Электростатическое поле. 
Электродинамика и распространение радиоволн

Электростатическое поле представляет собой частный вид электромагнитного поля. Оно создается совокупностью электрических зарядов, неподвижных в пространстве по отношению к наблюдателю и неизменных во времени.

Электростатическому полю присуща способность воздействовать на помещенный в него электрический заряд с механической силой, прямо пропорциональной величине этого заряда.

Основные определения

Два точечных заряда q_x и q₂ в вакууме взаимодействуют друг с другом с силой F, прямо пропорциональной произведению зарядов q₁ и q₂ и обратно пропорциональной квадрату расстояния R между ними. Эта сила направлена по линии, соединяющей центры точечных зарядов. Если заряды имеют одинаковые знаки, то они стремятся оттолкнуться друг от друга; заряды противоположных знаков стремятся сблизиться:

где R₀ — единичный вектор, направленный по линии центров.

Всякое поле характеризуется некоторыми основными величинами. В электростатике основными величинами, характеризующими электрическое поле, являются напряженность Е и потенциал ф.

Напряженность электрического поля есть величина векторная, определяемая в каждой точке значением и направлением, потенциал является величиной скалярной. Значение потенциала определяется в каждой точке поля некоторым числом.

Электрическое поле можно считать определенным, если известен закон изменения Е или ф во всех точках этого поля.

Если в электрическое поле поместить настолько малый (неподвижный) положительный заряд, что он своим присутствием не вызовет сколько-нибудь заметного перераспределения зарядов на телах, создающих поле, то отношение силы, действующей на заряд, к значению заряда q и определяет напряженность поля в данной точке:

Напряженность электрического поля численно равна силе, действующей на единичный заряд.

Под разностью потенциалов ср_а — ф₂ принято понимать работу, затрачиваемую силами поля при переносе единичного заряда из начальной точки 1 в конечную точку 2:

Потенциал произвольной точки поля 1 может быть определен как работа, совершенная силами поля по переносу единичного заряда из данной точки поля в точку поля, потенциал которой равен нулю. За точку, имеющую нулевой потенциал, может быть принята любая точка поля. Если такая точка выбрана, то потенциалы всех точек поля определяются совершенно однозначно.

Часто принимают, что точка с нулевым потенциалом находится в бесконечности. Поэтому, особенно в курсе физики, распространено определение потенциала как работы, совершаемой силами поля при переносе единичного зарядаиз данной точки поля в бесконечность:

Электрическое поле можно наглядно характеризовать совокупностью силовых и эквипотенциальных линий. Силовая линия — это мысленно проведенная в поле линия, начинающаяся на положительном и заканчивающаяся на отрицательно заряженном теле. Проводится она таким образом, что касательная к ней в любой точке ее дает направление напряженности поля Е в этой точке. Вдоль силовой линии передвигался бы очень малый положительный заряд, если бы он имел возможность свободно перемещаться в поле и не обладал инерцией.

В электрическом поле могут быть проведены эквипотенциальные (равнопотенциальные) поверхности. Под эквипотенциальной поверхностью понимают совокупность точек поля, имеющих один и тот же потенциал. Если мысленно рассечь электростатическое поле какойлибо секущей плоскостью, то в полученном сечении будут видны следы пересечения плоскости с эквипотенциальными поверхностями. Их называют эквипотенциальными линиями (или эквипотенциалями).

Эквипотенциальные и силовые линии в любой точке поля пересекаются под прямым углом. На рис. 2.1 для примера изображены два заряженных тела и проведено несколько силовых и эквипотенциальных линий.

В противоположность силовым линиям эквипотенциальные линии электростатического поля являются замкнутыми сами на себя линиями. Как отмечалось, напряженность электрического поля Е и потенциал ф связаны между собой связью интегрального вида (2.2а). Кроме нее между? иф существует и связь дифференциального вида.

Рис. 2.1. Силовые и эквипотенциальные линии.

В курсе математики пользуются понятием градиента скалярной функции. Под градиентом скалярной функции понимают скорость изменения скалярной функции, взятой в направлении ее наибольшего возрастания. Тогда.

Соотношение (2.3) может быть истолковано следующим образом: напряженность в какой-либо точке поля равна скорости изменения потенциала в этой точке поля, взятой с обратным знаком. При этом в декартовой системе координат.

Для сокращения записей различных операций над скалярными и векторными величинами употребляется дифференциальный оператор Гамильтона (оператор набла).

Таким образом, запись V.

grad ф, а «приписывание» слева к какой-либо скалярной функции (в нашем случае к ф) оператора V означает взятие градиента от этой скалярной функции.

Установим связь потенциала ф с плотностью зарядов р, используя уравнение (2.3) и теорему Гаусса:

Подставим в уравнение (2.5) Е из уравнения (2.3). Получим Вынесем знак «минус» за знак дивергенции:

Вместо того чтобы писать grad ф, запишем его эквивалент Уф. Вместо div напишем V. Тогда.

Уравнение (2.6) называется уравнением Пуассона. Частный вид уравнения Пуассона, когда р_СВб= 0, называется уравнением Лапласа. Уравнение Лапласа запишется так:

Оператор V² = divg rad называют оператором Лапласа, или лапласианом, и иногда обозначают еще символом Д. Поэтому можно встретить иногда и такую форму записи уравнения Пуассона:

Раскроем У²ф в декартовой системе координат. Произведем почлен;

₂ Э²ф 5²ф 5²ф _й

ное умножение и получим У²ф =—²¹ ч—²¹+—²². Таким образом, урав;

дх² ду² dz²

нение Пуассона в декартовой системе координат запишется так:

Для решения дифференциальных уравнений с частными производными необходимо знать граничные условия.