную катушку (конденсатор) с безгистере-зисной симметричной характеристикой, в которой действуют генераторы синусоидальных колебаний с частотами /г и/2 и возникают токии напряжения частот / п = m/j + nf2 (тип — простые числа, принимающие положительные, отрицательные и нулевые значения), для периодических процессов описываются теоремой Мэнли и Роу. Если через Wm n =Um>Jm, n + Um>nim, n обозначить среднюю за периодмощность, поступающую в нелинейную индуктивную катушку (конденсатор) на частоте fm п = m/j + п/2, теорема устанавливает связь междумощностями, поступающими в нелинейный элемент на различных