Системы случайных величин

Понятие системы случайных величин (ССВ)

На практике во многих случаях результаты опыта зависят от нескольких СВ, образующих комплекс или систему. Например, положение объекта на плоскости определяется ординатой (Г) и абсциссой (X), в пространстве соответственно тремя координатами, величина тока фидера определяется поездными токами и числом поездов на секции. Эти величины являются случайными и формируют системы (X, У), (X, Y, Z), (/, N) и т. п.

На практике чаще рассматривают систему двух СВ, которую можно интерпретировать как случайную точку на плоскости или вектор (х, у). Такую ССВ принято называть случайным вектором (рис. 7.8).

Рис. 7.8. Случайный вектор.

Функция и плотность распределения системы двух СВ Функцией системы двух СВ (X, У) называют вероятность одновременного выполнения неравенств Х<�х и Y

В геометрической интерпретации — это вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадран т с вершиной в точке (х, у), лежащей ниже и левее ее (рис. 7.8).

Свойства функции распределения ССВ (Л', У):

• 1) F (х, у) неубывающая функция, при х2 > Х| F (x2, у) > F (x, у) или при У2^>У F (x, У2) > F (x, у). Это свойство понятно из рис. 7.8. Если увеличивать .Y, квадран т расширяется вправо, а при увеличении Y- вверх;
• 2) если один из аргументов X или Y равеноо, то функция равна 0, т. е.

3) если х = оо и у = со, то F (со, со) = 1;

4) если один из аргументов равен оо, то функция системы (X, У) превращается в функцию другого аргумента, т. е.

Все свойства можно получить из геометрической интерпретации ССВ (см. рис. 7.8).

Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник R, ограниченный абсциссой, а и р и ординатой у и 5 (рис. 7.9) определяется из выражения

Рис. 7.9. Интерпретация вероятности попадания случайной точки.

в область R

Если обозначить р-а = Дх и 6-у = Ду, а = л; и у = у, то, разделив вероятность попадания случайной точки в прямоугольник R на его площадь при Д. г —" 0, Ду —" 0, можно записать:

Функция fix, у) есть плотность распределения системы, выражаемая второй смешанной частной производной функции распределения системы по обоим арг ументам. В «механической» интерпретации fix, у) представляет собой плотность распределения массы в точке (х, у) на плоскости хОу. Геометрически функцию fix, у) можно изобразить поверхностью распределения.