Интеграл фурье. 
Спектральный метод. 
Сигналы

Ряд Фурье в комплексной форме записи

Как известно из предыдущего (см. параграф 7.2), в ряд Фурье можно разложить любую периодическую функцию/(0, удовлетворяющую условиям Дирихле.

Обозначим период функции Т, а основную частоту — оо₀ = 2п/Т. Ряд Фурье можно записать двояко.

Первая форма записи:

вторая форма записи:

где А₀ — постоянная составляющая ряда; А_к — амплитуда /с-гармоники ряда; f_k — начальная фаза /с-гармоники;

_ejx _ _e-jx.

Из курса математики известно, что sinx =-_:—. Следовательно,.

Подставив правую часть формулы (9.6) в выражение (9.1), получим Обозначим.

Тогда ряд (9.7) можно записать так:

Формула (9.10) представляет собой комплексную форму записи ряда Фурье. Текущий индекс к может принимать все целые числовые значения ото® до +°°, но не может равняться нулю, так как постоянная составляющая ряда выделена в виде отдельного слагаемого.

Пример 109.

Представить функцию ДО = 2 + 3sin (o)₀t + 30°) + 2sin (2o)₀t — 45°) в комплексной форме записи.

Решение. А₀ = 2, А₁ = Зе^^ж, А__г = -Зе~)^ж, Л₂ = 2е^_-'⁴⁵°, Л_₂ = -2е-'⁴⁵°,

Спектр функции и интеграл Фурье

Ряд Фурье — это тригонометрический ряд, представляющий собой изображение периодической функции суммой синусоид, амплитуды которых конечны, а аргументы кратны основной частоте оо₀;

Под интегралом Фурье понимают тригонометрический ряд, представляющий непериодическую функцию суммой бесконечно большого числа синусоид, амплитуды которых бесконечно малы, а аргументы соседних синусоид отличаются на бесконечно малые значения.

Формулу для интеграла Фурье получают из формулы для ряда Фурье (из формулы (9.13)) предельным переходом при стремлении периода Т к бесконечности.

На функцию ДО при представлении ее интегралом Фурье накладывают ограничение, а именно, полагают, что J f (t)dt есть величина конечная (не бесконечно большая). Это серьезное ограничение. Ряд функций этому условию не удовлетворяет¹.

I Т/2

Так как по определению (см. формулу (9.3)) Aq=— J f (.t)dt, а при.

ТТ/2

Т —> °° | f (t)dt есть величина конечная, то А₀ = 0.

I Т/2

Преобразуем выражение — J /(t)e^-jfcl°^otdt, стоящее под знаком.

Т-Т/2

суммы в формуле (9.13). С этой целью произведение /ссо₀ заменим на со (под со будем понимать изменяющуюся (текущую) частоту). В ряде Фурье разность двух смежных частот Дсо = со₀ = 2п/Т. Следовательно, 1/Г= Дсо/(27г).

При Т —> оо, заменив Дсо дифференциалом dco, получим Обозначим.

Среди функций /(t), для которых интеграл J f (t)dt расходится, наиболее важной Формула (9.14) дает возможность преобразовать функцию времени ДО в функцию частоты S (jсо); преобразование (9.14) называют прямым преобразованием Фурье, a S (/co) — спектром функции f{t). Это комплексная величина, зависящая от вида функции ДОВ соответствии.

1 т/2 _г

с (9.14) в (9.13) заменим — J /(t)e^_-'^fcwo^tdt на —S (;co)dco и учтем, что.

Т_т/2 271.

при изменении к от до +°° со = /ссо₀ также изменяется от до Следовательно,.

Заменив сумму интегралом, найдем.

Формула (9.15) представляет собой запись интеграла Фурье (формулу обратного преобразования Фурье). Она выражает непериодическую функцию ДО в виде бесконечно большого числа синусоидальных колебаний с бесконечно близкими частотами и бесконечно малыми амплитудами S (/co)dco (SQ'co) конечно, но произведение S (/co)dco бесконечно мало, так как бесконечно мало значение dco).

В соответствии с формулой (9.15) для нахождения реакции системы на любое воздействие следует его представить в виде бесконечно большого числа гармонических воздействий, символическим методом найти реакцию системы на каждое из воздействий и затем просуммировать реакцию на все воздействия.

Преобразования (9.14) и (9.15) являются взаимно обратными.

Отметим, что представление функции ДО в комплексной форме в виде интеграла Фурье (формулы (9.15)) привело к необходимости формально ввести отрицательную угловую частоту. При этом сумма слагаемых подынтегральной функции (9.15) при ±со дает синусоидальные колебания частоты со.

Сопоставим формулу (9.14) с формулой преобразования по Лапласу: когда ДО = 0 при t < 0.

Если учесть, что ДО = 0 при t < 0, и заменить р на До, то (9.16) переходит в (9.14). Следовательно, формулы для спектра функции S (jсо) могут быть получены из соответствующих выражений для изображений по Лапласу, если в последних р заменить на До.

Пользуясь соотношениями параграфа 8.39, найдем спектр функции ДО = е^-0^ полагая, что ДО = 0 при t < 0.

Изображение ее по Лапласу 1/(а + р). Заменим р на До и получим спектр SQ’co) = 1/(а + До); S (/oo) есть комплексная величина, равная.

S ((D)eJ^ws. Модуль ее равен l/Voc² +со², аргумент (p_s = arctg (-co/a). Графики для экспоненциального импульса изображены на рис. 9.1, а, б.

Рис. 9.1.

Пример 110.

Найти S ((o) и ф (со) для прямоугольного импульса (рис. 9.1, в) амплитудой Л и длительностью С_и.

Решение. По формуле (9.14) определим спектр:

Модуль.

График этой функции приведен на рис. 9.1, г. Штриховой линией показана огибающая. Аргумент (p_s для прямоугольного импульса вычислим по формуле.

График (p_s дан на рис. 9.1, б. При значениях соt_H = л, Зп, … cp_s возрастает скачком на п.

Обратим внимание на то, что при определении S (j (о) путем замены р на в формуле для F (p) следует соблюдать некоторую осторожность, если функция/(0 имеет импульсный характер, иначе можно потерять импульсную компоненту в S (/co) в виде дельта-функции. Например, изображение функции 1(0 по Лапласу равно 1/р, тогда как спектр S (jсо) функции 1(0 равен не 1/(/ю), а л5(ю) + —. Чтобы показать это, определю лим спектр функции l (0e^_P^f ((3 > 0), а затем устремим (3 —> 0:

Первое слагаемое правой части при (3 —> 0 и при со —> 0 стремится к бесконечности, т. е. имеет вид дельта-функции а8(со), второе слагаемое правой части при (3 —> 0 равно 1/(/со). Чтобы вычислить коэффициент а, проинтегрируем ———— = аб (со) по со от до +°о:

р² +со²

Но Г —-dco = (3—arctg^ = — 1 = тг, f 8(co)dco = l.

Л.|3² + со^{2 H}(3 ⁵(3__oo 2 1, 2J i.

Поэтому a = n и спектр S (/co) функции 1 (t) равен тг8(со) + —.

jco.

В примере 110 при определении S (/co) функции/(t) (см. рис. 9.1, в) слагаемое в виде дельта-функции в спектре отсутствует, так как у функции имеются два равных по значению, но противоположных по знаку.

( и о .

скачка яб (со) +— - яб (со) +— е~^^х при со = 0 слагаемые лб (со) выпаI j (oJ ^ j (o)

дают.