Пересечение конической поверхности плоскостью. 
Построение развертки

При пересечении конической поверхности вращения плоскостью получаются различные линии — прямые, замкнутые кривые — окружности и эллипсы, незамкнутые кривые — параболы и гиперболы, а также точка. Вид указанных линий определяется положением секущей плоскости относительно вершины конической поверхности и соотношением между величинами углов наклона секущей плоскости и образующей конической поверхности к ее оси.

Если секущая плоскость, а (а") проходит через вершину (рис. 9.6, а), то пересечение плоскости с конической поверхностью в зависимости от угла ср наклона плоскости к оси поверхности образует: при ф< ф < (180° — ф) — точку;

Рис. 9.6.

при ф = у — прямую, по которой плоскость касается конической поверхности;

при 0 < ф < ф — две прямые (образующие).

Если плоскость пересекает коническую поверхность и при этом не проходит через вершину, то в их пересечении имеют место (рис.

9.6, б, в):

при ф = 90° — окружность (плоскость, перпендикулярная оси, окружность AM В (А «М «В «) в пересечении с плоскостью, а (а») — рис.

9.6, б);

приф < ф < (180° — ф) — эллипс (эллипс CMD (С" М" D") в пересечении с плоскостью (3 (р «) — рис. 9.6, б — плоскость пересекает все образующие конической поверхности);

при 0 < ф < ф — гипербола (плоскость параллельна двум образующим и пересекает коническую поверхность по обе стороны от вершины, например, гиперболы с вершинами Е (Е") и F (F") в пересечении с плоскостью у (у") или с вершинами 1(1″) и 2(2″) в пересечении с плоскостью Yi (Yi"), рис. 9.6, в);

при ф = ф — парабола (плоскость параллельна одной из образующих, например, парабола с вершиной К (К" в пересечении с плоскостью 8 (8 ''), рис. 9.6, в).

Наглядное изображение кривых — эллипса, гиперболы, параболы, получающихся при пересечении конической поверхности плоскостями р, у, 8, приведено на рис. 9.7.

по.

Рис. 9.7.

Пересечение конуса с плоскостью. Для построения кривой линии, получаемой при пересечении конической поверхности плоскостью, в общем случае находят точки пересечения образующих конической поверхности с секущей плоскостью. Соответствующий пример в случае пересечения фронтально проецирующей плоскостьюос (а") конуса с вершиной (/приведен на рис. 9.8. Построение линии пересечения плоскости с конической поверхностью обычно выполняют в следующем порядке. Основание конуса делят на равное число частей, обычно 12, проводят горизонтальные проекции G’l', С 2',…, G' 12' образующих и строят их фронтальные проекции. На фронтальной проекции отмечают фронтальные проекции точек пересечения построенных образующих на видимой поверхности конуса с секущей плоскостью а (а"): С", D «, F», I" , а также крайних точек А" и В" . Горизонтальные проекции строят в проекционной связи на соответствующих проекциях образующих — точки A', C, D', F', Г, В' на проекциях образующих G' 1', G'2', G'3', G'5', G'6', G'7', а также симметричные им точки на проекциях образующих G' 12', С11', С9 С 8. Горизонтальную проекцию Е' точки? на образующей G '4' и симметричной точки на образующей С10' строят с помощью окружности радиуса Е" Е" , проведенной на поверхности конуса.

На фронтальной проекции большая ось АВ эллипса — линии пересечения фронтально проецирующей плоскости с конусом — прош.

Рис. 9.8.

ецируется в натуральную величину: [АВ = [А «В» ]. Малая ось MN эллипса перпендикулярна большой и проецируется в точку М «(N») в середине фронтальной проекции А «В» большой оси.

Построение горизонтальной проекции малой оси эллипса выполнено с помощью параллели с проекциями М" 14″ и M'14'N'. Горизонтальная проекция М’N' малой оси эллипса построена в проекционной связи как хорда горизонтальной проекции М' 14'N' этой параллели.

Профильная проекция линии среза конуса также построена по фронтальной и горизонтальной проекциям точек в проекционной связи.

Отметим, что на профильной проекции точки А '" и В" ' — низшая и высшая, М'" и N'" — крайние (правая и левая), и симметричная ей — точки касания проекций G «'4 и G10 образующих.

Рис. 9.9.

Построение натурального вида фигуры среза — A_nM_nB₀N₀ выполнено по координатам в системе координат х₁₍ у, (см. также рис. 6.9).

Наряду с построением эллипса по точкам возможно построение его по большой и малой осям. Соответствующий пример приведен на рис. 7.1.

Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет собой круговой сектор с углом ф = у-180° при вершине, где.

d — диаметр основания, / —длина образующей конуса. Построение сектора (рис. 9.9) выполняют с разбивкой его на равные части соответственно разметке образующих на чертеже (см. рис. 9.8 конуса).

Используя положение образующих на чертеже и на развертке, находят положение точек на развертке при помощи натуральных величин отрезков от вершины до соответствующих точек линии пересечения на чертеже. При этом расстояния С₀Д) и G_nB₀ соответствуют фронтальным проекциям G «А „, С „В“ . Отрезки образующих от вершины до других точек проецируются на фронтальную плоскость проекций с искажениями. Поэтому их натуральную величину находят вращением вокруг оси конуса до положения, параллельного фронтальной плоскости проекций. Например, положение точки D₀ на развертке найдено при помощи отрезка G „D“  — натуральной величины образующей от вершины G до точки D, точки Е₀ — при помощи отрезка G“ E» (или G'" ?'").

из Полная развертка поверхности усеченного конуса состоит из трех частей: 1) развертки боковой поверхности, ограниченной дугой окружности радиуса I, кривой B₀I₀F₀E₀D₀C₀A₀ и симметричной ей;

2) круга основания; 3) натурального вида фигуры сечения.

На рис. 9.8 показано построение фронтальной и горизонтальной проекций точки К по изображению К₀ этой точки на развертке (рис. 9.9). Для построения проведена образующая Gol3₀ через точку К₀ на развертке. С помощью отрезка /, построена горизонтальная проекция 13'. Через нее проведены горизонтальная G'13' и фронтальная G «13 „ проекции образующей G — 13. Отрезок G_aK₀ = G „К“ отмечен на проекции образующей G“ 7″ . Обратным вращением построена фронтальная проекция К» точки К на фронтальной проекции образующей G" 13″ . Горизонтальная проекция К' построена с помощью линии связи.