Эквивалентная линеаризация диссипативных сил в колебательной системе с одной степенью свободы

Рассмотрим дифференциальное уравнение, отвечающее колебаниям системы с одной степенью свободы:

где т, с — приведенная масса и приведенный коэффициент жесткости; F (t) — вынуждающая сила.

Строго говоря, дифференциальное уравнение (9.2) является нелинейным из-за нелинейности диссипативной силы. Однако, как правило, диссипативная сила пренебрежимо мало влияет на частоту свободных колебаний, а лишь определяет амплитудный уровень при резонансе. Исходя из подобного ограниченного проявления нелинейной диссипативной силы, рассматриваемую колебательную систему будем называть квазилинейной. Для нелинейной силы -R (q_}q) может быть найдена энергетически эквивалентная линейная сила R_f = -bq. Если F (t) = F₀ sin со/, то при установившихся вынужденных колебаниях q = /4sin (otf — у). При этом рассеянная за один период энергия (см. параграф 5.13).

С другой стороны, АЕ = кЬЛ²со. Отсюда.

Этот результат совпадает с соответствующим коэффициентом, полученным методом гармонической линеаризации (см. параграф 8.3), что представляется вполне естественным, если учесть, что именно при одночастотных гармонических колебаниях была получена исходная информация о коэффициенте рассеяния |/. В определенном смысле с этой точки зрения коэффициент у можно рассматривать как результат «гармонической линеаризации», проведенной экспериментально. Обычно при использовании формулы (9.3) частоту вынуждающей силы со можно заменить собственной частотой k, так как именно в окрестности этой частоты диссипативные силы играют существенную роль.

Значение АЕ отвечает площади петли гистерезиса. Таким образом, из (9.3) следует, что диссипативные свойства примоногармоническом режиме определяются площадью петли гистерезиса и не зависят от формы этой петли. Кроме того, очевидно, что коэффициент рассеяния |/ не зависит от амплитуды лишь в том случае, если величина АЕ пропорциональна квадрату амплитуды. Это, например, имеет место при линейной силе сопротивления или силе сопротивления, пропорциональной первой степени амплитуды.

Анализ экспериментальных материалов свидетельствует о том, что коэффициент рассеяния у, а следовательно, и логарифмический декремент X, обычно слабо зависят от частоты колебаний. Тогда согласно (9.3) коэффициент b оказывается обратно пропорциональным частоте колебаний. Заметим, что при таком характере диссипации, нередко называемой частотно независимой, одной из самых характерных ошибок, допускаемых при варьировании параметрами колебательной системы, является сохранение постоянного значения принятого коэффициента Ь. О возможных последствиях подобной ошибки, в частности, свидетельствует тот факт, что при b = const уменьшение коэффициента жесткости с при позиционном трении будто бы может привести даже к переходу в апериодический режим, так как собственная частота равна k_{ = Jc/т-Ь²/(2т)² • Однако на самом деле в этом случае при у = const имеем k_{ = у]с (1−8²)/т «где 5 «у/(4 л), а следовательно, исключена возможность возникновения апериодических режимов за счет уменьшения коэффициента жесткости с.

Формула (9.3) свидетельствует о том, что при одночастотных колебаниях «неупругое» сопротивление пропорционально восстанавливающей силе, но сдвинуто относительно последней по фазе на л/2. На этом основано предложение Е. С. Сорокина [15*] воспользоваться комплексной формой записи диссипативной силы.

где i = л/—Т — мнимая единица, соответствующая повороту вектора восстанавливающей силы на л/2 (именно этот угол соответствует при гармонических колебаниях сдвигу фазы между q и q). Таким образом, с учетом (9.4) при представлении упругодиссипативиой силы в комплексной форме дифференциальное уравнение (9.2) может быть записано как.

где правая часть уравнения отвечает гармонической вынуждающей силе с частотой со; с = с (1+i • 28) — комплексный коэффициент жесткости.

При параллельном или последовательном соединении упругодиссипативных элементов справедливы правила приведения комплексных коэффициентов жесткости, аналогичные изложенным в параграфах 2.3, 2.4.

Частное решение уравнения (9.5), отвечающее вынужденным колебаниям, будем искать в форме.

Здесь А = |Л| е‘^а — комплексная амплитуда вынужденных колебаний; а — фаза колебаний.

