М. 5. Интеграл Кристоффеля—Шварца

Поле на плоскости z, образованное осью х и ломаной линией г₀ — —х₂ —… —с конечным числом изломов (рис М.4, а),.

может быть отображено на верхнюю полуплоскость w с помощью преобразования Кристоффеля—Шварца;

Здесь А — некоторая постоянная; U_yU_ly…, U_n— произвольно выбранные точки на оси.

(рис. М.4, б), соответствующие одноименным точкам zj, z₂…z". Оси х и U расположим.

Рис. М.4.

параллельно. Исходной точке z₀ отвечает некоторая точка U₀ на оси (J. Углы, а и у в формуле (М. 11) измеряются в долях от я. Угол, а положителен, если при переходе от предшествующего участка к последующему совершается поворот против часовой стрелки. Так, для рис. М.4, а а, > 0, но а₂ < 0. Угол у х отсчитывается от оси +х до отрезка Zq—ij. Линия.

zq—zj —z₂ —… — z_H представляет собой след электрода, поэтому она является эквипотенциалью. В более общем случае перемещение производят по следу электрода, по выбранной силовой линии и по следу второго электрода или эквипотенциальной линии. Этому перемещению соответствует перемещение вдоль линии U плоскости и-*".

При обходе по контуру на плоскости z надо следить за тем, чтобы область, занятая полем, располагалась слева. Биномы (>*-?/*Г®* учитывают, что модуль Е_х изменяется на каждом линейном участке, но аргумент Е_г на каждом участке остается неизменным. При переходе через точку излома z* аргумент Е. (он пропорционален arg(dw/dz)) скачком изменяется на угол а*, поскольку при переходе через точку U_k бином (w-U_k) изменяет знак. В формуле (М П) граничные условия в поле учтены правильным изменением аргумента dw/dz на всей границе области. Интегрируя (М. II), получаем формулу.

которую называют интегралом Кристоффеля—Шварца (С₍ и С₂ — постоянные).

t