Методы измерений характеристик спектра сигналов

В настоящее время известны два основных метода измерения характеристик спектра сигналов: вычисление преобразований Фурье (5.2) цифровыми средствами и получение преобразований Фурье как результата воздействия исследуемого процесса f (t) па избирательный четырехполюсник. Функциональные схемы устройств, реализующих метод вычисления преобразований Фурье, приведены на рис. 5.2 и 5.3.

Рис. 5.2. Функциональная схема устройства, реализующего вычисление модуля спектра.

Рис. 5.3. Функциональная схема устройства, реализующего вычисление аргумента спектральной функции.

Для измерения модуля и аргумента текущего частотного спектра (см. рис. 5.2 и 5.3) необходим ключ (Кл), прерывающий поступление информации о процессе, описываемом исследуемой функцией f (t), чтобы в момент т прекратить интегрирование по формулам (5.2) и (5.6). Фактически текущий частотный спектр определяется для функции f _хif) (рис. 5.4), равной f{t) до момента т и нулю для t > т.

Изменяя частоту (см. рис. 5.2 и 5.3), измеряют модуль и аргумент текущего спектра на разных частотах. Для получения одинаковых начальных фаз напряжений f/sin соt и ?/cos соt на всех частотах их источник синхронизируют ключом.

Для измерения спектральной функции 5(со) с использованием схем, изображенных на рис. 5.2 и 5.3, время интегрирования должно превышать длительность исследуемого процесса /(?).

Для рассмотрения второго метода измерения спектральных характеристик оценим реакцию U (t) четырехполюсника на воздействие процесса /(?)> которая определяется обратным преобразованием Фурье.

где К (со)=|/С (со)|е^<0J — передаточная функция (частотная характеристика); К (а>) — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); |<�р (ю)| — фазочастотная характеристика четырехполюсника (ФЧХ).

Умножив правую часть (5.2) на e^v«^T и е>^{, лх}, получим.

Интеграл в правой части (5.9) можно рассматривать как интеграл наложения (Дюамеля). В общем случае интеграл наложения записывается следующим образом:

где ?/(т) — мгновенное значение напряжения на выходе четырехполюсника в момент т; (?) — переходная функция; /?(?) — импульсная характеристика четырехполюсника.

Рис. 5.4. Эпюры входных напряжений процессов:

/(?) — анализируемого; /,(?) — процесса, по которому определяется текущий частотный спектр; /₂(?) — процесса, по которому вычисляется напряжение на выходе однорезонансного контура Первый член (5.10) учитывает воздействие незакончившегося процесса /(?) после момента отсчета т (рис. 5.4). Если процесс прерывают в момент t = т, как это требуется при моделировании выражения (5.2), то первый член (5.10) не нужен [f (t) = 0], тогда.

В соответствии с изложенным выше и с точностью до масштабного коэффицента, а результат воздействия исследуемого процесса f (t) на избирательный четырехполюсник с импульсной характеристикой можно представить в виде.

Импульсной характеристикой вида (5.12) обладают четырехполюсники, ЛЧХ которых описываются 8-функцией Дирака К (со) = 8(со — ое>₀). Такую импульсную характеристику имеет идеальный одиночный резонансный контур, у которого время установления огибающей Тф > 0 независимо от полосы пропускания. Импульсную характеристику и переходную функцию реальных избирательных систем можно записать в символической форме.

где a (t) и b (t) — огибающие, время нарастания и спада которых зависит от полосы пропускания, точнее, от передаточной функции К (со).

Для реального одиночного резонансного контура переходная характеристика h (t) определяется по формуле.

где, а = R/2L — множитель затухания; R, L — сопротивление и индуктивность контура.

Подставив (5.12) в (5.13), получим.

Сопоставив (5.15) с (5.9), с учетом (5.3)—(5.6) найдем модуль и аргумент 5(<�")₇. :

Функциональная схема устройства, реализующего этот метод, представлена на рис. 5.5.

Сигнал /(!:) через ключ подводят к двум идеальным контурам с импульсными характеристиками h. = a cos соt и h ₂ = a sin cot. Для измерения модуля напряжения на контурах квадрируют, суммируют и извлекают квадратный корень, а для измерения аргумента выполняют обратное тригонометрическое преобразование отношения напряжения на контурах. В момент отключения /(() мгновенные значения выходных напряжений схемы соответствуют модулю и аргументу текущего спектра для определенного со₀.

Рис. 5.5. Функциональная схема устройства, реализующего метод определения модуля и аргумента спектральной функции с помощью одиночного резонансного контура.

Для измерения спектральной функции 5(со) по этой схеме (см. рис. 5.5) напряжение на ее выходах отсчитывают после отключения процесса f (t). Анализируя особенности измерений текущего спектра по этой схеме и абстрагируясь от технической реализации идеальных одиночных резонансных контуров, можно подсказать пути упрощения схемы в тех случаях, когда не нужно измерять аргумент текущего спектра. После отключения процесса f (t) от схемы переменное напряжение на идеальных контурах не меняется и для измерения модуля текущего спектра достаточно измерить переменное напряжение на контуре, т. е. достаточна схема с одним идеальным контуром.

Модуль спектральной функции отключенного процесса можно измерить с помощью одноканальной схемы с идеальным контуром без ключа, поскольку после отключения процесса переменное напряжение на контуре не зависит от времени и положения ключа, так как нет внешних воздействий.

На практике аппаратурный частотный спектр не соответствует ни полному (5.1), ни текущему (5.2) спектрам, так как реализовать бесконечные пределы интегрирования невозможно.

Практически для анализа непрерывных процессов используют весовые функции («окна»), которые ограничивают процесс, подвергаемый анализу. Используются прямоугольные «окна», «окна» Тьюки, Хэмминга, Бартлета, Парзена и др.

Анализ с использованием весовой функции («окна») выполняется согласно (5.11):

где а (т — t) — весовая функция, которая как бы вырезает часть процесса f (t) (рис. 5.6).

Применение фильтров с ограниченной полосой пропускания и конечной длительностью «окна» приводит к определенным погрешностям, которые можно учесть.

Уменьшение полосы пропускания анализирующего фильтра при увеличении протяженности «окна» приближает спектральную функцию взвешенного участка процесса f (t)a{x — t) к спектральной функции процесса f (t), и при Гф ^>>Т_ЩЩ (Г_прц — длительность процесса) они совпадут.

Разновидностью первого метода является метод вычисления коэффициентов Фурье (5.7) как суммы выборочных значений сигнала, взятых через промежутки времени At на интервале -Т/2 < t < Т/2 и умноженных на sin &со₀т и cos &со₀т, с.

Рис. 5.6. Наложение весовой функции a (t) на процесс f (t):

1 — весовая функция; 2 — процесс /(?); 3 — a{t) f (t) — взвешенный процесс /(f).

последующим вычислением амплитуды и фазы спектральных составляющих.

Разновидностью второго метода является дисперсионный анализ, где роль анализирующих фильтров выполняет дисперсионная линия задержки.