Комплексные числа. 
Система компьютерной математики Марlе в задачах теории автоматического управления

Комплексные числа, их геометрическая интерпретация Комплексным числом называется выражение вида.

(1).

где — действительная часть комплексного числа; — мнимая часть. Под символом понимается. Из определения следует, что.

,.

и вообще.

, , ,.

Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел, получаемым при. Полагают, что, если и .

Два комплексных числа.

и.

равны между собой, если, , т. е. если равны соответственно их действительные и мнимые части.

Комплексное число называется сопряженным, к числу.

.

если.

.

т. е. отличается от только знаком мнимой части.

Между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости можно установить взаимно однозначное соответствие. Для этого по оси абсцисс откладывается действительная часть комплексного числа, а по оси ординат — мнимая. Тогда каждому комплексному числу будет соответствовать точка на плоскости и каждой точке на плоскости — комплексное число.

Комплексные числа можно изображать и в виде векторов на плоскости. Действительные числа располагаются на действительной оси, на мнимой оси располагаются мнимые числа (рис. 1).

Рис. 1.

Модуль и аргумент комплексного числа Положение точки на плоскости можно определить в полярной системе координат углом наклона вектора и его длиной. Поставим в соответствие точке комплексное число (рис. 2).

Рис. 2.

Расстояние от начала координат до точки называется модулем комплексного числа .

Аргументом комплексного числа называется угол, образованный радиусом-вектором точки с положительным направлением действительной оси.

.

Если.

.

То.

(2).

Модуль комплексного числа есть положительное число, отличное от нуля, если. Аргумент комплексного числа, отличного от нуля, — функция неоднозначная. Главное значение аргумента заключено в пределах.

.

Если, то, а значение — неопределенно.

Комплексное число можно записать в тригонометрической форме. Так как.

,.

То.

. (4).

Отметим, что и .

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел Пусть.

— комплексные числа. Определим операции сложения и вычитания следующим образом.

(5).

т. е. при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) отдельно их действительные и мнимые части.

Геометрически сложение и вычитание комплексных чисел сводится к сложению и вычитанию соответствующих векторов (рис. 3).

Умножение комплексных чисел определим по правилу умножения многочленов: если.

,.

То.

(6).

Рис. 3.

Сложение и умножение комплексных чисел подчиняются обычным алгебраическим законам.

1. Сложение и умножение комплексных чисел обладают свойством коммутативности, т. Е.

.

.

2. Сложение и умножение комплексных чисел подчиняются ассоциативному закону, т. е.

.

.

Сложение и умножение связаны дистрибутивным законом, т. Е.

.

Введем операцию деления комплексных чисел. Частным от деления комплексного числа.

на комплексное число.

называется число.

такое, что.

.

Покажем, что если, то деление всегда определено. Вначале запишем.

.

Определим частное от деления.

на.

Имеем.

Рассмотрим умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Пусть.

,.

тогда произведение комплексных чисел и, заданных в тригонометрической форме, будет.

. (8).

Из выражения (8) следует, что модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей, т. е.

. (9).

Рассмотрим деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

. (10).

Из выражения (10) следует, что модуль частного комплексных чисел равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя, т. е.

. (11).