Оптимальные и адаптивные системы

При [pic] - корни вещественные.

[pic].

[pic].

Сумма двух экспонент представляет собой:

[pic].

Если [pic], то корни комплексно-сопряженные и решение будет представлять собой периодическую функцию. В реальной системе, переключений не более 5 — 6.

3. Метод поверхности переключений.

Данный метод позволяет найти управление функций переменной состояния для случая когда оптимальное управление носит релейный характер

[pic].

Таким образом этот метод можно применять при решении задач оптимального быстродействия, для объекта с аддитивным управлением.

[pic],.

[pic].

Суть метода заключается в том, чтобы во всём пространстве состояний выделить точки, где происходит смена знака управления и объединить их в общую поверхность переключений.

[pic],.

[pic] - поверхность переключений.

[pic].

Закон управления будет иметь следующий вид.

[pic].

Для формирования поверхности переключений удобнее рассматривать переход из произвольной начальной точки в начало координат.

[pic].

Если конечная точка не совпадает с началом координат, то необходимо выбрать новые переменные, для которых это условие будет справедливо.

Имеем объект вида.

[pic].

Рассматриваем переход [pic], с критерием оптимальности.

[pic].

Этот критерий позволяет найти закон управления такого вида.

[pic],.

с неизвестным [pic], начальные условия [pic] нам также неизвестны.

Рассматриваем переход:

[pic].

Метод обратного времени.

(метод попятного движения).

Этот метод позволяет определить поверхности переключений.

Суть метода заключается в том, что начальная и конечная точки меняются местами, при этом вместо двух совокупностей начальных условий остаётся одна для [pic].

Каждая из этих траекторий будет оптимальна. Сначала находим точки, где управление меняет знак и объединяем их в поверхность, а затем направление движения меняем на противоположное.

[pic].

Пример

Передаточная функция объекта имеет вид.

[pic].

Критерий оптимальности быстродействия.

[pic].

Ограничение на управление [pic].

Рассмотрим переход.

[pic].

1).

[pic],.

2).

[pic].

3).

[pic].

оптимальное управление будет иметь релейный характер

[pic].

4) Перейдём в обратное время (т.е. [pic]). В обратном времени задача будет иметь такой вид.

[pic].

5) Рассмотрим два случая:

1. [pic].

Получим уравнения замкнутой системы.

[pic].

Воспользуемся методом непосредственного интегрирования, получим зависимость [pic] от [pic] и поскольку [pic]-[pic], то имеем.

[pic],.

т.к. начальные и конечные точки поменяли местами, то [pic], [pic] получим.

[pic],.

(*).

аналогично.

[pic].

[pic].

подставив (*), получим.

[pic],.

отсюда.

[pic].

Построим получившееся и по методу фазовой плоскости определим направление.

[pic].

2. [pic].

[pic].

Применив метод непосредственного интегрирования, получим:

[pic] [pic] [pic],.

[pic] [pic] [pic],.

[pic].

Функция будет иметь вид:

[pic] Изменив направление.

[pic] точка смены знака.

(точка переключения).

Общее аналитическое выражение:

[pic].

Уравнение поверхности:

[pic].

Оптимальный закон управления:

[pic],.

подставив уравнение поверхности, получим:

[pic].

2.5. Субоптимальные системы.

Субоптимальные системы — это системы близкие по свойствам к оптимальным.

[pic].

[pic]- характеризуется критерием оптимальности.

[pic].

[pic] - абсолютная погрешность.

[pic]- относительная погрешность.

Субоптимальным называют процесс близкий к оптимальному с заданной точностью.

Субоптимальная система — система где есть хоть один субоптимальный процесс.

Субоптимальные системы получаются в следующих случаях:

1. при аппроксимации поверхности переключений (с помощью кусочнолинейной аппроксимации, аппроксимация с помощью сплайнов);

[pic].

при [pic] в субоптимальной системе будет возникать оптимальный процесс.

[pic].

2. ограничение рабочей области пространства состояний;

[pic].

[pic].