Расчет температурного поля с использованием пакета mathcad

Ниже приводится пример расчета нестационарного температурного поля в проводнике круглого сечения с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6.30). Расчет выполнен в пакете Mathcad. Необходимо обратить внимание, что версия пакета должна быть не ниже 11.

Для упрощения расчетов количество четырехполюсников сведено к трем.

Вводим исходные данные:

Начальная температура проводника равна температуре окружающего воздуха. Это условие используем далее в системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задаем толщину расчетных колец. Толщина внешнего расчетного кольца равна глубине проникновения:

Создаем пользовательские функции, определяющие зависимость от температуры теплопроводности и коэффициента теплоотдачи (подробно формирование функций с помощью интерполирования табличных данных описано в примере расчета электромагнитного поля).

Табличные данные заносим в две матрицы. Каждая матрица содержит два столбца. Левый столбец матрицы — значения температуры, правый столбец — значение функции:

Интерполируем табличные значения:

Расчет температурного поля осуществим без учета сопротивления Z₃ (см. рис. 7.4, б). Формируем функции сопротивлений Z_b Z₂ и емкости С₀ (выражения (7.20), (7.30) и (7.43)):

Сопротивление конвективного слоя (см. рис. 6.8) описывается выражением (7.40):

Описываем параметры четырехполюсников. Сопротивления:

Емкости:

Источник тепла содержится только на глубине проникновения, в третьем четырехполюснике:

Далее приступаем к формированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью вычислительного блока GivenOdesolve. Использование вычислительного блока для решения систем дифференциальных уравнений возможно только с одиннадцатой версии пакета Mathcad.

Обратить внимание! В блоке Given-Odesolve используется знак равенства из панели логических операций!

Помимо системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6.30) внутри блока Given-Odesolve необходимо задать начальные условия:

После решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений определяются температуры между каскадами:

На рис. 8.1 представлен результат расчета — кривые нагрева от начальной до конечной температуры. На рис. 8.2 — начальный участок кривых нагрева (увеличение выполнено с помощью команды Zoom в меню правой кнопки мыши).

Рис. 8.2

На глубине проникновения проводник прогрет практически равномерно — температура на выходе второго каскада t₂₂ близка к температуре поверхности проводника t_cm.