После подстановки (9.6) в (9.5) имеем

Легко убедиться, что модуль 1/11совпадает с формулой (5.18). Впрочем, при использовании современных стандартных компьютерных программ отсутствует необходимость в процедуре аналитического определения Л I.

Эквивалентная линеаризация диссипативных сил в колебательной системе со многими степенями свободы Изложенный выше прием учета нелинейных сил может быть распространен на системы как с сосредоточенными, так и с распределенными параметрами. Как и раньше, будем считать динамическую модель квазилинейной в том смысле, что нелинейные диссипативные силы пренебрежимо мало влияют на собственные частоты и формы колебаний.

Систему дифференциальных уравнений модели с //степенями свободы представим в виде.

где а, с — квадратные матрицы инерционных и квазиуиругих коэффициентов; q — вектор-матрица (столбец) обобщенных координат; Q, — вектор-матрица неконсервативных сил.

В векторе обобщенных сил выделим диссипативную составляющую R (<7,<7), которую представим как.

где Ь — квадратная матрица эквивалентных диссипативных коэффициентов; q — вектор обобщенных скоростей.

Задача состоит в том, чтобы найти достоверные (с позиций инженерного расчета колебаний в машинах) значения диссипативных коэффициентов by определение которых базировалось бы на доступной информации о коэффициентах рассеяния (или логарифмических декрементах) отдельных упругодиссипативных элементов системы.

При чисто вязком трении, когда сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости, для описания диссипативных свойств обычно используется диссипативная функция Релея Фд, характеризующая интенсивность изменения полной энергии системы Е

Однако при частотно-независимой диссипации коэффициенты Ь. нам не известны, а поскольку ставится задача замены нелинейной системы эквивалентной (в определенном смысле) линейной, речь может идти лишь о приближенном подходе, основанном на правдоподобных допущениях. При этом целесообразно рассмотреть несколько ступеней идеализации диссипативных сил.

Введем в рассмотрение нормальные (главные) координаты 0 (см. параграф 4.9).

Здесь Р_т — коэффициенты формы, определенные без учета диссипативных сил.

Тогда исходная система дифференциальных уравнений (9.8) может быть записана как.

где  — диагональные матрицы инерционных и квазиупругих коэффициентов после перехода к нормальным координатам; 0. (У — вектор-матрицы нормальных координат и неконсервативных обобщенных сил; Р — матрица коэффициентов формы.

Отметим, что при данном приеме составления уравнения (9.12) в завуалированном виде использовано допущение об отсутствии диссипативных связей между различными формами колебаний.

Далее введем в каждое из уравнений системы (9.12) эквивалентную диссипативную силу R_r = -b*&_r. Тогда.

где

Коэффициент рассеяния |/_; соответствующий форме г, определяется как

Отсюда при учете (9.3) где

Изложенный выше способ при использовании численных методов решения системы дифференциальных уравнений может вызвать некоторые неудобства, так как в качестве промежуточной процедуры требует перехода к нормальным координатам. Однако, сохранив идею данного способа, эту процедуру можно исключить. Пусть в исходной системе эквивалентные диссипативные силы описываются следующим образом:

где b — квадратная матрица неизвестных диссипативных коэффициентов.

С другой стороны,.

где R^A — вектор-матрица диссипативных сил после перехода к нормальным координатам; ($^т — транспонированная матрица коэффициентов формы; Ъ' =diag[A*,…, i*_/].

На основании (9.16) и (9.17) получаем.

Квадратная матрица b в общем случае не является диагональной. Итак, при использовании (9.18) исходное дифференциальное уравнение (9.8) после выделения из неконсервативных обобщенных сил диссипативной составляющей принимает вид.

11роцедура определения матрицы b существенно упрощается, если в дополнении к принятым допущениям, предположить, что в режиме моногармонических колебаний находится лишь одна из форм колебаний. Такая ситуация, в частности, возникает при возбуждении резонансных колебаний, когда резонирующая форма доминирует над остальными. Можно показать [9*], что в этом случае Ь_!} ~ у _}С- /(2nk_l); h_/v = 0 (/Vv). Этот результат практически совпадает с формулой (5.74), полученной в параграфе 5.13 на основании условий энергетического баланса.