Криволинейные координаты. 
Скорость и ускорение точки в криволинейных координатах

Рассмотрим взаимно однозначное дифференцируемое отображение двух областей трехмерных пространств.

Отображение ср определяется заданием функций.

и будет взаимно однозначным, если якобиан.

в области V. Область V вместе со своим дифференцируемым вза-. имно однозначным отображением на область U называется локальной картой, а набор (q_u q₂, q₂) — криволинейными координатами в ?³.

Движение точки в евклидовом пространстве Е¹ можно задать с помощью отображений.

Тогда скорость точки.

Построим в каждой точке области U базис (§, ?₂> ?з)> ^гД^е

и представим скорость точки в виде разложения по этому базису криволинейной системы координат в виде.

Величины Н, называются коэффициентами Ламе. Единичные векторы направлены по касательным к координатным кривым, проходящим через рассматриваемую точку. Координатные кривые определяются равенствами г = г(q_u q₇, q₃), когда изменяется одна из трех величин, а две другие постоянны. Формула (2.5) есть разложение скорости по базису криволинейной системы координат.

Если = 0 для любого «*j в каждой точке области U, то криволинейная система координат называется ортогональной.

Для отыскания ортогональных проекций вектора ускорения на базисные векторы криволинейной системы координат рассмотрим функцию

являющуюся квадратичной формой переменных (q_t, q₂, g₃). Имеем.

Величины w, суть ортогональные проекции вектора ускорения на орты криволинейной системы координат. Если криволинейная система координат ортогональна, то справедливо представление.

П. 1. Цилиндрические координаты (р, <�р, г) определяют положение точки в пространстве Е³ с помощью формул х, = р cos <�р, х_г = р sin ф, х₃ = г, 0 < р < да, ф mod 2л. Далее,.

Тогда v= р$_р+рф$_ф + г$_г. Поскольку Т' = /2у² = ½(р² + р²ф² + г²), то проекции ускорения на оси цилиндрической системы координат равны.

и отличен от нуля всюду, кроме точек на оси Ох_}.

П. 2. В сферических координатах (г, <�р, 0) задают положение точки с помощью соотношений.

Тогда.

H_ri,_r = (sinOcoscp, sin0sin ф, cos0), H_r = 1,.

_ф = (-r sin 0 sirup, rsin0cosv, 0), Я_ф =rsin0,.

//e^e ⁼ (r cos 0 cos ф, г cos 0 sin ф, -rsin0), H_e=r.

Скорость точки представляется в виде v = r_r + г sin 0ф^_ф + r0?_e, и поскольку скалярные произведения = 0, то.

Проекции ускорения на оси сферической системы координат равны.

Якобиан перехода от декартовой системы координат к сферической равен —г² sin 0 и обращается в нуль на оси Ох₃.