Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Как было показано в параграфе 4.3, определение функций ф и ф из системы уравнений (4.7)—(4.22) осуществляется путем либо решения дифференциального уравнения второго порядка, либо последовательного решения двух уравнений второго порядка. И в том и в другом случае эти уравнения могут быть сведены к системам уравнений первого порядка — соответственно двух или четырех уравнений. В настоящем параграфе описан алгоритм численного решения системы произвольного количества обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В частности, в последующих главах при рассмотрении трехмерных задач будет необходимость решения систем шести уравнений.

Сначала на примере уравнений (4.20), (4.21), содержащих две неизвестные функции <�р₍." и vji_sn, покажем способ сведения этих уравнений к системе четырех уравнений первого порядка. Введем обозначения.

Тогда уравнения (4.20) и (4.21) можно записать в виде.

Добавляя к этим двум равенствам два уравнения.

которые следуют из обозначений (4.46), получим систему четырех уравнений первого порядка.

Граничные условия любого вида (в напряжениях, в перемещениях, смешанные) на границах г = а, b для функций ср_(П и i_sn могут быть получены с использованием формул (4.23) и (4.25) для напряжений а, и т_(<), а также формулы (4.6) для перемещений. Заметим, что выражения для напряжений содержат кроме самих функций <�р_СТ1 и i_s" также их первые производные. Таким образом, можно заключить, что граничные условия при использовании обозначений (4.46) содержат функции у-у_г

Переходя к общему случаю решения системы М уравнений первого порядка, краевую задачу можно записать в матричном виде:

где Y® = {г/,(г), г/₂(/), г/_м(г)} — вектор неизвестных дли ной М; Л (г) — квадратная матрица размером МХМ; Р_а и Р_ь — прямоугольные матрицы размером М, X М и М₂ X М (М_{ + М₂ = М) векторы f_a, f_h и F® считаются известными и имеют соответственно размеры M_v М₂ и М.

Ниже приводится разностный аналог рассматриваемой краевой задачи, решение которой основано на методе ортогональной матричной прогонки, впервые предложенном в работе 191 и обладающим рядом преимуществ по сравнению с широко известным методом ортогональной прогонки, изложенном в работе |8|.

Вводя на интервале [а, b] равномерную сетку.

краевой задаче (4.49) можно поставить в соответствие ее разностный аналог.

где У, = {//,(/•), у dr),…, у_м(гд) F_: = F®: F₀ =/"; F_x. — f_h; Q_i = = E + hA (t)) (E — единичная матрица); P₀ = P_a; P_N = P_b.

Формулы (4.50) представляют собой систему разностных двухточечных векторных уравнений, решение которой ищется методом ортогональной матричной прогонки.

Численное решение краевой задачи (4.50) также можно получить в программных комплексах MatLab и Maple.

В следующем параграфе приводятся некоторые примеры решения плоской задачи в полярных координатах для радиально неоднородного тела с использованием рассмотренного метода.